Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 trước khi bước vào kỳ thi Quốc Gia vớitâm lý thoải mái hơn, hy vọng hơn, tôi chọn viết đề tài: “ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyê

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phươngpháp dạy học là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của người thầy

Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi nhận thấy

phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” có nhiều ưu điểm cũng như phù

hợp với việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông nói chung và dạy học bộ môn

toán nói riêng Tuy nhiên để có thể thành công trong phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” ngoài năng lực chuyên môn và khả năng sư phạm của mỗi giáo

viên còn đòi hỏi ở người giáo viên thời gian và tâm huyết

Để có được một bài giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy về môntoán và dẫn dắt học sinh tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viênyêu nghề thường trăn trở với những khó khăn của học sinh trong quá trình tiếp cậntừng bài toán

Trong chương trình toán học phổ thông, bài toán xác định hàm ẩn là bài toán thường

xuyên có mặt trong các đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT và kỳ thiTHPT Quốc gia qua các năm Vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với họcsinh, bên cạnh đó nó là một bài toán khó với đại đa số các đối tượng học sinh Bănkhoăn trước những khó khăn đó của học sinh tôi đã tìm tòi và quyết định chọn phương

pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” để giúp các em học sinh khá tiếp cận loại

toán này một cách hiệu quả nhất

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 trước khi bước vào kỳ thi Quốc Gia vớitâm lý thoải mái hơn, hy vọng hơn, tôi chọn viết đề tài:

“ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn”.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Các vấn đề tôi trình bày trong chuyên đề này sẽ hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 cóhọc lực khá và các em học sinh có học lực giỏi tiếp cận được với các bài toán vềnguyên hàm, tích phân thông qua việc xác định hàm ẩn

Để hoàn thành đề tài này tôi đã nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa, các tài liệu vềnguyên hàm và tích phân, các đề thi thử THPT quốc gia, đề thi THPT quốc gia qua các

năm và qua các diễn đàn toán học ( strong teem toán VD-VDC, nhóm toán VD-VDC,

…)

III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

+ Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là giúp các em học sinhlớp 12 có tham vọng lớn trong kỳ thi THPT quốc gia, tiếp cận được bài toán xác định

hàm ẩn, đồng thời trang bị cho các em các hướng phát hiện và tìm giải pháp, nhằm

góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông trongthời gian nền giáo dục nước nhà đang từng bước đổi mới với phương châm là phát huytính tích cực và năng lực chủ động sáng tạo của học sinh

+ Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu qua các tài liệu, sau đó trình bày có hệ thống các

dạng, các ví dụ điển hình.

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI

Trong quá trình dạy học nếu người giáo viên biết khơi dậy trong học sinh tính tò mòthông qua các phát hiện và biết xây dựng được hệ thống các dạng bài tập, qua các pháthiện đó thì sẽ giúp học sinh phát huy được tính tích cực của mình và từ đó các em sẽthấy tự tin, vững vàng hơn khi gặp phải dạng toán này

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Nghiên cứu luận: Nghiên cứu qua các tài liệu về nguyên hàm và tích phân trong chương trình toán THPT

+ Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải quyếtbài toán liên quan đến xác định hàm ẩn

+ Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy ôn thi THPT quốc gia một số buổi cho các

em học sinh lớp 12 để xem xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài

VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Trong thực tiển dạy ôn thi THPT quốc gia cho các em học sinh lớp 12 tôi sử dụng

đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được những kết quả khả quan, hầu hết các emtham gia lớp học đã chủ động hơn và hứng thú hơn khi tiếp cận với những bài toán liênquan đến việc xác định hàm ẩn Từ đó phát huy được tính tích cực, chủ động của mìnhtrong học tập

Đề tài có thể làm tài liệu cho các giáo viên trong việc dạy ôn thi THPT quốc gia vàcho các em học sinh lớp 12 tham khảo

f x

 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm: + u x v x( ) ( )' u x v x'( ) ( )u x v x( ) '( )

mãn  u x v x( ), ( ), x a b;  và hàm số ( )f t liên tục trên đoạn [ ; ] 

Khi đó, ta có:

' ( )

v( )( ) '( ) ( ( )) '( ) ( ( ))

1.4 Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai vế

Bước 1 : Đưa giả thiết về dạng h f x ( ) '( ) f x g x( )

Bước 2 : Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức h f x ( ) '( ) f x g x( )

Bước 3 : Kết luận

1.5 Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi

Bước 1 : Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức chứa tích phân với cận thay đổi.Bước 2 : Kết luận

1.6 Các bước thực hiện trong dạy học

Bước 1 : Phân tích và phát hiện vấn đề

Bước 2 : Tìm giải pháp

Bước 3 : Trình bày giải pháp

Bước 4 : Nghiên cứu sâu giải pháp.

