GIAO AN BOI GIOI 6 DU

10 B i 311 : Bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ạn Hải đã lài toán tính tổng rất quen thuộc sau : m bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : i toán nhân đúng bằng cách sắp các chữ số

đầy đủ các dạng bài toán bồi giỏi 6

Bµi to¸n mÉu : Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan

hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b,

đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140

Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a,

b)

D

Chúng ta cùng b t ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u t b i toán tính t ng r t quen thu c sau : ổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ộc sau :

B i toán A : ài toán A :

Tính t ng : ổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải :

Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có b i ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : toán khó h n chút xíuơn chút xíu

B i 1 : ài toán A : Tính t ng : ổng rất quen thuộc sau :

V t t nhiên ta c ng ngh ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ũng nghĩ đến bài toán ngược ĩ đến bài toán ngược đến bài toán ngược n b i toán ngài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược c

B i 2 : ài toán A : Tìm x thu c N bi t : ộc sau : ến bài toán ngược

H n n a ta có : ơn chút xíu ữa ta có :

ta có b i toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i 3 : ài toán A : Ch ng minh r ng : ứng minh rằng : ằng :

Do v y, cho ta b i toán ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : “tưởng như khó” ưởng như khó” t ng nh khó ư ”

B i 4 : ài toán A : Ch ng t r ng t ng : ứng minh rằng : ỏ rằng tổng : ằng : ổng rất quen thuộc sau :

không ph i l s nguyên ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

Chúng ta c ng nh n ra r ng n u aũng nghĩ đến bài toán ngược ậy, cho ta bài toán ằng : ến bài toán ngược 1 ; a2 ; ; a44 l các s t nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên

l n h n 1 v khác nhau thì ớn hơn 1 và khác nhau thì ơn chút xíu ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Giúp ta đến bài toán ngược n v i b i toán ớn hơn 1 và khác nhau thì ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Hay v ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Khó sau :

B i 5 : ài toán A : Tìm các s t nhiên khác nhau aố nguyên ự nhiên 1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

Ta còn có các b i toán “g n g i” v i b i toán 5 nh sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ũng nghĩ đến bài toán ngược ớn hơn 1 và khác nhau thì ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư

B i 6 : ài toán A : Cho 44 s t nhiên aố nguyên ự nhiên 1 ; a2 ; ; a44 th a mãn ỏ rằng tổng :

Ch ng minh r ng, trong 44 s n y, t n t i hai s b ng nhau ứng minh rằng : ằng : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ố nguyên ằng :

B i 7 : ài toán A : Tìm các s t nhiên aố nguyên ự nhiên 1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 th a mãn aỏ rằng tổng : 1 < a2 a3 < < a44 < a45 v ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Các b n còn phát hi n ại hai số bằng nhau ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? được đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ?c i u gì thú v n a r i ch ng ?ị nữa rồi chăng ? ữa ta có : ồn tại hai số bằng nhau ăng ?

D¹ng 2: so s¸nh

Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2

L i gi i : ời giải : ải : Có khá nhi u cách ch ng minh nh “ ánh giá” v trái ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ứng minh rằng : ờ “đánh giá” vế trái đ ến bài toán ngược

b i các ki u khác nhau Ta g i v trái c a b t ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ọi vế trái của bất đẳng thức là A ến bài toán ngược ủa bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : đẳng thức là A ng th c l A ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Cách 1 : Ta có :

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5

= 6/5 (1)

1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2)

T (1) v (2) => : ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chụclớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3.

b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 5

2 * Ghi số nhỏ nhất có:a) chín chữ số

b) n chữ số (n N*)c) mười chữ số khác nhau ** Ghi số lớn nhất có: a) chín chữ số

b) n chữ số (n N*)c) mười chữ số khác nhau

3 Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hỏi:

a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy?

b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tựnhiên nào?

4 Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông:

thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thíchbóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, 9 học sinhthích cả 3 môn, còn lại là 6 học sinh thích cờ vua Hỏi lớp đó có bao nhiêuhọc sinh?

