Chú ý:Nếu đồ thị hàm số y= f x là một đường cong thì người ta còn gọi là đường cong có phương trình là y = f x gọi tắt là đường cong y= f x 2.Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức ch
Trang 1Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
1.Đồ thị hàm số: Cho hàm số y= f (x) xác định trên tập D Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; f(x)) với x∈Dtrên mặt phẳng tọa độ Oxy
Chú ý:Nếu đồ thị hàm số y= f (x) là một đường cong thì người ta còn gọi là đường cong có phương
trình là y = f (x)( gọi tắt là đường cong y= f (x))
2.Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy đã chọn I là một điểm có tọa độ là (x0;y0)đối với hệ trục Oxy, Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và hai trục là IX, IY theo thứ tự có cùng các véc tơ đơn vị →i ,→jvới hai trục Ox, Oy
Y
X y
x X x y
Công thức (*) gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI
3.Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, điểm I(x0;y0)ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec
tơ OI được hệ trục IXY.
Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y= f (x) đối với hệ trục Oxy thì đường cong (C) có phương trình
0 0
=
⇒+
=+
Trang 2Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trình: ( 2) 1
2
= x y
Và điểm I (2; -1) Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo véc tơ OI được hệ trục IXY.
a.Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến trên và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY
b.Chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đường cong (C)
2
Y y
X x
2
11
)22(2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=2x2 −4x
a.Tìm tọa độ đỉnh I của Parabol (P)
b Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI và viết phương trình của Parabol
(P) đối với hệ trục mới IXY
Bài giải:
a.Đỉnh của Parabol (P) đã cho là I ) (1; 2)
4
;2
a a b
b Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI là:
1
Y y
X x
Đối với hệ trục IXY thì Parabol (P) có phương trình là:Y −2=2(X +1)2 −4(X +1)⇔Y =2X2
II.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
Ví dụ: xét hàm số
x x
f( )=1 có đồ thị là đường Hypebol gồm hai nhánh nằm trong góc phần tư thứ nhất
và thứ ba của mặt phẳng tọa độ Oxy
H M
f x ( ) = 1x
Trang 3Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Ta có: lim ( )= lim 1 =0 lim ( )=lim1 =0
∞
→
−∞
→ +∞
→ +∞
1lim)(lim
0 0
0 0
Điều đó có nghĩa là khoảng cách NK = x từ điểm N của đồ thị đến trục tung dần đến 0 khi điểm N theo
đường hypebol đi xa ra vô tận về phía trên hoặc phía dưới
Người ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x
y = 1.Một cách tổng quát ta có
+
=
x x
x y
1
1(
lim)11
1(
++
+
=
−++
x
x
x x
Ta có đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1
1
1
++
+
=
x x
(
lim
x x x
x x x
Trang 4Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
2
−
−+
=
x
x x
2
32
x
x
x x
Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
22
2
−
−+
=
x
x x y
c.Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
12+
−
=
x
x y
Bài 2:Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
→ +∞
x y
x x
x x
Trang 5Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
2 Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trìnhy= f (x)và đường thẳng (d) có
phương trình y = ax + b (a khác 0)
Gọi M , N là hai điểm lần lượt nằm trên (C) và (d) có cùng hoành độ x nếu độ dài đoạn thẳng MN dần tới
0 khi x dần đến+∞ (hoặc x dần tới −∞) thì đường thẳng (d) gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C)
Vì MN = f(x)−(ax+b) nên ta có định nghĩa sau:
a.Định nghĩa Đường thẳng y =ax+b;a≠0, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y= f (x) nếu:
2
−
−+
=
x
x x
0
5lim)]
4(2
32[lim)]
−
−
−+
=+
y
x x
02
5lim)]
4(2
32[lim)]
−
−
−+
=+
−
+∞
→ +∞
→ +∞
x x x
y
x x
−+
=
=
x
x x x f y
Tập xác định: R\{-1; 1}
1lim])([lim0
1lim])(
→ +∞
x x
x f và x
x x
x f
x x
x x
Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ta lại có:
Trang 6Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+∞
