I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ1- Hệ tọa độ Đề-các vuơng gĩc trong khơng gian Trong khơng gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc tại gốc O.. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên
Trang 2I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
1- Hệ tọa độ Đề-các vuơng gĩc trong khơng gian
Trong khơng gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc tại gốc O.
Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề - các vuơng gĩc Oxyz trong khơng gian, gọi tắt là hệ trục Oxyz hay khơng gian Oxyz
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
, ,
i j k
i, j, k
i j k i j j.k k.i
Vì là các vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên:
và
z
y
x
k
j
i
O
Trang 32- Tọa độ của một điểm§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Δ1 Trong khơng gian Oxyz, cho một điểm M Hãy phân tích vectơ theo
ba vectơ khơng đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz
OM
i , j , k
z
y
x
j
k
i
O
M
M'
x.i y j z.k
Ta có =
OM x.i y j z.k
= bộ ba số (x; y; z) được gọi là
tọa độ của điể M(x; y; z) M=(x; y; z)
x: hoành độ; y: tu
Ta vi
ng đo
m M
ä; z:
ết
ca
hay
o độ
Trang 43-Tọa độ của vectơ:
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
, i j k.
.
1 2 3
Trong không gian Oxyz cho vectơ a khi đó luôn tồn tại duy nhất
bộ ba số (a ; a ; a ) sao cho: a a a a
Ta gọi bộ ba số (a ; a ; a ) là tọa độ của vectơ a
Ta viết: a (
.i j k
a ; a ; a ); hoặc a(a ; a ; a )
Như vậy: a a a a a (a ; a ; a )
M(x; y; z) OM (x; y; z)
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng hướng với và có AB = a, AD = b, AA' = c Hãy tín
?2
h to ïa độ các vectơ AB, AC, AC' và AM với M là trung điểm cạnh C'D'.
a.i j k
AD a.i b j k
AA' a.i b j c.k
D' M AA' AD
AC AB
AC (a; b; 0)
AC' AC
AC' (a; b; c)
AM
Gi
AD
a
'
ûi
0 0
0
.
AD AA' a.i b j c.k
a
AB = AB +
AM ( ; b c) ,
1 2
1 2
x
y
z
k
j
i
M C'
B'
A'
D'
D
C B
A
Trang 5II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1- Định lí:
Trong không gian cho hai vectơ a (x; y; z) và b (x', y'; z') Ta có:
a b (x+x'; y+y'; z+z') a b (x - x'; y - y'; z - z')
a (x; y; z)=( x; y; z),
Chứng minh: Các em về nhà xem SGK và tự chứng minh hai trường
hợp cịn lại
Ví dụ:
3
Trong không gian Oxyz, cho a (2; -3; 1); b (1; 3; -2) và c (-2; 0; 1) Tính: 1) a b c ; 2) 2a b c
2- Hệ quả:
x x'
y y'
z z'
x k.x'
z k.z'
A A A B B B
a) Cho hai vectơ a (x; y; z) và b (x'; y'; z') ta có a b b) 0 (0; 0; 0)
c) Với b 0 thì a cùng phương b ; ( ) d) Nếu A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z
y
B A B A B A
A B M
A B
A B M
) thì
AB (x - x ; y - y ; z -z )
x x x
y y M(x ; y ; z ) là trung điểm của AB thì:
z z z
2 2 2
Trang 6 Ví dụ:
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CÁC CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
1) Trong không gian Oxyz, cho a (2; -4; 1), ( ; 5; 2), (3; ; )
, ,
Tính x y z để a b c
: ( 3; 5 ; 2) (2; 4; 1)
2
iai
1
G û
1
a
2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 2), B(3; -4; 7), C(0; 2; -1) a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là một hình bình hành.
Trang 7CỦNG CỐ: Về nhà các em cần học kỷ các mục sau:
- Hệ tọa đọ Đề - các,
-Tọa độ của điểm, tọa độ của vêctơ
-Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, điều kiện để hai vectơ bằng nhau, cùng phương.
HƯỚNG DẪN:
Bài tập 3/ T68
A( 1; 0; 1)
B( 2; 1; 2) C
D(1; -1; 1)
D' A'
B'
C'(4; 5; -5)
Bài tập VN: 1, 2, 3/ T68