7 Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ

11 Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào giữa các chữ số của số 1 2 3 4 5 6

7 8 9 (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết quả của phép tính bằng 200

12 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó là 11 vànếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị

13 Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia là 97 Biết rằng thương

là 4 và số dư là 7 Tìm số bị chia và số chia

a) 20022003 + 20032004 có chia hết cho 2 không?

b) 34n - 6 có chia hết cho 5 không? (n  N*)

c) 20012002 - 1 có chia hết cho 10 không?

22 Tìm x, y để số 30xy chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2

23 Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho9

c) 47 34 96

613 d) 221613 + 2 + 285

NANG CAO

B i 1 Cho sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố M = (1/16)2002 Tính tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu

B i 2: Em hãy thay mài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ật chữ cái bởi mật chữ số để phép tính dưới đây đúng (chữ cáI khác nhau thì thay chữ số khác nhau) TIME+ TIME = MONEY Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì nữa

B i 3 : Tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Ừ MỘT BÀI TOÁN T NH TÍNH T ỔNG 3

B i 1 : Chài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2

4

B i 2 : Tìm tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ổng các chữ số của 999999999982 4

B i 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 4

a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A 4

B i 4(1) : Cho 6 sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 5

2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 5

2) Biết rằng tất cả các tổng trên lài toán tính tổng rất quen thuộc sau : khác nhau Chứng minh a6 ≥

B i 5(1) : Bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ạn hãy khôi phục lại những chữ số bị xóa (để lại vết tích của mỗi chữ số lài toán tính tổng rất quen thuộc sau : một dấu *) để phép toán đúng 5

5

B i 1(2) : Tìm tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất cả các số chính phương dạng 6

B i 1(4) : Cho sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố : gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dấu * vài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 2003 chữ số 3 ở bên phải dấu * Hãy thay dấu * bằng chữ số nài toán tính tổng rất quen thuộc sau : o để được một số chia hết cho 7 6

B i 2(5) : Phân sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố Ai Cập 7

Biểu diễn phân số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phân số dương có

B i 3(5) : So sánh A v B biài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ết : 8

B i 1(6) : Cho a, b l các sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 l sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên tố, p - 5 chia hết cho 8 Giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn ax2 -

B i 2(6) : Cho mài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ột hình lập phương Người ta gắn cho 8 đỉnh của nó bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tên 8 số tự nhiên liên tiếp v thài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ực hiện : mỗi lần cộng v o 4 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đỉnh của một mặt cùng với một số nguyên n o ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đó Hỏisau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ?

kì lúc n o cài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ũng tìm được ít nhất hai đội đã đấu cùng số trận.9

B i 1(11) : Phân tích sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố 8030028 thài toán tính tổng rất quen thuộc sau : nh tổng của 2004 số tự

nhiên chẵn liên tiếp 10

B i 2(11) : Tìm sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 41016 + 4a l sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố chính phương 10

B i 3(11) : Bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ạn Hải đã lài toán tính tổng rất quen thuộc sau : m bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : i toán nhân đúng bằng cách sắp các chữ số rời Hài toán tính tổng rất quen thuộc sau : , em của Hải, đã đổi chỗ một số chữ số như ởbên Hãy sắp lại vị trí các chữ số ban đầu mài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Hải đã lài toán tính tổng rất quen thuộc sau : m đúng

10

B i toán thách ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đấu : So sánh 5255 v 2572.ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 11

B i 3(13) : Cho 25 sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên phân biệt, biết rằng tổng của 4 số bất kì trong chúng đều dương 11

a) Chứng minh rằng : Trong 25 số có ít nhất 22 số dương 11b) Tổng của 25 số nài toán tính tổng rất quen thuộc sau : y lớn hơn hoặc bằng 316 11

B i 2(14) : Chài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm

B i 1(21) : Cho ba sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố chính phương A, B, C Chứng tỏ rằng : 14

B i 1(22) : Giài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ả sử (a1 ; a2 ; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) l 3 bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộ số nguyên bất kì Chứng minh rằng tồn tại các số k,

l, n thuộc tập hợp số {1 ; 2 ; ; 37} để các số a = 1/3(ak + al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; đồng thời l các sài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên 14

