Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành.. Lấy điểm M trên C, rồi dựng hình bình hành ABMM’.. Gọi H là trực tâm tam giác AMB, C là trung điểm của
Trang 1Bài 1 : phép tịnh tiến – phép đối xứng trục
I/ Phép tịnh tiến :
+ Đ/ n : Cho vectơ vr T : Mvr M '⇔MM ' vuuuuur r=
a + Biểu thức tọa độ : Trong mp Oxy cho M( x; y) , v a;br( )
Gọi M’(x’;y’) = T Mv r( ) Khi đó :
x ' x a
y ' y b
= +
= +
+ Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
+ Các ví dụ :
Dạng 1 : Xác định ảnh của 1 hình qua phép tịnh tiến
VD 1 : Trong mp tọa độ Oxy biết đờng thẳng d cắt trục Ox tại điểm A( -4;0) và cắt trục Oy tại B( 0;5) Hãy viết PT tham số của đờng thẳng d’ là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ
( )
v 5;1r
HD : Có VTCP là AB 4;5uuur( )
, Gọi A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến trên thì A’(1;1)
VD 2 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có PT : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2;5r(− )
VD 3 : Trong hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết
đỉnh A(-1; 0) , B( 0; 4) và giao điểm các đờng chéo là I( 1;1)
VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho vr = −( 2;3)và đờng thẳng d có PT : 3x – 5y + 3 = 0 Viết PT của đờng thẳng d’ là ảnh của d qua Tvr
Dạng 2 : áp dụng phép tịnh tiến dựng hình
VD 1 : Cho hai đờng thẳng d và d’ cắt nhau và 2 điểm A và B không thuộc 2 đơng thẳng đó , sao cho đờng thẳng AB không song song với d và d’ Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành
HD : TBA uuur( ) ( )d → d'' , d’’ cắt d’ tại M’
VD 2 : Cho 2 đờng tròn không đồng tâm (O; R) và (O’; R’) và 1 điểm A trên (O ; R) Xác định
điểm M trên (O :R) và điểm N trên (O’ ; R’) sao cho : MN OAuuuur uuur=
Dạng 3 : áp dụng phép tịnh tiến tìm quỹ tích
VD 1 : Cho đoạn thẳng AB và đờng tròn (C) tâm O , bán kính R không cắt đờng thẳng AB Lấy
điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’ Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên O
VD 2 : Trên đờng tròn tâm O, bán kính R, cho 2 điểm cố định A và B và 1 điểm M di động Gọi
H là trực tâm tam giác AMB, C là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua tâm O a) Chứng minh AHBD là hình bình hành
b) Gọi I là trung điểm của đoạn MH Tìm tập hợp các điểm I và tập hợp các điểm H khi M
di động trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD : b) Ta có MI = OC ,nên TOC uuur( )M a I
VD 3 : Cho 2 điểm A, B cố định trên đờng tròn (O; R) M là 1 điểm thay đổi trên đờng tròn Gọi
I là trung điểm đoạn AM và J là điểm sao cho tứ giác AIJB là hình bình hành Tìm quỹ tích điểm
J khi M thay đổi trên đờng tròn (O)
HD : I nằm trên đờng tròn đờng kính OA , lại có : TAB uuur( )I a J
VD 4 : Trên đờng thẳng d cố định lấy 1 điểm B cố định và A là điểm thay đổi
trên d dựng tam giác cân ABM ( MA = MB ) mà đờng tròn ngoại tiếp
tam giác có bán kính R không đổi Tìm quỹ tích điểm M
HD : Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM , ta có : OM⊥d
Lấy BN OMuuur uuuur= , BNuuur cố định Lại có O chạy trên đờng tròn tâm B bán A B
N M O d
Trang 2kính R và TBN uuur( )O a M
Vậy quỹ tích điểm M là đờng tròn ( N, R) , ảnh của đờng tròn (B ; R) qua TBNuuur( trừ ra các giao
điểm với đờng thẳng d ) và đờng tròn (N’ ; R) đối xứng với đờng tròn trên qua đờng thẳng d , với
N là điểm đối xứng của N qua d
VD 5 : Cho 2 đờng tròn cố định (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm
, gọi A là giao điểm Một đờng thẳng (d) di động qua A và gặp
lại 2 đờng tròn trên tại M và N Trên 2 tia AM và AN lấy 2 điểm
B và C sao cho BA AC 1MN
2
= =
uuur uuur uuuur
Tìm tập hợp điểm B và C
HD : Lấy các điểm nh hình vẽ , ta có : O’ABI là hình bình hành
nên IB O'Auur uuuur= Vậy TO' A uuuuur( )I a B mà I nằm trên đờng tròn
đờng kính OO’ CMinh tơng tự đối với C
II phép đối xứng trục
+ Đ/ n : SGK
+ Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
+ Các ví dụ :
VD 1 : Tìm trục đối xứng của các hình sau :
a) Hình gồm 2 đờng tròn không đồng tâm có bán kính bằng nhau ( 2)
b) Hình gồm 2 đờng tròn không đồng tâm có bán kính khác nhau (1)
c) Đoạn thẳng AB ( 2)
d) Đờn thẳng d ( vô số )
VD 2 : Cho trớc đờng thẳng Δ Gọi d’ là ảnh của đờng thẳng d qua phép đối xứng trục ĐΔ Tìm
vị trí tơng đối giữa d và Δ để :
a) d’ trùng d
b) d’ // d
c) d’ vuông góc với d
Tìm giao điểm của d và d’ trong trờng hợp này
VD 3 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có PT : ( x -1)2 + ( y – 2) 2 = 4
Viết PT đờng tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox
VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng thẳng d có PT : x 1 y 2
− = +
Hãy viết PT đờng thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy
HD : M(x; y) ∈d thì M’( -x; y) ∈ d’ : (d’) : 3x + 2y + 7 = 0
VD 5 : Cho đơng tròn (O ; R) trên đó có 2 điểm A, B , 1 đờng tròn
(O’ ; R’) tiếp xúc ngoài với (O ; R) tại điểm A Một điểm M
di động trên (O), tia MA cắt đơng tròn (O’) tại điểm thứ 2
A1 Qua A1 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt tia MB
tại B1 Tìm tập hợp điểm B1
HD : Gọi gđiểm thứ 2 của B1A1 với (O’) là A2 , kẻ tiếp
tuyến chung tại A của (O) và (O’) là x’Ax , ta có :
1
2
Vậy A2ABB1 là hình thang cân , do đó A2 và B1 đối xứng nhau qua đờng trung trực của AB , mà
A2 lại nằm trên (O’)
VD 6 : Trong mp tọa độ Oxy cho đờng thẳng d có PT : x – 5y + 7 = 0 và đờng thẳng d’ có PT : 5x – y – 13 = 0 Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’
HD : Do d và d’ không cùng phơng , nên trục đối xứng cần tìm là đờng phân giác của góc tạo bởi
d và d’
A E M B
O
I
O’
G N C
A
B
B1
O O’
A1
A2
x x’
d