Vấn đề 5 min max phần 4 2

Khi đó độ dài của đoạn thẳng OC là: A... Vậy tam giác ABC có diện tích lớn nhất... Khi đó IABcó diện tích nhỏ nhất bằng : A.. Gọi Hlà hình chiếu của I trên Ox... Lời giải Họ và tên tác

Email: lucminhtan@gmail.com

Câu 1. Cho đồ thị hàm số  C :y a x 2bx c có đỉnh I  1; 2 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2

P



  là M khi hàm số có phương trình: 2

y a x b x c

A 3739

27

5

27

Q 

Lời giải

Họ và tên tác giả : Minh Tân Tên FB: thpt tuyphong

Chọn D

2 2

I

x

a

a b c









 



   



2

68

P

* min 70

3

P  tại 1; 2; 5

* Hàm số có pt:

27

P 

Chọn đáp án D

Họ và tên tác giả : Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen

Email: giaohh2@gmail.com

Câu 2. Cho hai điểm A1;1 ; B2; 4nằm trên Parabol  P y x Điểm :  2 C nằm trên cung AB của

Parabol  P sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Khi đó độ dài của đoạn thẳng OC

là:

A 5

5

3

3

2 .

Lời giải Chọn A

Ta có phương trình của đường thẳng AB y x:  2.

Gọi d là đường thẳng song song với AB y x:  2 và tiếp xúc với  P

Ta có :  d y x m trong đó m2

d tiếp xúc với  P khi và chỉ khi phương trình 2

 

 x2 x m 0 có nghiệm kép  1 4 0 1

4

 m  m

4

 

d y x

Gọi C là tiếp điểm của d và  P , khi đó tọa độ của Clà nghiệm của hệ

2

1 1

1 1

4

4



 

x

y x

C y

y x

Gọi M là một điểm bất kì nằm trên cung AB của Parabol  P , khi đó điểm M nằm giữa hai đường thẳng d và đường thẳng AB suy ra chiều cao hạ từ M đến đường thẳng AB nhỏ hơn chiều cao hạ từ C đến đường thẳng AB Vậy tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Khi đó

2

;

Email: huunguyen1979@gmail.com

Câu 3. Cho parabol  P y x:  22018x3 và đường thẳng :d y mx 4 Biết d cắt  P tại hai

điểm phân biệt A B, có hoành độ lần lượt là x x Tìm giá trị nhỏ nhất của 1, 2 T x1 x2 ?

A T 2018 B T 0 C T 2 D T 4

Lời giải

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d :

x  x mx  x2 (m 2018)x1 0

Nhận thấy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu x x với mọi1, 2 m R

1

1

x

2

1

1 ,

x

x cùng dấu)

Dấu ‘=” xảy ra khi m=2018.

Câu 4. Cho , ,x y z [0; 2] Tìm giá trị lớn nhất của T 2(x y z  ) ( xy yz zx  )?

A T 3 B T 0 C T 4 D T 2

Lời giải

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Ta có T f x( ) (2  y z x ) 2(y z ) yz

Nếu y z 2thì ( ) 4f x   yz4 do yz0

Nếuy z 2 thì ( )f x là hàm số bậc nhất

Ta có (0)f (2 y)(2 z) 4 4  và (2)f  yz 4 4.

Vậy MaxT=4 khi x0,y z 2hoặc x2,y z 0

Email: tranquocan1980@gmail.com

Họ và tên tác giả : Trần Quốc An

Tên FB: Tran Quoc An

Câu 5. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số yx4 4x2 5 m trên đoạn [1; 3] đạt giá trị nhỏ

nhất

A 3

2

2

2

2

m 

Lời giải Chọn B

Đặt 2

[1;3]

t x  t ta được hàm số :y t( )t2 4t 5 m t, [1;3]

Đặt u t 2 4t5,u[1; 2] , hàm số trở thành: ( )y u  u m

t 1 2 3

2 4 5

u t  t 2 2

1

Vì t[1;3] u[1;2]

Hàm số ( )f u  u m đồng biến trên [1; 2] nên hàm số y u m nhận GTLN,GTNN ở một trong hai điểm mút 1 ,2

Do đó :

[1; 3]

Dấu “ = “ xãy ra khi 1 2 3

2

Cách khác :

Đặt tx4 4x2 5 t' 4 x3 8x 0 x 2 (do x [1; 3]