B i 2(24) : Tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn n3 + 2003n =

MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chươn chút xíung trình s h c l p 6, sau khi h c các khái ni m ố nguyên ọi vế trái của bất đẳng thức là A ớn hơn 1 và khác nhau thì ọi vế trái của bất đẳng thức là A ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ướn hơn 1 và khác nhau thì c chung

l n nh t ( CLN) v b i chung nh nh t (BCNN), các b n s g p d ng ớn hơn 1 và khác nhau thì ất quen thuộc sau : ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ỏ rằng tổng : ất quen thuộc sau : ại hai số bằng nhau ẽ gặp dạng ặp dạng ại hai số bằng nhau toán tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung khi bi t m t s y u t trong ó có các d ến bài toán ngược ộc sau : ố nguyên ến bài toán ngược ố nguyên đ ữa ta có :

ki n v CLN v BCNN ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Phươn chút xíung pháp chung đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên gi i :

1/ D a v o ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đị nữa rồi chăng ?nh ngh a CLN ĩ đến bài toán ngược ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A bi u di n hai s ph i tìm, liên h v i ễn hai số phải tìm, liên hệ với ố nguyên ải là số nguyên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ớn hơn 1 và khác nhau thì các y u t ã cho ến bài toán ngược ố nguyên đ đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A tìm hai s ố nguyên

2/ Trong m t s trộc sau : ố nguyên ườ “đánh giá” vế trái ng h p, có th s d ng m i quan h ợc ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ố nguyên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? đặp dạng c bi t gi a ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ữa ta có :

ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ủa bất đẳng thức là A ố nguyên ươn chút xíu đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ab = (a, b) [a, b], trong ó (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN c a a v b Vi cđ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ch ng ứng minh h th c n y không khó : ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Theo đị nữa rồi chăng ?nh ngh a CLN, g i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zĩ đến bài toán ngược ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ọi vế trái của bất đẳng thức là A ớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : +

; (m, n) = 1 (*)

T (*) => ab = mndừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] (**)

Chúng ta hãy xét m t s ví d minh h a ột số ví dụ minh họa ố ví dụ minh họa ụ minh họa ọa

B i toán 1 : ài toán A : Tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b bi t [a, b] = 240 v (a, b) = 16.ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : Do vai trò c a a, b l nh nhau, không m t tính t ng quát, gi ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư ất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên

s a b ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ≤ b

T (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m n do a b) v i m, n ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ≤ b ≤ b ớn hơn 1 và khác nhau thì thu c Zộc sau : + ; (m, n) = 1

Theo đị nữa rồi chăng ?nh ngh a BCNN : ĩ đến bài toán ngược

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1 , n = 15 ho c m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 ho c a = 48, b = 80 ặp dạng ặp dạng

Chú ý : Ta có th áp d ng công th c (**) ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ứng minh rằng : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : gi i b i toán n y : ab = (a, ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15

B i toán 2 : ài toán A : Tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b bi t ab = 216 v (a, b) = 6 ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải : L p lu n nh b i 1, gi s a b ậy, cho ta bài toán ậy, cho ta bài toán ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ≤ b

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n v i m, n thu c Zớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : + ; (m, n) = 1 ; m n ≤ b

Vì v y : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tậy, cho ta bài toán ươn chút xíung đươn chút xíung mn = 6 tươn chút xíung

đươn chút xíu ặp dạng ươn chút xíu đươn chút xíu ớn hơn 1 và khác nhau thì

ho cc l a = 12, b = 18 ặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 3 : ài toán A : Tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b bi t ab = 180, [a, b] = 60 ến bài toán ngược

L i gi i : ời giải : ải :

T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3 ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Tìm được c (a, b) = 3, b i toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được đư ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ại hai số bằng nhau c a v d ng b i toán 2 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

K t qu : a = 3, b = 60 ho c a = 12, b = 15 ến bài toán ngược ải là số nguyên ặp dạng

Chú ý : Ta có th tính (a, b) m t cách tr c ti p t nh ngh a CLN, ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ộc sau : ự nhiên ến bài toán ngược ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đị nữa rồi chăng ? ĩ đến bài toán ngược ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3

B i toán 4 : ài toán A : Tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b bi t a/b = 2,6 v (a, b) = 5 ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n v i m, n thu c Zớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : + ; (m, n)

B i toán 5 : ài toán A :