2 Cơ sở thực tiển

Trong xu thế đổi mới nói chung và dạy học ở bộ môn toán nói riêng, việc vận dụngcác phương pháp mới vào dạy học là quan trọng và cần thiết Nhận thức được vấn đềnày nhiều giáo viên đã tích cực nghiên cứu và tìm ra những hình thức dạy học tìm giảipháp Tuy nhiên phần lớn vẫn còn lúng túng trong việc thực hiện, do đó hiệu quả dạy

học là chưa cao và đặc biệt là việc dạy học chủ đề “ Các bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn” chưa có hiệu quả cao nhất.

Thông qua trao đổi với giáo viên tổ toán thuộc hai trường X và Y trên địa bànhuyện và khảo sát bằng phiếu điều tra đối với học sinh khi dạy học chủ đề này bằngphương pháp tìm giải pháp, tôi thu được kết quả như sau:

Giáo viên dạy học tìm giải pháp nhưng không thường

Về phía học sinh khi giáo viên áp dụng dạy học tìm giải pháp thì các em còn lúngtúng, chưa phát huy được tính tích cực của mình, tính hiệu quả khi giải quyết các bàitoán cùng dạng chưa cao

Do đó tôi đưa ra hình thức “Phát hiện và tìm giải pháp” để dạy học trong các bài toán

nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN

1 Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai vế

Ví dụ 1

Cho hàm số ( )f x xác định dương trên 1; thỏa mãn (1) 2 f 

và1

f x f x

x



Bước 3 Trình bày giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Với giải pháp trên nếu ta thay đẳng thức

1'( ) ( )

f x f x

x

 bởi đẳng thức

'( ) ( ) n ( )

f x f x g x với hàm số ( )g x tính được nguyên hàm thì ta có bài toán tổng

quát hơn, cụ thể:

- Bài toán: Cho hàm số ( )f x xác định và có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b và hàm số

f  f x    

và f x'( ) 2 x f x ( )2 với

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

Hàm số cho ta sự tương ứng mỗi giá trị của x thuộc tập xác định có duy nhất một 0giá trị của hàm số f x Do đó vấn đề đặt ra ở đây là nếu xác định được hàm ( )( )0 f x

thì công việc còn lại là dễ dàng

Bước 2 Tìm giải pháp

- Nhận thấy nguyên hàm  2

'( )( )

f x dx

12

- Với giải pháp trên ta thấy, nếu hai vế của đẳng thức lấy nguyên hàm không tính

được nguyên hàm hoặc tính nguyên hàm gặp nhiều khó khăn thì giải pháp trên là không thực hiện được Do đó ta đề xuất hướng mỡ rộng bài toán như sau:

Thay 2x bởi hàm số ( )g x tính được nguyên hàm; thay  f x( )2 bởi  f x( )n

- Bài toán: Cho hai hàm số ( )f x và ( ) g x xác định trên tập K thỏa mãn

( ) 0,

f x   x K , (a) b,af  K và f x'( )g x f x( ) ( ) ,n  x K n, Z Xác định

hàm ( )f x

* Chú ý: Từ giải pháp của hai bài toán trên ta đi đến bài toán tổng quát hơn như

sau: Cho hai hàm số h f x ( ) , ( ) g x có nguyên hàm trên tập K ; hàm số ( ) f x thỏa

mãn (a)f b a K,  và f x'( ) h f x( ) g x( ) với mọix K . Tìm hàm số ( )f x

Ví dụ 3

Cho hàm số ( )f x xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng

2 2

1''( ) ( ) '( )

x

và (1) 0, ( ) 1.f  f e  Tính giá trị của f 2(e ).2

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

- Ta thấy từ công thức tính đạo hàm

- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức

2

Tính giá trị của f3 3( 2).

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

- Ta thấy từ công thức tính đạo hàm

- Nếu ta thayx bởi hàm số ( )g x xác định trên  và tính được nguyên hàm thì ta có

bài toán mới

- Từ đẳng thức  2  2   2'

''( ) ( ) 2 ( ) '( ) '( ) ( )

f x f x  f x f x  f x f x

nếu ta thay hàm

 f x( )2 bằng hàm  f x( ) ,n n  thì ta được bài toán mới.

