Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức

- Tên sáng kiến: “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức ”.- Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạ

- Tên sáng kiến: “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức ”.

- Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán lớp 12

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN.

I Giải pháp cũ thường làm.

Trước đây khi dạy chủ đề “số phức” cho học sinh phần này giáo viên thường làm

như sau:

1) Cung cấp lí thuyết cơ sở

2) Hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải bài toán cơ bản áp dụng líthuyết vừa được cung cấp

3) Cho bài tập áp dụng, chủ yếu là thực hiện phép toán về số phức, tìm phần thực,phần ảo, mô – đun, số phức liên hợp, giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tậphợp số phức, tìm tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, có đưa ra một

số câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức nhưng thường hướng tới việc đưa

về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

* Hạn chế của phương pháp cũ :

1 Học sinh tuy nắm được lí thuyết nhưng còn nhiều lúng túng, không biết vậndụng lí thuyết vào làm bài tập

2 Học sinh được rèn luyện kĩ năng ít, chủ yếu là máy móc vận dụng công thức

3 Học sinh không biết qui lạ về quen

4 Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán đề phức tạp hoặc chưa thể áp dụng ngay líthuyết

5 Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho

6 Thời gian xử lí mỗi câu hỏi thường mất từ 5 tới 7 phút, không phù hợp với hìnhthức thi trắc nghiệm

7 Hạn chế của giáo viên: Chưa lường hết sai sót mà học sinh sẽ mắc phải, bố cụcchủ đề chưa hệ thống được chặt chẽ

II Giải pháp mới cải tiến.

Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã thực hiện sáng kiến “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức ” thông qua một số giải pháp tóm tắtnhư sau:

a) Cung cấp lí thuyết và các kiến thức liên quan theo từng chủ đề

(Xem chi tiết qua các phần phụ lục)

Chẳng hạn: Với chủ đề “BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA

SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG” chúngtôi đã cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản sau:

* Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax by c  0 ( )

* Khoảng cách từ điểm A  tới điểm M   ngắn nhất khi M là hình chiếu vuông

góc của A lên đường thẳng  Khi đó AMmin d A ,

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z, tìm zmin. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực của đoạn OA với

 ; 

A a b

2 2 0

TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z c di , tìm zmin. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực của đoạn AB với

b) Chia chủ đề lớn thành nhiều phần nhỏ Ứng với mỗi phần đó,chúng tôi hướngdẫn học sinh tìm “nút thắt” của bài toán, hình thành phương pháp giải cho dạng toán đó

và cho bài tập áp dụng ở cả hai hình thức tự luận và trắc nghiệm từ dễ tới khó

(Xem chi tiết qua phần phụ lục)

Cụ thể: Chủ đề lớn này, chúng tôi chia thành ba chủ đề nhỏ (Ứng với ba phần phụ lục):

Phụ lục 1 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG.

2

Phụ lục 2 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRÒN.

Phụ lục 3 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP.

Trong từng chủ đề nhỏ đó, chúng tôi cho các em phân tích đề và định hướng giải quyết để xây dựng và tổng kết phương pháp giải chung cho cả chủ đề, mục đích là hướngtới các em có được cách giải quyết tối ưu nhất khi đứng trước một bài toán về vấn đề này

♦ Ví dụ 1:Cho số phức zthỏa mãn điều kiện z   1 i z 2 3 i Mô đun nhỏ nhất của

số phức z bằng

A. 11

11.68

10 D. 1

68

♥ Phân tích:

Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:

+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?

+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?

+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z   1 i z 2 3 i  x 12 y12 x 22 y 32

Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:

+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?

+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?

y

x

11 2

11 8



O

H

+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?

♥ Lời giải:

Gọi M x y là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán Khi đó từ hệ  ; 

thức z 1 3i 3 ta suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán là đường tròn tâm (1; 3)I  bán kính R 3

Đặt (1;1)A  AI 4, z 1 i MA, khi đó

1min z 1 i minMA M A AI R  1 chọn đáp án A

Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:

+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?

+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?

+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?