Tìm a, b bi t a/b = 4/5 v [a, b] = 140 ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải : Đặp dạng t (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , m t khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b ặp dạng

= 5d

L u ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35 ư

B i toán 6 : ài toán A : Tìm hai s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b bi t a + b = 128 v (a, b) = 16.ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải : L p lu n nh b i 1, gi s a b ậy, cho ta bài toán ậy, cho ta bài toán ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ≤ b

Ta có : a = 16m ; b = 16n v i m, n thu c Zớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : + ; (m, n) = 1 ; m n ≤ b

Vì v y : a + b = 128 tậy, cho ta bài toán ươn chút xíung đươn chút xíung 16(m + n) = 128 tươn chút xíung đươn chút xíung m + n = 8

Tươn chút xíung đươn chút xíung v i m = 1, n = 7 ho c m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 ho c ớn hơn 1 và khác nhau thì ặp dạng ặp dạng

a = 48, b = 80

B i toán 7 : ài toán A : Tìm a, b bi t a + b = 42 v [a, b] = 72 ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i : ời giải : ải : G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zọi vế trái của bất đẳng thức là A ớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : + ; (m, n) = 1 Không m t tính t ng quát, gi s a b => m n ất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ≤ b ≤ b

Do ó : a + b = d(m + n) = 42 (1) đ

[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d l ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì c chung c a 42 v 72 => d thu c {1 ; 2 ; 3 ; 6} ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau :

L n lầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược t thay các giá tr c a d v o (1) v (2) ị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A tính m, n ta th y ch có ất quen thuộc sau : ỉ có

trườ “đánh giá” vế trái ng h p d = 6 => ợc m + n = 7 v mn = 12 => m = 3 v n = 4 (th a mãn ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỏ rằng tổng : các i u ki n c a m, n) V y d = 6 v a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 8 : ài toán A : Tìm a, b bi t a - b = 7, [a, b] = 140 ến bài toán ngược

L i gi i : G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ọi vế trái của bất đẳng thức là A ớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : + ; (m, n) = 1

Do ó : a - b = d(m - n) = 7 đ (1’)

[a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d l ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì c chung c a 7 v 140 => d thu c {1 ; 7} ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau :

Thay l n lầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược t các giá tr c a d v o (1’) v (2’) ị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A tính m, n ta được c k t ến bài toán ngược

qu duy nh t : ải là số nguyên ất quen thuộc sau :

d = 7 => m - n = 1 v mn = 20 => m = 5, n = 4 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

V y d = 7 v a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i t p t gi i : ài toán A : ập tự giải : ự giải : ải :

1/ Tìm hai s a, b bi t 7a = 11b v (a, b) = 45 ố nguyên ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

2/ Tìm hai s bi t t ng c a chúng b ng 448, CLN c a chúng b ng 16 ố nguyên ến bài toán ngược ổng rất quen thuộc sau : ủa bất đẳng thức là A ằng : ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng ủa bất đẳng thức là A ằng :

v chúng có các ch s h ng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đơn chút xíun v gi ng nhau ị nữa rồi chăng ? ố nguyên

3/ Cho hai s t nhiên a v b Tìm t t c các s t nhiên c sao cho trong ố nguyên ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ải là số nguyên ố nguyên ự nhiên

ba s , tích c a hai s luôn chia h t cho s còn l i.ố nguyên ủa bất đẳng thức là A ố nguyên ến bài toán ngược ố nguyên ại hai số bằng nhau

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Trong chươn chút xíung trình Toán l p 6, các em ã ớn hơn 1 và khác nhau thì đ được c h c v các b i toán liên ọi vế trái của bất đẳng thức là A ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : quan t i phép chia h t c a m t s t nhiên cho m t s t nhiên khác 0 v ớn hơn 1 và khác nhau thì ến bài toán ngược ủa bất đẳng thức là A ộc sau : ố nguyên ự nhiên ộc sau : ố nguyên ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

c các ki n th c m các em ã ố nguyên ến bài toán ngược ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ được c h c Nh ng b i toán n y s l m ọi vế trái của bất đẳng thức là A ữa ta có : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẽ gặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

t ng thêm lòng say mê môn toán cho các em ăng ?