=
−+
=
−∞
=
−+
lim)(lim)
1(
lim)
(
) 1 ( )
1 ( 2
) 1 ( )
1
x x x
f và
x
x x x
f
x x
=
−∞
=
−+
1(
lim)(lim)
1(
2 1
x x x
f và x
x x x
f
x x
3 3 2
- 3
3 -1
4lim
)1(32
123
2lim
)]
1(32[
lim
2 2
2 2
++
−+
−
=++
−+
−
−
−
−+
=+
−
−+
+∞
→ +∞
→ +∞
x x x x x
x x
x x
x
Suy ra đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số
13
2
4lim
)1(32
123
2lim
)]
1(32[
lim
2 2
2 2
−
−
−+
−
=++
−+
−
−
−
−+
x x
x x
x x
f x ( ) = ( x 2 +2 ⋅ x ) -3
c.Cách tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Trang 7Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Giả sử đồ thi hàm số y = f (x) có tiệm cận xiên bên phải là đường thẳng y = ax + b
Thì lim ( )và b lim[f(x) ax]
x
x f a
x
=
∞ +
Bài giải:
Ta có
111
1lim)1(lim)
(
lim
2 2
x x
x
f
x x
x
01lim
)1(lim])
x
x x
x
f
x x
x
Vậy đồ thị hàm số
1)
y có tiệm cận xiên cả hai phía là đường thẳng y = x
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)=2x+ x2 −1
Bài giải:
Ta có
0)1
1lim
)1(
lim]3
112(lim12
lim)
(
lim
2 2
2 2
=+
=
−+
=
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
x x
x x
f
x x
x x x
x
f
x x
x
x x
1lim
)1(
lim]
112(lim12
2 2
x x
x
x
f
x x
x x x
x
f
x x
x
x x
x
Vậy đồ thị hàm số y = f(x)=2x+ x2 −1 có tiệm cận xiên bên trái(x→−∞) là đường thẳng
y = x
d Nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số đơn giản,
*Nếu f(x) hàm đa thức thì đồ thị của nó không có đường tiệm cận
* Các hàm số có tập xác định là đoạn [a; b] đò thị của chúng không có đường tiệm cận
Trang 8Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
* Nếu f(x) là hàm phân thức tức là
)(
)()(
x q
x p x
f = trong đó P(x) và q(x) là các đa thức thì xảy ra hai trườnghợp
Trường hợp 1: Bậc của p(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của q(x) đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử
chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = y0 với y0 lim f(x)
x→ ± ∞
tiệm cận đứng là các đường thẳng x = xi trong đó xi là các nghiệm của đa thức q(x)
Trường hợp 2: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) một đơn vị đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử
chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên hai phía là đường thẳng y = ax + b với
])([lim,
Chú ý: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) từ 2 đơn vị trở lên đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung
thì đồ thị hàm số có tiệm cận cong (không được nghiên cứu trong chương trình SGK phổ thông)và đồ thị
có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = xi trong đó xi là các nghiệm của đa thức q(x) * Các hàm số có chứa biến x trong dấu căn bậc hai nếu có tiệm cận xiên thì tiệm cận xiên hai phía là hai đường khác nhau
III Điểm uốn của đồ thị hàm số
1.Định nghĩa: Điểm U(x0;f(x0))gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y= f (x) nếu hàm số có đạo hàm tại
x0 (Đồ thị có tiếp tuyến tại U) và tồn tại khoảng (a; b) chứa x0 sao cho trên một trong hai khoảng
(a ; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
Người ta nói rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn xuyên qua đồ thị
-23
y x ( ) = -399
f đổi dấu khi x qua x0 thì điểm U(x0; f(x0))là một điểm uốn của đồ thị hàm số y= f (x)
Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
3
433
1)(x =− x3 +x2 + x+
f
Trang 9Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Bài giải: Ta có f,(x)=−x2 +2x+3⇒ f ,,(x)=−2x−2và f ,,(x)=0⇔x=1
Dấu của f ,,(x)
1
+
-Từ kết quả xét dấu ta nhận thấy f ,,(x)đổi dấu (từ dương sang âm) khi x qua điểm x = 1 nên U(1; 5) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Nhận xét : Hàm số bậc ba f(x)=ax3 +bx2 +cx+d,a ≠0 có đạo hàm cấp hai là một nhị thức bậc nhất
b ax
− duy nhất đồng thời đổi dấu khi x qua điểm x0 đó nên
đồ thị luôn có một điểm uốn và ta chứng minh được điểm uốn đó là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y= f(x)=x4 −2x2 −3
30
)(4
12)(4
4)
,
x
x x
f x
x f x x x
f
Dấu của f ,,(x)
-3 3
3 3 -
