Ứng dụng các phép biến hình trong giải bài toán quỹ tích ở trường THPT

Trong chương I - Hình học 11, các phép biến hình đã là công cụhữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích, dựng hình,… Đây là một vấn đềkhó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệ

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô trong Khoa khoa học Tự nhiên nói chung và Bộ môn Hình học và Phương pháp giảng dạy Toán nói riêng đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường Đặc biệt,

em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn –ThS Nguyễn Thị Xuân

đã tạo cơ hội và điều kiện tốt nhất để em được làm bài tập này, cảm ơn cô đã giảng dạy chỉ bảo tận tình và truyền đạt những kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian qua.

Cảm ơn tập thể lớp K17b Đại học Sư phạm Toán đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này, cảm ơn các bạn trong lớp đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành bài tiểu luận.

Bước đầu đi vào thực hiện bài tập lớn, kiến thức của em đang còn hạn chế do vậy không tránh khỏi những thiếu sót và những chỗ chưa chuẩn xác, kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và các anh chị, bạn học để em hoàn thiện hơn bài tiểu luận của mình.

Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày tháng năm

Sinh viên

Lê Thị Bích Hường

PHẦN MỞ ĐẦU

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thànhnhững cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diệnphù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người ViệtNam

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sứcquan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thứctrong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công

cụ để học tốt những môn học khác Góp phần phát triển nhân cách, ngoàiviệc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng Toán học cầnthiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của conngười lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỷ luật, tính phê phán,tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Trong chương I - Hình học 11, các phép biến hình đã là công cụhữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích, dựng hình,… Đây là một vấn đềkhó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệm biến hình vàhầu hết các em đều “ngại” làm những bài toán liên quan đến quỹ tích

Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình khôngchỉ là công cụ để giải toán mà còn giúp các em làm quen với phương pháp

tư duy và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quanđiểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạotrong học tập Do vậy em xin chọn đề tài: “ Ứng dụng các phép biến hìnhtrong giải bài toán quỹ tích ở trường THPT”

Với đặc điểm của chương trình này là: kiến thức mới, học sinh tiếpcận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều Mặc dùchương trình mới đã giảm tải về mặt lý thuyết rất nhiều Nhiều học sinhhọc phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tính

Vì vậy bài tiểu luận này sẽ một phần nào giúp người học nắm rõkhái quát hơn về khái niệm, các tính chất của các phép biến hình và phânbiệt sự khác nhau giữa các bài toán tìm quỹ tích ở mỗi phép biến hình đó.

Phạm vi nghiên cứu:

- Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình

- Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ mônToán Trung học phổ thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, cáctài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học, cao đẳng và học sinhgiỏi

Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sáchtham khảo, các tài liệu liên quan khác,

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học của giáo viên vàhọc sinh

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Khái niệm về quỹ tích:

Ta biết rằng hình là một tập hợp điểm nào đó Để cho một tập hợp, ta có thể

có nhiều cách Một trong các cách đó là chỉ ra tập hợp đó gồm những điểm nào.Chẳng hạn có thể nói về tập hợp các đỉnh của một đa giác đã cho Hoặc có thểcho về một tập hợp điểm bằng cách chỉ ra những tính chất đặc trưng cho cácđiểm đó Chẳng hạn ta có thể nói về tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và Bcho trước

Khi hình X được xác định như là tập hợp tất cả những điểm có tính chất  ,

thì ta nói “X là quỹ tích của những điểm có tính chất  ” hay “Quỹ tích của những điểm có tính chất  là hình X” Theo lý thuyết tập hợp điều đó có nghĩa

là:

-Nếu điểm M có tính chất  thì M  X

-Nếu M X thì M có tính chất 

2 Dạng chứng minh của bài toán quỹ tích:

- Bài toán loại này được phát biểu dưới dạng: “Chứng minh rằng quỹ tích những điểm M có tính chất  là hình X”.