1 Nhìn ch s t n cùng ữ số tận cùng ố tận cùng ập tự giải :

Vì s chính phố nguyên ươn chút xíung b ng bình phằng : ươn chút xíung c a m t s t nhiên nên có th ủa bất đẳng thức là A ộc sau : ố nguyên ự nhiên ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

th y ngay ất quen thuộc sau : s chính ph ố tận cùng ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng ph i có ch s t n cùng l m t trong các ải : ữ số tận cùng ố tận cùng ập tự giải : ài toán A : ột trong các

ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ữ số tận cùng ố tận cùng T ó các em có th gi i ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên được c b i toán ki u ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A sau ây : đ

B i toán 1 : ài toán A : Ch ng minh s : n = 2004ứng minh rằng : ố nguyên 2 + 20032 + 20022 - 20012

không ph i l s chính phải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

L i gi i : ời giải : ải : D d ng th y ch s t n cùng c a các s 20042 ; 20032 ; ễn hai số phải tìm, liên hệ với ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ủa bất đẳng thức là A ố nguyên

20022 ; 20012 l n lầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : t l 6 ; 9 ; 4 ; 1 Do ó s n có ch s t n cùng l 8 đ ố nguyên ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : nên n không ph i l s chính phải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Chú ý : Nhi u khi s ã cho có ch s t n cùng l m t trong các s 0 ; 1 ;ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ố nguyên đ ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ố nguyên

4 ; 5 ; 6 ; 9 nh ng v n không ph i l s chính phư ẫn không phải là số chính phương Khi đó các bạn ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung Khi ó các b n đ ại hai số bằng nhau

ph i l u ý thêm m t chút n a : ải là số nguyên ư ộc sau : ữa ta có :

N u s chính ph ố tận cùng ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng chia h t cho s nguyên t p thì ph i chia h t ố tận cùng ố tận cùng ải :

B i toán 2 : ài toán A : Ch ng minh s 1234567890 không ph i l s chính phứng minh rằng : ố nguyên ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

L i gi i : ời giải : ải : Th y ngay s 1234567890 chia h t cho 5 (vì ch s t n cùng ất quen thuộc sau : ố nguyên ến bài toán ngược ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán

l 0) nh ng không chia h t cho 25 (vì hai ch s t n cùng l 90) Do ó ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư ến bài toán ngược ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ

s 1234567890 không ph i l s chính phố nguyên ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Chú ý : Có th lý lu n 1234567890 chia h t cho 2 (vì ch s t n cùng l ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ậy, cho ta bài toán ến bài toán ngược ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 0), nh ng không chia h t cho 4 (vì hai ch s t n cùng l 90) nên ư ến bài toán ngược ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

1234567890 không l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

B i toán 3 : ài toán A : Ch ng minh r ng n u m t s có t ng các ch s l 2004 thìứng minh rằng : ằng : ến bài toán ngược ộc sau : ố nguyên ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

s ó không ph i l s chính phố nguyên đ ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

L i gi i : Ta th y t ng các ch s c a s 2004 l 6 nên 2004 chia h t choờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ủa bất đẳng thức là A ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược

3 m không chia h t 9 nên s có t ng các ch s l 2004 c ng chia h t ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ố nguyên ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ũng nghĩ đến bài toán ngược ến bài toán ngược cho 3 m không chia h t cho 9, do ó s n y không ph i l s chính ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược đ ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

phươn chút xíung

2 Dùng tính ch t c a s d ất của số dư ủa số dư ố tận cùng ư

Ch ng h n các em g p b i toán sau ây : ẳng thức là A ại hai số bằng nhau ặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ

B i toán 4 : ài toán A : Ch ng minh m t s có t ng các ch s l 2006 không ph i ứng minh rằng : ộc sau : ố nguyên ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên

l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Ch c ch n các em s d b “choáng” V y b i toán n y ta s ph i ngh ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẽ gặp dạng ễn hai số phải tìm, liên hệ với ị nữa rồi chăng ? ậy, cho ta bài toán ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẽ gặp dạng ải là số nguyên ĩ đến bài toán ngược

t i i u gì ? Vì cho gi thi t v t ng các ch s nên ch c ch n các em ớn hơn 1 và khác nhau thì đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ải là số nguyên ến bài toán ngược ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

ph i ngh t i phép chia cho 3 ho c cho 9 Nh ng l i không g p i u “kì ải là số nguyên ĩ đến bài toán ngược ớn hơn 1 và khác nhau thì ặp dạng ư ại hai số bằng nhau ặp dạng đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ?