x và đổi dấu (từ dương sang âm và từ âm sang dương) khi x lần lượt
đi qua hai giá tri đó nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn U1
)9
32
;3
3
và U2
)9
32
;3
Ví dụ 3: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y= f(x)=3x5 −5x4 +3x−2
Trang 10Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
b ax
x
f
bx ax
x
f
26
)
(
123
−
=+
16
61
448
02121
a b b
a
b a f
f
Điều kiện đủ: Với
8
916
18)
++
+
=
=
x x
x x
f
trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn đó
Bài giải :
Tập xác định : R
( 2 )3
2 3
,,
2 2
2
,
1
)13(
2
)
(
)1(
22
)
(
++
−+
=
++
+
=
x x
x x
x
f
x x
x x
0)0()1(
0)1()3(
g g
g g
g
g
g
g
Điều đó chứng tỏ tồn tại ít nhất 3 điểm x1 , x2 , x3 lần lượt thuộc 3 khoảng (-3; -1), (-1; 0), (0; 1)
Sao cho g(x1)=g(x2)= g(x3)=0 hay phương trình g(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm (1)
Lại do phương trình g(x) = 0 là phương trình bậc 3 nên có nhiều nhất 3 nghiệm(2)
Từ (1) và (2) suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm uốn
Ba điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y = ax + b khi các hoành độ x1;x2;x3 của chúng là
nghiệm của phương trình
)2()0(
011
01)
1(
)(
)1)(
()1(1
1
2 3
2 3
2 2
≠
=
−+
−++
−+++
+
⇔
+++
=+
⇔+
b x a
b a x a
b
a
x
b x b a x b a
ax
x x b ax x
b ax
x
x
x
Trang 11Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Lại do x1;x2;x3 cũng là nghiệm của phương trình (1) g(x)=x3+3x2 −1=0
Suy ra 3 điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho thẳng hàng khi và chỉ khi x1;x2;x3 là nghiệm chung của hai
121
1
01
3
b
a b
a
b a
1+
IV Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức.
1 Lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức:
Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức ta tiến hành các bước sau đây
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2 : Xét sự biến thiên của hàm số
a Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số tức là tìm xlim→±∞ f(x)
b Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính f,(x) và tìm nghiệm (nếu có) của f ,(x)=0
+ Xét dấu của f ,(x) căn cứ kết quả xét dấu đạo hàm kết luận các khoảng hàm số đồng biến , nghịch biến
và tìm cực trị (nếu có ) của hàm số
+ Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thi hàm số
+ Tìm điểm uốn (nếu có ) của đồ thị hàm số
+ Xác định các điểm CĐ, CT và điểm uốn (nếu có) của đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy
+ Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có) , Xác định thêm một số điểm khác (nếu cần)
3
1(lim
x x
b Chiều biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1)
Trang 12Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
Nghịch biến trên các khoảng (−∞;−3)và(1;+∞)
1 -3
-73
-6
+Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x3 +6x+10
x x
b Chiều biến thiên
R x x
y, =3 2 +6>0,∀ ∈
Hàm số luôn đồng biến trên R , hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
Trang 13Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+
f '(x) f(x)
+ Điểm uốn:y,, =6x⇒ y,, =0⇔ x=0 và y đổi dấu khi x qua 0 nên đồ thị hàm số đã cho có một điểm,,
uốn là điểm U(0; 10)
17
y x ( ) = x 3 +6 ⋅ x+10
+ Đồ thị nhận điểm uốn U(0;10) làm tâm đối xứng
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm số f(x)=x3 +2x2 −3x
x x
b Chiều biến thiên:
⇔
=
⇒
−+
=
3
1323
1320
34303
x y
+
-+
Trang 14Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
3
132()3
132
;3
132
-1+ 2 -1- 2
27
70
;3
2(− đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm x1 = -3 ; x2 = 0 ; x3 = 1
-2
3 m
M
-2+ 13 3 -2- 13
−+
1(lim
2
14
1(lim
x x
b Chiều biến thiên:
)1(
, 3
,
x
x x
x y
x
x
y
Dấu của y,
Trang 15Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
-
-1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0; 1)
Nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) và (1;+∞)
1 0
-1 y'
y x
3.Đồ thị:
+Điểm uốn:
3
10
Vậy đồ thị có hai điểm uốn U1( )
36
31
;3
-34
+ Đồ thi nhận trục tung làm trục đối xứng
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị hàm số 1