Để giải bài toán này, như trên đã nói ta phải chứng minh hai phần: Phầnthuận và phần ảo

a) Nếu điểm M có tính chất  thì M  X (phần thuận).

b) Nếu M  X thì M có tính chất 

Có thể hay phần thuận a) và phần đảo b) bằng mệnh đề tương đương:

a’) Nếu M  X thì M không có tính chất 

b’) Nếu M không có tính chất  thì M X.

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1; R) và (O2: R) và O1 O2 Gọi

điểm A, B và gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng quỹ tích điểm M khi

A, B thay đổi là hình tròn tâm C bán kính R

Lời giải:

Phần thuận: Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Ta phải chứng minh CM  R

Phần đảo: Giả sử M là điểm thuộc đường tròn tâm C bán kính R Ta phải chứng

minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB nào đó, với A, B lần lượt nằm trên haiđường tròn đã cho

N M

chung của chúng và A là điểm đối xứng của B qua M thì rõ ràng M là trung

thành điểm M’ sao cho MM  'v

- Tính chất: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai

chất điểm bất kỳ

3.2 Phép đối xứng trục:

- Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d khi và chỉ khi d

là đường trung trực của MM’

3.3 Phép quay và phép đối xứng tâm:

- Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh của M qua phép quay Q( ; )O R khi

- Định nghĩa: Cho trước một điểm O và số thực k  Phép biến đổi biến0mọi điểm M thành điểm M’ sao cho OM 'kOM

được gọi là phép vị tự tâm O

gọi là tạo ảnh của M’, O là tâm của phép vị tự, K là hệ số vị tự

Nếu k=0, thì ảnh của mọi điểm M là O

ỨNG DỤNG

Sử dụng các phép biến hình trong giải các bài toán về quỹ tích

1 Phương pháp giải bài toán quỹ tích

Bài toán tìm quỹ tích có dạng sau: “Tìm quỹ tích các điểm M có tính chất

 ” Trong bài toán dạng này, người ta chưa cho biết quỹ tích M là hình gì.

Chúng ta phải tìm ra một hình H và chứng minh rằng quỹ tích các điểm Mchính là hình H đó

Để tìm ra hình H ta có thể biến đổi tính chất  của điểm M thành ra tính

chỉ khi M có tính chất ” Nếu quỹ tích những điểm M có tính chất  làmột bài toán đơn giản hoặc là bài toán đã giải trước rồi thì bài toán đặt ra banđầu cũng được giải

Như vậy lời bài toán tìm quỹ tích phải có hai phần:

nó thuộc hình H

- Phần đảo:Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc hình H thì nó có tính chất 

2 Sử dụng các phép biến hình trong giải các bài toán về quỹ tích

2.1 Phép biến hình - Phép tịnh tiến:

- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra được vectơ v cố định, xét phép tịnh tiến

v

T

điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M Biết M chạy trên đường (C)

Vậy quỹ tích củađiểm M’ là đường (C’)

Ví dụ 2.1.1: Cho 2 điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A

thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

biến A thành H Do đó A chạy trên đường tròn

Kết luận: Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của



Ví dụ 2.1.2: Cho đường tròn(O;R) và một điểm M chạy trên đường tròn đó, cho

một đoạn AB có A,B không nằm trên đường tròn đó Tìm quỹ tích các điểm M’

là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’

D

O

O' A

B

T

: Biến M thành M’ Do đó Mchạy trên đường tròn (O;R) M’ chạy trên đường tròn (O’;R), O’ được xácđịnh: OO 'BA

Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường

Ví dụ 2.1.3: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B Một điểm M thay đổi trên

đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: MM  'MA MB

B

A O'

O'

M'

B

P Q

A

M' B

M

Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO' AB  

thì quỹ tích M' làđường tròn O' có bán kính bằng bán kính đường tròn (O)

Ví dụ 2.1.4: Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính

MN thay đổi Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và

Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ?