♥ Lời giải:

Gọi z là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z 3 z 3 10

Khi đó z suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm

, ,

z x yi x y  bán kính z 3 z 3 10

Đặt c3,a5 , I là trung điểm của b  thì min4 z 4

Ta thấy A3;0 , B3;0 lớn nhất khi O0;0 lớn nhất khi AB  ( như hình vẽ)6

4

Đường thẳng qua MA MB 10 vuông góc với

(Xem chi tiết phần nội dung trong các phụ lục)d) Hướng dẫn học sinh tạo ra bài tập mới bằng cách hoán đổi giả thiết và kết luậnhoặc thay đổi một số dữ kiện Phân nhóm và giao nhiệm vụ các em làm việc theo nhóm để ramỗi phần mười câu hỏi

*Ưu điểm của giải pháp mới:

+ Học sinh được củng cố kiến thức cũ liên quan tới phần đã học, đặc biệt sẽ nắmlại những kiến thức trọng tâm sẽ sử dụng

+ Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh tích luỹ được một phương pháp và như vậyđứng trước một bài toán học sinh sẽ có định hướng giải quyết Rèn luyện cho học sinh tưduy tổng hợp, kĩ năng xử lí linh hoạt tình huống nếu cùng kiểu câu hỏi như nhau nhưngcho ở các dạng khác nhau hoặc cùng dạng bài nhưng cách hỏi khác nhau

+ Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọnphương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài Rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụnglinh hoạt, sáng tạo

+ Cách tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen, chủ động tích cựclĩnh hội kiến thức mới Học sinh không còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán về phần nàytrong đề thi học sinh giỏi, đề thi Trung học phổ thông quốc gia Học sinh còn cảm thấyhứng thú vì mình có thể tự ra được bài tập Khi các em tự ra được các đề toán các em sẽnắm vấn đề của bài toán tốt hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải Hơn hết việc làmnày còn giúp các em hình thành năng lực hoạt động nhóm, năng lực sử dụng công nghệthông tin, năng lực tổng hợp, phân tích, giải quyết và đánh giá các vấn đề liên quan đếnnội dung chủ đề học

C HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI ĐẠT ĐƯỢC

1 Hiệu quả kinh tế:

- Sáng kiến của chúng tôi không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng lại có ýnghĩa kinh tế cao bởi nó góp phần đào tạo ra nguồn nhân lực phục vụ lao động sản xuất

- Tiết kiệm được chi phí mua tài liệu cho học sinh và giáo viên, ước tính để họcmột phần kiến thức này nếu các em muốn mua sách hay học trực tuyến thì cũng phải mấtkhoảng 60.000 đồng, với tài liệu này các em phô tô chỉ mất 10.000 đồng, như vậy tiếtkiệm cho mỗi em vào khoảng50.000 đồng Nếu nhân với số lượng khoảng 380 em trên

một khối 12 ở một trường thì ta đã tiết kiệm được 19.000.000 đồng, nếu nhân rộng ra vớilượng học sinh khối 12 trên toàn tỉnh thì tiết kiệm được một số tiền không nhỏ!

- Sáng kiến trên được tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 nhiều năm củachúng tôi và đặc biệt là trong quá trình dạy lớp 12 năm học 2016-2017, 2017 - 2018,những năm học đầu tiên môn Toán đưa hình thức thi trắc nghiệm vào kì thi Trung họcphổ thông Quốc gia, chúng tôi tin rằng với kinh nghiệm của bản thân mình sẽ giúp cácthầy cô và các em học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian tìm tài liệu phục vụ choviệc học tập phần này

2 Hiệu quả xã hội:

Trong năm học 2017 – 2018chúng tôi đã áp dụng phần nội dung sáng kiến trên cho việc giảng dạy đối với hai lớp 12 trong trường Đối với các lớp còn lại không áp dụng sáng kiến này điểm Toán kì thi Trung học phổ thông năm 2017 -

2018 được cụ thể như sau:

Lớp Tổng số

HS

Điểm TB lớp

i v i l p hai l p l p chúng tôi gi ng d y i m Toán kì thi Trung h c

Đ ảng dạy điểm Toán kì thi Trung học ạy điểm Toán kì thi Trung học điểm Toán kì thi Trung học ểm Toán kì thi Trung học ọc

ph thông n m 2016 – 2017 c th nh sau: ổ thông năm 2016 – 2017 cụ thể như sau: ăm 2016 – 2017 cụ thể như sau: ụ thể như sau: ểm Toán kì thi Trung học ư sau:

Lớp Tổng số

HS

Điểm TB lớp

Đặc biệt khi áp dụng phương pháp dạy như vậy trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh

và kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp tỉnh học sinh lớp12 của trường chúng tôi dạy

đã đạt được một số giải 01 giải ba; 01 giải khuyến khích

D ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

- Sáng kiến có thể áp dụng trong giảng dạy môn Toán cấp THPT trong Tỉnh vàToàn quốc

- Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh

- Làm tài liệu tham khảo về phương pháp cho các môn học khác

- Sáng kiến đã và đang được áp dụng trong giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trườngchúng tôi giảng dạy

* Triển khai các giải pháp theo hệ thống các vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG

PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI

TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC” được trình bày chi tiết trong ba phần phụ lục dưới đây.