di u” nh b i toán 3 Th thì ta nói ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược được đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ?c i u gì v s n y ? Ch c ch nều gì thú vị nữa rồi chăng ? ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

s n y chia cho 3 ph i d 2 T ó ta có l i gi i ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ư ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên

L i gi i : ời giải : ải : Vì s chính ph ố tận cùng ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng khi chia cho 3 ch có s d l 0 ho c 1 ỉ có số dư là 0 hoặc 1 ố tận cùng ư ài toán A : ặc 1

m thôi (coi nh b i t p ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ậy, cho ta bài toán đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A các em t ch ng minh !) Do t ng các ch s ự nhiên ứng minh rằng : ổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên

c a s ó l 2006 nên s ó chia cho 3 d 2 Ch ng t s ã cho không ủa bất đẳng thức là A ố nguyên đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên đ ư ứng minh rằng : ỏ rằng tổng : ố nguyên đ

ph i l s chính phải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Tươn chút xíung t các em có th t gi i quy t ự nhiên ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ự nhiên ải là số nguyên ến bài toán ngược được c 2 b i toán : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 5 : ài toán A : Ch ng minh t ng các s t nhiên liên ti p t 1 ứng minh rằng : ổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ến bài toán ngược ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đến bài toán ngược n 2005 không ph i l s chính phải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

B i toán 6 : ài toán A : Ch ng minh s :ứng minh rằng : ố nguyên

n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Bây gi các em theo dõi b i toán sau ờ “đánh giá” vế trái ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ngh t i m t “tình hu ng” m i ĩ đến bài toán ngược ớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : ố nguyên ớn hơn 1 và khác nhau thì

B i toán 7 : ài toán A : Ch ng minh s :ứng minh rằng : ố nguyên

n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Nh n xét : ập tự giải : N u xét n chia cho 3, các em s th y s d c a phép chia s ến bài toán ngược ẽ gặp dạng ất quen thuộc sau : ố nguyên ư ủa bất đẳng thức là A ẽ gặp dạng

l 1, th l không “b t chài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì được c” c cách gi i c a các b i toán 3 ; 4 ; 5 ; ải là số nguyên ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

6 N u xét ch s t n cùng các em s th y ch s t n cùng c a n l 9 ến bài toán ngược ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ẽ gặp dạng ất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : nên không l m “tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ươn chút xíung t ” ự nhiên được c nh các b i toán 1 ; 2 S d c a phép ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ư ủa bất đẳng thức là A chia n cho 4 l d th y nh t, ó chính l 3 M tài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ễn hai số phải tìm, liên hệ với ất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : s chính ph ố tận cùng ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng khi chia cho 4 s cho s d nh th n o nh ? ẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? ố tận cùng ư ư ài toán A : ỉ có số dư là 0 hoặc 1 Các em có th t ch ng ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ự nhiên ứng minh rằng : minh v ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được c k t qu : s d ó ch có th lến bài toán ngược ải là số nguyên ố nguyên ư đ ỉ có ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 0 ho c 1 ặc 1 Nh v y l các ư ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

em ã gi i xong b i toán 7 đ ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

3 K p s gi a hai s chính ph “tưởng như khó” ẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” ” ố tận cùng ữ số tận cùng ố tận cùng ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng liên ti p “tưởng như khó” ”

Các em có th th y r ng : N u n l s t nhiên v s t nhiên k th a mãnểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : ằng : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ỏ rằng tổng :

n2 < k < (n + 1)2 thì k không l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung T ó các em có th xétừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

c các b i toán sau :

được ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 8 : ài toán A : Ch ng minh s 4014025 không l s chính phứng minh rằng : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Nh n xét : ập tự giải : S n y có hai ch s t n cùng l 25, chia cho 3 d 1, chia cho ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ố nguyên ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư

4 c ng d 1 Th l t t c các cách l m trũng nghĩ đến bài toán ngược ư ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì đều gì thú vị nữa rồi chăng ?c u không v n d ng ậy, cho ta bài toán ụng mối quan hệ đặc biệt giữa

được ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì

< 20042 Ch ng t 4014025 không l s chính phứng minh rằng : ỏ rằng tổng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

B i toán 9 : ài toán A : Ch ng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không l s chính ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

phươn chút xíung v i m i s t nhiên n khác 0 ớn hơn 1 và khác nhau thì ọi vế trái của bất đẳng thức là A ố nguyên ự nhiên

Nh n xét : ập tự giải : Đố nguyên ớn hơn 1 và khác nhau thì i v i các em ã l m quen v i d ng bi u th c n y thì có đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ớn hơn 1 và khác nhau thì ại hai số bằng nhau ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

th nh n ra A + 1 l s chính phểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung ( ây l b i toán quen thu c v i đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ớn hơn 1 và khác nhau thì

l p 8) Các em l p 6, l p 7 c ng có th ch u khó ớn hơn 1 và khác nhau thì ớn hơn 1 và khác nhau thì ớn hơn 1 và khác nhau thì ũng nghĩ đến bài toán ngược ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ị nữa rồi chăng ? đọi vế trái của bất đẳng thức là A ờ “đánh giá” vế trái c l i gi i ải là số nguyên

Các em có th rèn luy n b ng cách th gi i b i toán sau : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ằng : ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 10 : ài toán A : Hãy tìm s t nhiên n sao cho A = nố nguyên ự nhiên 4 - 2n3 + 3n2 - 2n l s ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên chính phươn chút xíung

G i ý : Ngh ợc ĩ đến bài toán ngược đến bài toán ngược n (n2 - n + 1)2

B i toán 11 : ài toán A : Ch ng minh s 23ứng minh rằng : ố nguyên 5 + 2312 + 232003 không l s chính ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

phươn chút xíung

G i ý : Ngh ợc ĩ đến bài toán ngược đến bài toán ngược n phép chia cho 3 ho c phép chia cho 4 ặp dạng

B i toán 12 : ài toán A : Có 1000 m nh bìa hình ch nh t, trên m i m nh bìa ải là số nguyên ữa ta có : ậy, cho ta bài toán ỗi mảnh bìa được ải là số nguyên được cghi m t s trong các s t 2 ộc sau : ố nguyên ố nguyên ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đến bài toán ngược n 1001 sao cho không có hai m nh n o ghi ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

s gi ng nhau Ch ng minh r ng : Không th ghép t t c các m nh bìa ố nguyên ố nguyên ứng minh rằng : ằng : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : ải là số nguyên ải là số nguyên

n y li n nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ều gì thú vị nữa rồi chăng ? đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A được c m t s chính phộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

B i toán 13 : ài toán A : Ch ng minh r ng : T ng các bình phứng minh rằng : ằng : ổng rất quen thuộc sau : ươn chút xíung c a b n s t ủa bất đẳng thức là A ố nguyên ố nguyên ự nhiên nhiên liên ti p không th l s chính phến bài toán ngược ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

G i ý : Ngh t i phép chia cho 4 ợc ĩ đến bài toán ngược ớn hơn 1 và khác nhau thì

B i toán 14 : ài toán A : Ch ng minh r ng s 333ứng minh rằng : ằng : ố nguyên 333 + 555555 + 777777 không l s ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên chính phươn chút xíung

G i ý : Ngh ợc ĩ đến bài toán ngược đến bài toán ngược n phép chia cho … O 51 O 50 ộc sau : m t ch c (?) ụng mối quan hệ đặc biệt giữa

B i toán 15 : ài toán A : Lúc đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u có hai m nh bìa, m t c u bé tinh ngh ch c c m ải là số nguyên ộc sau : ậy, cho ta bài toán ị nữa rồi chăng ? ứng minh rằng : ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

m t m nh bìa lên l i xé ra l m b n m nh C u ta mong r ng c l m nhộc sau : ải là số nguyên ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ải là số nguyên ậy, cho ta bài toán ằng : ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư

v y ậy, cho ta bài toán đến bài toán ngược n m t lúc n o ó s ộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ẽ gặp dạng được ố nguyên ải là số nguyên c s m nh bìa l m t s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