2
1 4 + 2 +
= x x y
1(lim
x x
b Chiều biến thiên
00
, 3
y
Dấu của y,
Trang 16Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+ -
0
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0 ), đồng biến trên khoảng (0; +∞)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = 1 Hàm số không có cực đại
+ Do y,, =3x2 +1>0.∀x∈R nên đồ thị hàm số không có điểm uốn
+ Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, đồ thị không cắt trục hoành
1 -1
f x ( ) = 14
b Chiều biến thiên
)1(404
,
x
x x
x y
x
x
y
Dấu y ,
Trang 17Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
1
0
-Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1)và(0;1)
Đồng biến trên các khoảng (−1;0)và(1;+∞)
412
+ Đồ thị cắt Oy tại điểm y = 1 , cắt Ox tại hai điểm x=±1
1
- 22
2 2
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
V.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ:
1 lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thi hàm số phân thức hữu tỷ
Bài khảo sát một hàm số phân thức hữu tỷ gồm các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số
a.Tìm giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực của hàm số từ đó suy ra các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
b Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y, = f,(x)và tìm nghiệm (nếu có) của f,(x)=0
+ xét dấu của f ,(x) căn cứ vào kết quả xét dấu kết luận những khoảng hàm số đồng biến ,nghịch biến tìm cực trị (nếu có) của hàm số
Trang 18Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+ Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số
+ Vẽ các đường tiệm cận
+ Xác định các điểm cực đại , cực tiểu (nếu có) lên mặt phẳng tọa độ
+ Tìm giao điểm (nếu có ) của đồ thị với các trục tọa độ, xác định thêm một số điểm nếu cần
12limlim
,21
12
x
x y
x x
,1
12
lim
lim
1 1
1
x y
x
x y
x x
x
x x
3)
1(
)12(2
)
1
(
2 2
-2 2
f'(x) f(x)
2
1
−+ Một số điểm khác :
27+Vẽ đồ thị
Trang 19Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
3 2 -2
f x ( ) = 2⋅ x+1 x-1
Đồ thị nhận điểm I( 1; 2) làm tâm đối xứng
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
x
x y
−
+
=22
2limlim
,12
2lim
x
x y
x x
x
x
y
x x
x
2limlim
,2
2lim
lim
2 2
x
x x
4)
2
(
)2()
2
(
2 2
2
f'(x) f(x)
Trang 20Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
f x ( ) = x+22-x
+ Đồ thị hàm số nhận điểm I (2; -1) làm tâm đối xứng
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
42
1
2
−
++
−
=
x
x x y
12
12
14
−
=
x
x x
x x y
+∞
=
−
++
2
x x y
x
−
++
2
x x y
x
đứng là đường thẳng x = 2 (khi x→2−và x→2+)
0)42
1(lim)
2
12
1(lim)
2
12
1(
−
=
−
++
0340
)42(
682)
42(
2)1(
)21)(
2 ,
x
x x
x x
y
x
x x x
x x x x
y
Dấu của y,
Trang 21Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+ +
-
-3 2
- ∞
-52
-12
-3 2
5-1 2
-52
3 1
-12 -1
r x ( ) = -x
2 +x+1
2 ⋅ x-4
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hat đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
13
2
+
++
=
x
x x y
13
2
+
−+
=+
++
=
x
x x
x x y
Trang 22Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
+∞
=+
++
lim
2
) 1 (
)
1
x x y
x
+
++
lim
2
) 1 ( )
1
x x y
+
−
=+
−
+∞
→ +∞
x
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x + 2( khi x→−∞và x→+∞)
b Chiều biến thiên
D x x
x x x
x x x
x
+
++
=+
++
−++
)1(
22)
1(
)13()32
2 ,
suy ra hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (−∞;−1)và(−1;+∞)
Bảng biến thiên
f'(x) f(x)
.23
34
13
1
23
2
2 2
2
2 2
++
−+
=+
y d x
x x y b x
x x
y
a
Bài 2 :Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
Trang 23Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Nguyễn Đức Thanh
96
43
,1
2
1
,1
34
3 2
+
−
−+
=+
++
=
−
=
x x
x x y e x
x x y b x
x y
b x
,23
2sin
14
Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị của mỗi hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường
thẳng đi qua 3 điểm uốn đó của hàm số
4
33
24
32
Bài 7 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
34
−
=
x x
x
144
x y
Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