6

Phụ lục 1 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG

THẲNG.

1 Cung cấp kiến thức liên quan.

* Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax by c  0 ( )

* Khoảng cách từ điểm A  tới điểm M   ngắn nhất khi M là hình chiếu vuông

góc của A lên đường thẳng  Khi đó AMmin d A ,

* z z ' MM'trong đó M M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức., '

2 Hình thành phương pháp giải.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z, tìm zmin. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực của đoạn OA với

 ; 

A a b

2 2 0

TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z c di , tìm zmin. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực của đoạn AB với

 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản

+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Khi đó ta biến đổi

►Mục đích, yêu cầu của loại bài tập này:

- Đưa ra một số bài tập từ đơn giản tới phức tạp giúp các em nắm chắc được

cách vận dụng kiến thức vừa được lĩnh hội, từ đó linh hoạt vận dụng vào cácbài tập tiếp theo

- Đưa ra phân tích, định hướng từ đó giúp các em thấy được hướng tư duy khi

gặp bài toán loại này để có thể vận dụng vào giải quyết tốt nhất

♦ Ví dụ 1:Cho số phức zthỏa mãn điều kiện z   1 i z 2 3 i Tính Mô đun nhỏ nhất của số phức z?

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z   1 i z 2 3 i  x 12 y12 x 22 y 32

♦ Ví dụ 2:Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2 i Tìm số phức z

có mô đun nhỏ nhất?

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z 2 4 i  z 2i  x 22 y 42 x2 y 22

8

y

x

11 2

11 8



O

H

4 0 4

+) Mặt khác z  x2y2  x2 4 x2  2x2 8x16 2x 22 8 2 2+) Vậy zmin 2 2  x 2 y 2 z  2 2 i

♦ Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy các số phức , zthỏa mãn z 1 2i  z i Tìm

số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1;3.

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Gọi E1; 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0; 1  là điểm biểu diễn số phức i

+) Ta có z 1 2i  z i  ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực EFcó phương trình: x y  2 0

+) Để MA ngắn nhất khi MAEF tại M  M3;1  số phức cần tìm là z 3 i

♦ Ví dụ 4:Cho số phức z, w thỏa mãn điều kiện z 1 2i  z 5 , wi  iz 20. Tìm giá

trị nhỏ nhất m của w ?

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z 1 2i  z 5i  x3y10 0  x3y10

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z 2   i z 4 i  3x y   3 0 y3x3

Theo giả thiết ta có: z i  z 2  4x2y 3 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng   4x2y 3 0

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z i   1 z 2i  x y  1 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng   :x y  1 0

Ta có: (2 3i) z 7 4 i  13 z 2 i 13.AM với A2;1 .

min(2 3i) z 7 4 i  13.d A;  26

♦ Ví dụ 8:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z3 1i  z i , tìm giá trị nhỏ nhất của

z  i z  i

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z3 1i  z i  2x8y 9 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng   : 2x8y 9 0

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z2i  z 3  6x4y 5 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng   : 6x4y 5 0

♥ Lời giải:

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z i  z 3  3x y  4 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng   : 3x y  4 0

Ta có: (2i z)  3 i  5 z 5i  5MA MB  với A1;1 ; B0;5

min(2i z)  3 i  5 z 5i  5 MA MB  5.AB 85

● Bài tập trắc nghiệm.