Chú ý: Từ các hướng mở của ví dụ 3 và ví dụ 4, ta có bài toán tổng quát sau:

Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng K thỏa ( )

mãn f x f x''( ) ( )n g x( ) n f x '( ) 2 f x( )n1,n



    ( trong đó ( )g x là hàm số tính được nguyên hàm trên K ) và (a) f m f, (b)n a b K( ,  ). Xác định hàm( )

f x

Ví dụ 5

Cho hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0;2 thỏa 

mãn f x( )2 f x f x( ) ''( ) f '(x)2  và 0 f(0) 1, (2) f e4.Tính giá trị của(1)

2

''( ) ( ) '( ) '( )

( )( )

f x

f x

Bước 2 Tìm giải pháp

- Nhận thấy nguyên hàm

''( )( )

1( )

f x

f x Bài toán đưa về dạng toán của ví dụ 2.

Bước 3 Trình bày giải pháp

Ta có hàm số ( )f x đồng biến trên đoạn 0;2 và (0) 1f 

2

''( ) ( ) '( ) '( )

( )( )

1

1(0) 1

3(2)

2

C f

2

e

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

Nếu ta thay 1 bởi hàm số ( )g x xác định trên a b và tính được nguyên hàm thì ta ; 

có bài toán tổng quát sau:

Cho hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn a b thỏa; 

mãn f x( )2g x( ) f x f x( ) ''( ) f '(x)2  và (a)0 f m0, (b)f  Xác định n.hàm ( ).f x

Ví dụ 6

Cho hàm số ( )f x xác định dương và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn

0; thỏa mãn 2 ( ) ''( )f x f x  f x( ) f x( )  f x'( )2 và (0) 0, (1) 1.f  f Tính giá trị của (2).f

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

- Từ việc tổng quát ví dụ 3 ta dự đoán hàm ( ) 1g x  Do đó ta chia hai vế của đẳng

f x

f x

Bước 3 Trình bày giải pháp

9(1) 1

4

C f

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

Từ hướng phân tích của giải pháp trên, ta có thể thay f x bằng một hàm số hợp( )

( ( ))

h f x xác định trên 0; và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới.Chú ý:

- Từ các hướng mở của ví dụ 5 và ví dụ 6, ta đề suất bài toán tổng quát sau:

Cho hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn a b và ; 

hàm số h f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  ( ) a b thỏa mãn; 

2 Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi

Ví dụ 1

Cho hàm số ( )f x liên tục trên  thỏa mãn

2 1

f x dx



thì ta phải xác định được hàm ( )f x

- Đây là biểu thức tích phân với cận thay đổi và đương nhiên là ta cũng không tìm

được nguyên hàm của hàm ( )tf t để đưa vế trái của đẳng thức trên qua biến x Do

đó ta phải tìm một giải pháp khác đủ mạnh chứ không phải là đi tính tích phân

( )( ) '( ) ( ) '( ) ( )

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức

2 1

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay biểu thức ln(x 2 1) 7 bởi một biểu thức( )

g x thì ta có bài toán mới.

- Bài toán: Cho hai hàm số ( )f x và ( ) g x liên tục trên  thỏa mãn

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

- Nếu chúng ta thay x 1 vào đẳng thức trên thì vấn đề đặt ra ở đây là tích phân

chưa tính được do chưa xác định được hàm ( )f t

- Do vậy cần phải xác định được hàm ( )f x trước khi thay x 1 vào

Bước 2 Tìm giải pháp

- Từ tính chất

' ( )

( )( ) '( ) ( ) '( ) ( )

Bước 3 Trình bày giải pháp

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x của đẳng thức

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay các hệ số của  f x( ) , 2 f t( )2 và  f t'( )2sao cho sau khi đạo hàm hai vế ta được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ( )f x

và '( )f x có nghiệm thì ta được bài toán tổng quát hơn.

- Bài toán: Cho hàm số ( )f x dương và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

Bước 1 Phân tích và phát hiện vấn đề

- Ta thấy hàm số ( )h x phụ thuộc vào hàm ( ) g x nên để tìm giá trị lớn nhất của hàm

( )

h x thì ta phải đi xác định hàm ( ) g x hoặc đi tìm các đặc tính của nó.