Bảng biến thiên

x 1 2 3

4 4 2 5

t x  x  2 2

1

Ta có :t [1; 2]

Hàm số trở thành : ( )y t  t m t, [1; 2]

Hàm số ( )f t  t m đồng biến trên [1; 2] nên hàm số y t m nhận GTLN,GTNN ở một trong hai điểm mút 1 ,2

Do đó :

[1; 3]

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 2 3

2

Email: thuyhung8587@gmail.com

( ) :P y x 2mx 3m 4m 3( m là tham số ) có đỉnh I Gọi ,A B là 2 điểm

thuộc Oxsao cho AB 2018 Khi đó IABcó diện tích nhỏ nhất bằng :

A 2018 B 1009 C 4036 D 1008

Lời giải

Họ và tên tác giả : Cấn Việt Hưng Tên FB: Viet Hung

Chọn B

y x  mx m  m có  ' m2 ( 3m24m 3)

' 2m 4m 3 2(m 1) 1 0, m

        

( )P

 luôn nằm phía dưới Ox

( )P có đỉnh I m( ; 2 m24m 3) Gọi Hlà hình chiếu của I trên Ox Khi đó ta có :

1 2

IAB

IAB

S đạt GTNN  IH đạt GTNN f m( ) 2 m2 4m3đạt GTNN

.1.2018 1009 2

IAB

MinS

Email: domaiphuong1277@gmail.com

Câu 7. Cho hàm số yx22x3m (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị

lớn nhất của hàm số trên 2;1 bằng 7

Lời giải

Họ và tên tác giả : Đỗ Mai Phương Tên FB: Maiphuong Do

Chọn A

Đặt g x  x22x3m, khi đó yg x 

Bảng biến thiên của hàm số g x trên   2;1

3

m   m thì max2;1 y3m 3

Ycbt 3 3 7 4

3

     (loại do m nguyên).

+) Nếu 3m  3 0 m1 thì max2;1 y3m 1

Ycbt  3m  1 7 m2 ( chọn do m nguyên và m     ; 1 )

+) Nếu 3m0 3 m   3 1 m0 thì  

 

2;1

2;1











 

4 1;0

3

m m



  

 





3

m   m m thì

2;1

2;1

2;1





















Ycbt 

0;

1

2 0;

3

m m

m

m

   





 





   

 



Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách khác

Ta có: max 2;1 y max 3 m 1 ; 3m 3

+)

8

2

m

m

m





 



+)

4

3

m m

m

m

m







 



 



Vì mnguyên nên m 2

Email: giaohh2@gmail.com

Câu 8. Cho các số thực x y, thỏa mãn x2y2  1 xy Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ,

nhất của biểu thức 4 4 2 2

A 10

29

5

5

9.

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen

Chọn B

Có Sx2y22 3x y2 2  1 xy2 3x y2 2 2x y2 22xy1

Đặt txy S2t22 1t

Có

2 22  1 2  1

x y xy xy xy xy , dấu bằng xảy ra khi x y 1

3

x y xy xy xy xy , dấu bằng xảy ra khi

,

,











Suy ra 1;1

3

  

t

Xét hàm số f t  2t22t1, 1;1

3

  

t

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy 3; 1 29

Email: ngochuongdoan.6@gmail.com

Câu 9. Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) = 2m- 3x trên éë- 1;2ùû đạt giá trị nhỏ nhất

thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

A m Î (2;3) B m Î (1;2) C m Î -( 1;1) D m Î (3;4)

Họ và tên tác giả : Đoàn Thị Hường Tên FB: Đoàn Thị Hường

Lời giải Chọn C

Vì đồ thị hàm số bậc nhất y=2m- 3x là một đường thẳng nên max ( )[ 1;2]- f x chỉ có thể đạt được

tại x = - 1 hoặc x =2

Do đó nếu đặt M = max ( )[1;2] f x thì M ³ f(- 1) = 2m+3 và M ³ f( )2 = 2m- 6 .