biến M thành H ( M không trùng A; M không

( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó

Ví dụ 2.1.5: Cho ABC , với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa mãn:

Ví dụ 2.1.6: Cho ABC cố định có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E

vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC Các đường thẳng này cắt nhau tạiđiểm M Tìm quỹ tích của điểm M

Suy ra: HBCMDE  CH DM

M

 điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R=BC là ảnh của đường tròn (C)qua phép tịnh tiến T CH

Ví dụ 2.1.7: Cho tam giác ABC có A 900 Từ điểm P thay đổi trên cạnh

AC ( RAB, QAC) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ

1

2

u   BA  NM u 

Khi P C thì N D là trung điểm cạnh BC

Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BDthuộc cạnh huyền BC

R

B

A

C Q

P M

1 Cho một đường tròn (O), một điểm P cố định và một đoạn thẳng AB = a

cố định Với mỗi điểm M thuộc (O) ta dựng hình bình hành ABNM và gọi

Q là điểm đối xứng của N qua P Tìm tập hợp điểm Q, khi M thay đổi trênđường tròn

2 Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, cạnh CD thay đổi sao

cho

3 Cho đường tròn (O), hai điểm cố định A, B và đoạn thẳng CD có định.

Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (O) ta dựng điểm M1 đối xứng với M

điểm M3 đối xứng với M2 qua B Tìm tập hợp M3 khi M biến thiên trênđường tròn

4 Cho trước đường tròn (O), một đường thẳng d cố định và đoạn thẳng AB

cố định Với điểm M bất kỳ thuộc (O) ta dựng điểm M1 đối xứng với M

đỉnh của hình bình hành MABM’, biết rằng M’ đối xứng với M2 qua d.Tìm tập hợp các điểm M2 và M’, khi M biến thiên

5 Trên đường tròn (O; R) cho hai điểm cố dịnh B, C và một điểm A thay

đổi Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

6 Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN

thay đổi Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến B lần lượt tại P và Q.Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ

7 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo BD cố định, A di động trên

đường tròn tâm D bán kính R

a) Tìm quỹ tích đỉnh C của hình bình hành ABCD

b) Tìm quỹ tích đỉnh E của hình bình hành

2.2 Phép đối xứng trục:

- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra một đường thẳng d cố định Điểm M

Ví dụ 2.2.1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A

thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Lời giải:

Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn

HCB

H' I

C B

A

O'

Kết luận: Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của

đường tròn (O; R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC

Ví dụ 2.2.2: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định Với mỗi điểm M

ta xác định điểm M' sao cho MM  'MA MB

Tìm quỹ tích điểm M' sao cho Mchạy trên (O;R)

I A

B M

Ví dụ 2.2.3: Cho đường tròn (O) và ABC Một điểm M thay đổi trên đườngtròn (O) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A M2 là điểm đối xứng của M1qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3.

Lời giải:

Vì phép đối xứng qua điểm D biến M thành M3 nên quỹ tích M3 là ảnh củađường tòn (O) qua phép đối xứng đó

Ví dụ 2.2.4: Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0 Với mỗi điểm A ta xác định

Tìm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa mãn

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó 2AI  AB AC  AD

A thỏa mãn điều kiện đã cho là một đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng Vậytập hợp điểm D là đường tròn hoặc một điểm hoặc tập rỗng

Ví dụ 2.2.5: Cho hai điểm cố định A, B và số a>0 Xét các đường elip (E) đi qua

A, nhận B là tâm đối xứng và có độ dài trục lớn là 2a Tìm tập hợp các tiêu điểmcủa (E)

Lời giải:

Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) Với A’ đối xứng với A qua B, khi đó ta có:

Vậy tập hợp các tiêu điểm là một elip nhận A, A’ làm các tiêu điểm và có độ dàitrục lớn là 2a.