►Mục đích, yêu cầu của loại bài tập này:

- Loại bài tập này giúp các em có cái nhìn tổng quan hơn về cách thức ra đề trong dạngbài tập đó, và tiếp cận gần hơn với đề thi trong kì thi Trung học phổ thông

- Khi làm trắc nghiệm sẽ giúp các em rèn luyện tốt hơn về khả năng phân tích, tổng hợp,đánh giá, các kĩ năng trong sử dụng máy tính cầm tay, kĩ năng đọc tính chất hình học

♦ Ví dụ 11:Cho số phức , w z thỏa mãn điều kiện 3 2 1 4 , w 3 2

Gọi số phức z x yi x y   , R có điểm biểu diễn  M x y ; 

Theo giả thiết ta có: z 3 2i   z 1 4i  x y 1 0  x y 1

Gọi số phức z1 a bi a b , R có điểm biểu diễn  M a b ; 

Gọi số phức z2  x yi x y , R có điểm biểu diễn  N x y ; 

N

M1

O

( , ) 1 2 3

f a b   z i  z  i  f a b ,   a12b 12  a 22 b32 Gọi A  1;1, B2; 3  Khi đó f a b ,  AM BM

Như vậy ta cần tìm M : 8x6y25 0 sao cho f a b ,  AM BM nhỏ nhất

M I B' B

A

M

A và B nằm về một phía đối với  nên gọi B là điểm đối xứng của B qua 

Khi đó AM BM AM B M  AB AM BM nhỏ nhất là AB khi M AB 

BB   và đi qua B2; 3 nên BB: 6x 8y 36 0

Gọi I BB  ta có tọa độ của I là nghiệm của hệ: 86x x68y y36 025 0



42521950

x y

Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: 4 x2y 3 0.

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ nhất trên mặt phẳng phức

Khi đó zmin khi và chỉ khi OMmin hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d

Phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với d là: 2 x4y0

3

;5

310

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng d : 2 y   1 0 hoặc z   1 2 i.

* Trường hợp z thuộc đường thẳng d: 2y  1 0: Xét điểm I2; 2  Khi đó

2 2

z  i IM (vớiM x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z x yi)

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d Ta có IM IH, Md

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi H M Do đó  ,  3

2

IM IH d I d 

* Trường hợp z 1 2i: z 2 2 i 1

Do đó Giá trị nhỏ nhất của z 2 2 i là 1

►D Giải pháp 4: Hướng dẫn học sinh cách tự ra đề.

Đối với vấn đề 1, chỉ ra yếu tố cần thiết cho các em để ra được câu hỏi thì các em cầnthực hiện theo một trong các nguyên tắc sau:

+ Thứ nhất: Đảm bảo tập điểm biểu diễn số phức gắn với bài toán tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất là đường thẳng

+ Thứ hai: Các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan tới mô – đun đưa về

sử dụng được các tính chất trong hình học phẳng

Yêu cầu: Chia lớp thành bốn nhóm, mỗi nhóm về chuẩn bị 10 câu hỏi theo các nguyêntắc ra đề trên và cho gợi ý đáp án trả lời Trình bày báo cáo sản phẩm vào tiết luyện tập.Các nhóm đánh giá về mức độ đề và cách định hướng lời giải của nhóm trình bày

Câu 7: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 1   z 3 2 , wi  z m i với m  R là

tham số Giá trị của m để ta luôn có w 2 5 là

Câu 11: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2 i Số phức

5

Câu 13: Số phức z thỏa mãn z 1 z2i là số thực và z đạt giá trị nhỏ nhất Điểm

biểu diễn của số phức zlà

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  z 2 3  i Mô đun nhỏ nhất của số phức

w  z 3 i là

A 2 2 B 2 C.3 2 D.1.

Câu 20: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 1   z 3 2 ; wi  z m i với m  R là

tham số Giá trị của m để ta luôn có w 2 5 là

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 2z5 z 1 2i z  3 1 i  Tínhmin w với w z  2 2  i

47

 có mô đun nhỏ nhất Tổng phần thực và phần ảo của số

phức w có mô đun nhỏ nhất đó là

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i   z 1 4 i Biết biểu thức

1 Cung cấp kiến thức liên quan.

* Phương trình đường tròn tâm I a b bán kính  ;  R có dạng:

x a 2y b 2 R2  C

* Khoảng cách từ điểm A C tới điểm M  C lớn nhất và nhỏ nhất khi M tương ứng là giao điểm của AI với  C

Khi đó AMmin AI R ; AMmax AI R

* z z ' MM'trong đó M M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức., '

Gọi M x y là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán Khi đó từ hệ  ; 

thức z 1 3i 3 ta suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán là đường tròn tâm (1; 3)I  bán kính R 3