Ta có

ff

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 6 2 3

m

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 9

2, đạt được chỉ khi

3 4

Email: ngochuongdoan.6@gmail.com

Câu 10. Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )= - 3x2 +6x+ -1 2m trên éë- 2;3ùû đạt

giá trị nhỏ nhất thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

A m Î -( 6; 4- ) B m Î -( 4;0) C m Î (0;3) D m Î (3;5)

Họ và tên tác giả : Đoàn Thị Hường Tên FB: Đoàn Thị Hường

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số y=g x( )= - 3x2 +6x+ -1 2m là parabol có hoành độ đỉnh bằng

1 2;3

b

a

- = Î -é ù

Do đó

[ 2;3]

max ( )

-= =max{ g(1) ; ( 2) ; (3)g- g }

max 4 2 ; 23 2 ; 8 2m m m

max 2m 4 ; 2m 23 ; 2m 8

max 2m 4 ; 2m 23

= - + ( do 2m- 4<2m+ <8 2m+23 "mÎ ¡ )

max 2m 4 ; 2m 23

Suy ra M ³ 2m- 4 và M ³ 2m+23

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 23 4 2 19

m

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 27

2 , đạt được chỉ khi

19 4

Email:boigiabao98@gmail.com

Câu 11. Biết rằng hàm số 2

y ax bx c (a,b,c là các số thực) đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại

3 2

x  và

tổng lập phương các nghiệm của phương trình y  bằng 0 9 Tính P abc

A P 0 B P 6 C P 7 D P 6

Họ và tên tác giả :Nguyễn Quang Huy(Sưu tầm ) Tên FB: Nguyễn Quang Huy

Lời giải

Hàm số y ax 2bx c đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại

3 2

x  nên ta có

3

0

b a a







 



và điểm

3 1

;

2 4

  thuộc đồ thị 9 3 1

4a 2b c 4

Để phương trình ax2bx c  có nghiệm thì 0 b2 4ac0

Khi đó giả sửx x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 y  Theo giả thiết: 0 3 3

3

Từ đó ta có hệ

3

3

3

2 2

b

c c

a



 





Chọn B

Email:boigiabao98@gmail.com

Câu 12. Biết rằng hàm số y ax 2bx c (a,b,c là các số thực) đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại

3 2

x  và

tổng lập phương các nghiệm của phương trình y  bằng 0 9 Tính P abc

A P 0 B P 6 C P 7 D P 6

Họ và tên tác giả :Nguyễn Quang Huy(Sưu tầm ) Tên FB: Nguyễn Quang Huy

Lời giải

y ax bx c đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại

3 2

x  nên ta có

3

0

b a a







 



và điểm

3 1

;

2 4

  thuộc đồ thị 9 3 1

4a 2b c 4

Để phương trình ax2bx c  có nghiệm thì 0 b2 4ac0

Khi đó giả sửx x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 y  Theo giả thiết: 0 3 3

3

Từ đó ta có hệ

3

3

3

2 2

b

c c

a





Chọn B

Mail: dogiachuyen@gmail.com

Câu 13. Cho đường thẳng d m: y mx  2m1 và parabol (P): y x 2  3x2 (m là tham số thực).

Biết d a

b

 (với a b  , và phân số a

b tối giản) là khoảng cách lớn nhất từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng d m Tính P a 2b2

A P 1097 B P 45 C P 857 D P 285

Lời giải

Họ tên: Đỗ Gia Chuyên Facebook: Chuyên Đỗ Gia

Chọn C

Đỉnh của  P là 3; 1

2 4



Gọi M a b( ; ) là điểm cố định của họ đường thẳng d m

Suy ra (a 2)m 1 b0 đúng với mọi m

Gọi H là hình chiếu của I lên d , khi đó m IH là khoảng cách từ I đến đường thẳng d m

Có d I d ; m IH IM nên d I d ; m đạt giá trị lớn nhất bằng IM khi và chỉ khiH M2;1

4

Vậy P a 2b2 857

Email: maimai1.hn@gmail.com

Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai

Tên FB: Mai Mai

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A  1;1 và B  2;3 Điểm M 0;m

n

  (với m

n là

phân số tối giản, n 0) nằm trên trục tung thỏa mãn tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A và

B là nhỏ nhất Tính S m 2n

A S 1 B S 11 C S 4 D S 3

Lời giải

Chọn B

Ta có A , B nằm cùng phía so với Oy

Lấy điểm B' 2; 3  đối xứng với điểm B qua Oy

Ta có: MA MB MA MB   '