Bài tập tự luyện

1 Cho hai đường thẳng a, b và đường tròn (O) Với mỗi điểm M thuộc (O)

ta dựng điểm N đối xứng với M qua a, điểm P đối xứng với N qua b vàđiểm Q đối xứng với P qua a Tìm tập hợp điểm Q, khi M thay đổi trênđường tròn (O)

2 Cho hình vuông ABCD Tìm tập hợp các đỉnh của một tứ giác lồi sao cho

4 đỉnh của hình vuông đã cho là trung điểm 4 cạnh tứ giác

3 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp 4 đỉnh của một tứ giác lồi sao cho 3 đỉnh

tam giác là trung điểm 3 cạnh tứ giác đó

4 Cho hai điểm cố dịnh A và B Với mỗi đường thẳng x đi qua B ta dựng

điểm A’ đối xứng của A qua x Tìm tập hợp A’ khi x quay quanh B

5 Cho Parabol (P) Với mỗi đường thẳng x tiếp xúc với (P) ta lấy đối xứng

tiêu điểm F của (P) qua x Tìm tập hợp ảnh của F trong phép đối xứng đó

6 Cho Elip (E) Với mỗi đường thẳng x tiếp xúc với elip ta lấy đối xứng một

tiêu điểm F1 của E qua x Tìm tập hợp ảnh của F1 khi x thay đổi

7 Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có cạnh BC<AB Với mỗi điểm M trên

cạnh BC ta dựng hình bình hành APMQ (P thuộc cạnh AB và Q thuộccạnh AC) Tìm tập hợp ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua đườngthẳng PQ

2.3 Phép quay và phép đối xứng tâm:

- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra một điểm O cố định và một góc lượng

Ví dụ 2.3.1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứngminh I là trung điểm của HM Ta đii tìm quỹ tích của điểm H dựa vào phép đốixứng tâm I

Ví dụ 2.3.2: Xác định M’ sao cho MM  'MA MB

Tìm quỹ tích điểm M’ khi

M chạy trên (O; R)

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và MA MB   2MI

Do vậy MM  'MA MB   MM' 2 MI

tức là MM’ nhận I làm trung điểm hay

phép ĐI biến M thành M’ Vậy khi M

chạy trên đường tròn (O; R) thì quỹ tích

điểm M’ là đường tròn (O’; R) là ảnh của

đường tròn (O; R) qua phép ĐI O’ được

Ví dụ 2.3.3: Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn Với

mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I Tìmquỹ tích các điểm B, C, D

Lời giải:

Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C Vậy quỹ tích C là đường trònđối xứng với (O) qua I

D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó

Ví dụ 2.3.4: Cho điểm I cố định Mọi M, M' là hai điểm sao cho IMM' vuông

M'

I O

O' A

B M

a) Cho điểm M chạy trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích các điểm M'

b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d Tìm quỹ tích các điểm M' Gọi

H là hình chiếu của I xuống MM' Tìm quỹ tích các điểm H

Suy ra tứ giác IJMH nội tiếp đường tròn đường kính MI

O'

O

I M'

M

Ta có MJJ  ' 450

thẳng JJ'

Ví dụ 2.3.5: Cho đường tròn (O; R) và hai

điểm A, B thuộc đường tròn Đường tròn (I, r)

tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;R) tại A

Một điểm M di động trên đường tròn (O; R),

tia MA cắt đường tròn (I, r) tại điểm thứ hai

C Qua C vẽ đường thẳng song song với AB

cắt đường thẳng MB tại D Tìm quỹ tích của

điểm D

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của CD với (I; r)

 CEA EDB  nên tứ giác ABDE là hình thang cân

Gọi d là đường trung trực đoạn thẳng AB thì d cũng là đường trung trực của

di động trên đường tròn (I; r) nên quỹ tích điểm D là đường tròn (I'; r) ảnh củađường tròn (I; r) qua phép đối xứng Đd Do đường tròn (I; r) tiếp xúc với đườngtròn (O; R) tại A nên đường tròn (I'; r) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B

Ví dụ 2.3.6: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di động

trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H của  ABC

t d

X

E

I'

D C