- Do hàm ( )g x có mặt cả hai giả thiết của bài toán nên tính chất đặc trưng của nó

được kết hợp cả hai giả thiết nêu trên

Bước 2 Tìm giải pháp

- Từ tính chất

' ( )

( )( ) '( ) ( ) '( ) ( )

- Kết hợp với giả thiết g x( ) f x( ) ,2  x 0;1

ta đi tìm các thuộc tính của ( )g x

Bước 3 Trình bày giải pháp

0 0

0 2

0 2

Vậy giá trị lớn nhất của h x trên đoạn ( ) 0;1 bằng 1 

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Với giải pháp trên ta thấy  x2  2x bị triệt tiêu, do đó nếu ta thay ddosbawngf mộtbiểu thức ( )t x nào đó sao cho việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là thực hiện

được thì ta có bài toán mới

- Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong đẳng thức

- Để tìm được giá trị lớn nhất của

1

0( )

( )( ) '( ) ( ) '( ) ( )

- Kết hợp với giả thiết ( )f x g x( ) ta tìm được mối liên hệ của '( )g x với ( ) g x

- Qua đó ta lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến t của liên hệ đó.

Bước 3 Trình bày giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Với giải pháp trên ta thấy nếu chúng ta thay đổi chiều của bất đẳng thức

 0

( ) 2020 2 ( ) , 0;1

x

thì ta sẽ được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

- Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong bất đẳng thức

 0

( ) 2020 2 ( ) , 0;1

x

thì có lớp các bài toán của dạng này

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy được tầm quan trọng của các tính chất

về nguyên hàm, tích phân và đạo hàm được nêu trên Việc định hướng và áp dụng

nó cần có một số kỷ thuật phân tích khéo léo và tinh tế, một khi đã phân tích đúng hướng thì việc lựa chọn công cụ ( tính chất) để giải quyết là đơn giản.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số ( )f x xác định trên

1

\2

f  f  Giá trị của biểu thức ( 1)f   f(3) bằng

A 4 ln 5. B 2 ln15. C 3 ln15. D ln15.

Câu 2: Cho hàm số ( )f x xác định trên\ 2 thỏa mãn 2

4'( )

f   f  f  Giá trị của biểu thức ( 4)f   f( 1)  f(4) bằng

11

7.30

Câu 4: Cho hàm số ( )f x xác định và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

203.28

Câu 10: Cho hàm số ( )f x đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0;2 và

thỏa mãn  f x( )2 f x f( ) ''(x) f x'( )2  Biết 0 f(0) 1, f(2) e  6 Khi đó (1)fbằng

Câu 12: Cho

5( ) 3 96

0( ) 3( '(t)) 3 '( ) 3

Câu 18: Cho hàm số yf x( ) thỏa mãn

( ) 2 0

x

.Mệnh đề nào sau đây đúng ?

2

1 6

Câu 22: Cho hàm số ( )f x xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên 0;1 

g x



có giátrị lớn nhất bằng

2

g x dx



có giátrị lớn nhất bằng

9

5 2

Câu 24: Cho hàm số ( )f x xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên 0;1 

Đặt

2

0( ) 1 ( )

g x dx



có giátrị lớn nhất bằng

Câu 1: Cho hàm số ( )f x xác định dương và có đạo hàm liên tục trên  sao cho

1 Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2 Nội dung thực nghiệm

- Triển khai đề tài: “ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm

và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn”

- Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 khá, giỏi môn toán

- Thời gian thực hiện: 2 buổi ( 6 tiết)

3 Kết quả thực nghiệm

Tôi được phân công hỗ trợ giảng dạy lớp khối A, khối B và khối D trong nhiều nămnay, do đó có điều kiện thử nghiệm đề tài này trong nhiều lần

Tùy theo mức độ kiến thức của từng lớp khối tôi đưa ra hệ thống ví dụ cũng

như bài tập phù hợp nên đã tạo ra được hứng thú học tập trong khi các em tiếp

cận chuyên đề này

Kết quả thật đáng khích lệ, đại đa số các em theo từng cấp độ kiến thức đã tiếp thu khátốt và giải quyết tốt các bài tập tương tự, đồng thời các em có năng lực tốt đã tìm racho mình những bài toán tổng quát hơn và lớp các bài toán sử dụng các tính chất này

Kiểm tra ở lớp 12A2 năm học 2018-2019

3 em(7,69%)

1 em(2,57%)

Trong khi đó cùng đơn vị kiến thức này, với việc thực hiện các phương pháp dạy họckhác đưa đến kết quả như sau:

Kiểm tra ở lớp 12A1 năm học 2017-2018

15 em(37,5%)

10 em(25%)

Qua phép so sánh trên ta thấy việc áp dụng phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” là hiệu quả thế nào? Tuy nhiên để có được hiệu quả này thì người thầy phải

đầu tư thời gian và thực sự tâm huyết với nghề