Do đó, để MA MB nhỏ nhất thì: 3 điểm M A B, , 'thẳng hàng

Phương trình đường thẳng đi qua A và B' là: 2 5

Đường thẳng AB' cắt trục tung tại điểm 0;5 5; 3 2 11

3

Email: Samnk.thptnhuthanh@gmail.com

Câu 15. Cho hàm số 2

yf x x  x Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  f(f(x)), với   3 x 0 Tổng Sm M

64

S 

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Khắc Sâm Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn B

Ta có f f x( ( ))f x2( ) 6 ( ) 5. f x 

Đặt t  f (x), Xét hàm tf x( )x26x 5 trên 3;0

Ta có bảng biến thiên:

x - ¥ - 3 0

+¥ 5

- 4

Từ bảng biến thiên ta được: 4 t 5

Khi đó hàm số được viết lại: f t( ) t2 6t5,

Lập bảng biến thiên của hàm f t( ) t2 6t5, trên 4;5

t - 4 - 3 5

2

60 3

- 4

Ta được m  , 4 M 60 Vậy S =56

Câu 16. Cho Parabol y mx 2 2mx2(m # 0) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số đạt

giá trị nhỏ nhất bằng -6 trên đoạn [-2; 3] Tính tổng tất cả các phần tử của S.

Hướng dẫn:

Tọa độ đỉnh của Parabol I(1; 2 – m)

Nếu m > 0 khi đó giá trị nhỏ nhất là y(1)= 2 m 2 m6 m8 (tm)

Nếu m < 0 khi đó y( 2) 8  m2, (3) 3y  m2 vì 8m 2 3m 2 m 0 miny8m2 Ycbt  8m 2 6 m1( )tm

Vậy S = {-1; 8}

Email: chulinhchitihon@gmail.com

Câu 17. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 4m 2 2m

y x  x  x  trên đoạn 2;0 bằng 3 Tính tổng T các phần tử của S

A 3

2

2

2

2

T 

Lời giải Chọn D

Họ và tên: Nguyễn Hoàng Phú An Facbook: Phu An

Parabol có hệ số theo x là 4 02  nên bề lõm hướng lên Hoành độ đỉnh

2

I m

 Nếu 2 4

2

m

m

     thì x    Suy ra I 2 0 f x tăng trên đoạn   2;0

Do đĩ min2;0 f x  f  2 m2 6m 16

Theo yêu cầu bài tốn: m26m16 3 (vơ nghiệm)

2

m

m

       thì x  I 0;2 Suy ra f x đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. 

Do đĩ

 2;0  

2

m

m



 

 

 



Theo yêu cầu bài tốn 2 3 3

2

    (thỏa mãn 4  m 0)

2

m

m

   thì x    Suy ra I 0 2 f x giảm trên đoạn   2;0

Do đĩ m2;0in f x  f  0 m2 2 m

3

m m

m

m     





loại thỏa mãn

S   T   

Email: lecamhoa474@gmail.com

Câu 18. Xét các số thực , ,a b c sao cho phương trình 2

0

ax bx c  cĩ hai nghiệm thuộc 0;1 Giá trị lớn nhất của biểu thức  (2 )

T

a a b c



  là

A Tmax 3 B max 3

2

35 8

8 3

Lời giải

Họ và tên tác giả : Lê Cẩm Hoa Tên FB: Élie C artan C artan

Chọn A

Với các số thực , ,a b c làm cho phương trình 2

0

ax bx c  cĩ hai nghiệm thuộc 0;1 Suy ra 

a # 0 Gọi hai nghiệm đĩ là x x , theo định lí Viet ta được1, 2

1 2

1 2

b

a c

x x

a











1 2 1 2

T

 

Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử 0x1x2 1,

Suy ra

2

2 2

1

x









Suy ra

1

Suy ra T   2 1 3 Vậy Tmax 3, dấu “=” xảy ra khi x1x2 1

Họ và tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng

Ý tưởng: Nếu hàm số y= f x( )

là hàm số lẻ trên đoạn [- a a; ], (a>0)

và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì [ ; ] ( ) [0; ] ( ) [ ; ] ( )

Câu 19. Gọi M m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số ,

2

2017 2019 ( )

2018

ç

x

định của nó Tìm số phần tử của tập hợp *

[ ; ]

Ç m M

Email: thanhdungtoan6@gmail.com Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng

Lời giải

Đáp án: B

Tập xác định D= -êéë 2019; 2019ùúû

Dễ thấy ( )f x là hàm số lẻ trên D Thêm nữa, ( ) 0,f x ³ " Î êx éë0; 2019ùúû.

Do đó,

2019; 2019 0; 2019

2019; 2019 0; 2019

é -ê ù ú é ê ù ú

é -ê ù ú é ê ù ú

ïï ïï

=-ïïïî

Ta có

2

2

2

2

2017 2019

2018 2018

2017 2019 2018

ç

x

x

2 2017 2019 2 2018

ç

f x

Đẳng thức xảy ra

2

2017 2019

2017

2017 2019

ïï

-ïî

x

x

Từ đó suy ra

2019; 2019 0; 2019

2019; 2019 0; 2019

é -ê ù ú é ê ù ú

é -ê ù ú é ê ù ú

ïï ïí

=-ïï ïî

Vậy ( *Ç[ ; ] )= ( ( *Ç -é 2018; 2018ù) )=44

có thể hỏi dễ hơn M + m =? (Bài độ chế từ đề Olympic 30/4 Hùng Vương – Bình dương)

ngoletao@gmail.com

Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yf x  x2 3x2 mx có

giá trị nhỏ nhất bằng 1 Tổng các phần tử của tập hợp Sbằng

A 6 B 5 2 3

1 2

Lời giải

Họ và tên tác giả : Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo

Chọn B

Ta có

2

1 2

2

neáu neáu 1 <



 Hai parabol  P và 1  P cắt nhau tại 2 A1;m B, 2; 2m Parabol   P có đỉnh1

 32 3

m m

Khi đó

 

2

3 2 3 3

S

m m

m

  



 



2

m

m



Khi đó

2

1

A B

m m

m m

   











  

 



 



Nhận xét: Do min min  1 ;  2 ; 3

2

m

  nên ta có giải bài toán bằng cách lần lượt cho  1 ,  2 , 3

2

m

  bằng 1 để tìm m , sau đó kiểm tra lại xem nó có phải là min y

không

Email: tranducphuong.rb@gmail.com

Câu 21. Gọi M m, lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số ( )

2

2 1

f x

x

=

+ Tìm số phần tử của tập hợp ¢Ç[ ;m M]?

Họ và tên tác giả: Trần Đức Phương Tên FB: Trần Đức Phương

Lời giải Chọn B

Ta có ( )

2 2

f x

x t x

= +

Vì

2

2

x

Xét hàm g t( )= + với t2 t 1 1;

2 2

t  

Dễ thấy hàm số đồng biến trên 1 1;

2 2

m g  

2 4

M g 

  Vậy ¢Ç[ ; ]= 0 m M { }

Email: thienhuongtth@gmail.com

Câu 22. Cho hàm số y x 2 2x có đồ thị  C Giả sử M x y thuộc  0; 0  C sao cho khoảng cách từ

điểm M tới đường thẳng :d y4x15 là nhỏ nhất Tính Sx0y0

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Thanh Tên FB: Thanh Văn Nguyễn

Chọn B

Gọi  là tiếp tuyến của  C sao cho  song song với đường thẳng :d y4x15.

 có phương trình là y4x 9

Giao điểm của  và  C là M3;3.

3;3

M là điểm cần tìm.

Do đó S x0y0 6

Email: thanhhai252@gmail.com

Câu 23. Cho hàm số y x 2 2(m21)x m Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

[ 2;0] lần lượt là y ;1 y Tính tổng các giá trị của m tìm được, biết 2 y111y2 0

Họ tên: Trịnh Thị Hải FB: Trịnh Thanh Hải

Lời giải Chọn B

Đặt f x( )x2 2(m21)x m

Gọi ( ; )I x y là tọa độ đỉnh của parabol I I  x I m2 1 1 Vậy x   I [ 2;0]

Ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;m21)  hàm số cũng nghịch biến trên ( 2;0)

1 ( 2) 4 8

y f   m m và y2 f(0)m

2

m m





  



Email: lehongphivts@gmail.com

Câu 24: Cho hàm số   2

f x ax bx c , a 0 thỏa mãn điều kiện f x  1,   x  1;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T a2b2c2?

A maxT 1 B maxT 3 C maxT 5 D maxT 9

Lời giải

Họ và tên tác giả : Lê Hồng Phi, Tên FB:Lê Hồng Phi

Chọn C

Ta có