C u ta có th c hi n ậy, cho ta bài toán ự nhiên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? được c mong mu n ó không ? ố nguyên đ

k t thúc b i vi t n y, tôi mu n chúc các em h c th t gi i môn toán

Đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ọi vế trái của bất đẳng thức là A ậy, cho ta bài toán ỏ rằng tổng :

ngay t ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u b c THCS v cho tôi ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được c nói riêng v i các quý th y cô : ớn hơn 1 và khác nhau thì ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : nguyên t c chung ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ch ng minh m t s t nhiên không l s chính ứng minh rằng : ộc sau : ố nguyên ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

phươn chút xíung, ó l d a v o m t trong các i u ki n c n đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ộc sau : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên m t s l s chính phươn chút xíung (m nh các quý th y cô ã bi t : m i i u ki n c n trên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ư ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ến bài toán ngược ọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Các b n ã ại hai số bằng nhau đ được c gi i thi u các phớn hơn 1 và khác nhau thì ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ươn chút xíung pháp ch ng minh m t s không ứng minh rằng : ộc sau : ố nguyên

ph i l s chính phải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung trong TTT2 s 9 B i vi t n y, tôi mu n gi i ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ớn hơn 1 và khác nhau thì thi u v i các b n b i toán ch ng minh m t s l s chính phện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ớn hơn 1 và khác nhau thì ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ứng minh rằng : ộc sau : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Ph ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng pháp 1 : D a v o ự giải : ài toán A : định nghĩa nh ngh a ĩa

Ta bi t r ng, s chính phến bài toán ngược ằng : ố nguyên ươn chút xíung l bình phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ươn chút xíung c a m t s t nhiên D a ủa bất đẳng thức là A ộc sau : ố nguyên ự nhiên ự nhiên

v o ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đị nữa rồi chăng ?nh ngh a n y, ta có th ĩ đến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đị nữa rồi chăng ?nh hướn hơn 1 và khác nhau thì ng gi i quy t các b i toán ải là số nguyên ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 1 : ài toán A : Ch ng minh : V i m i s t nhiên n thì ứng minh rằng : ớn hơn 1 và khác nhau thì ọi vế trái của bất đẳng thức là A ố nguyên ự nhiên

an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

L i gi i : ời giải : ải : Ta có :

an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

V i n l s t nhiên thì nớn hơn 1 và khác nhau thì ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên 2 + 3n + 1 c ng l s t nhiên, theo ũng nghĩ đến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên đị nữa rồi chăng ?nh ngh a, ĩ đến bài toán ngược

an l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

B i toán 2 : ài toán A : Ch ng minh s : ứng minh rằng : ố nguyên

l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

L i gi i : ời giải : ải :

Ta có :

V y : ậy, cho ta bài toán l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

Ph ương phải có chữ số tận cùng là một trong các ng pháp 2 : D a v o tính ch t ự giải : ài toán A : ất của số dư đặc 1 c bi t ệt

Ta có th ch ng minh m t tính ch t r t ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : ộc sau : ất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : đặp dạng c bi t : “N u a, b l hai s t ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên nhiên nguyên t cùng nhau v a.b l m t s chính phố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ố nguyên ươn chút xíung thì a v b ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u

l các s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung”

B i toán 3 : ài toán A : Ch ng minh r ng : N u m, n l các s t nhiên th a mãn ứng minh rằng : ằng : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ỏ rằng tổng : 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n v 4m + 4n + 1 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đều gì thú vị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên u l s chính phươn chút xíung

L i gi i : ời giải : ải :

Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n

tươn chút xíung đươn chút xíung v i 4(mớn hơn 1 và khác nhau thì 2 - n2) + (m - n) = m2

hay l (m - n)(4m + 4n + 1) = mài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 2 (*)

G i d l ọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ướn hơn 1 và khác nhau thì c chung l n nh t c a m - n v 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) +ớn hơn 1 và khác nhau thì ất quen thuộc sau : ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 4(m - n) chia h t cho d => 8m + 1 chí h t cho d ến bài toán ngược ến bài toán ngược

M t khác, t (*) ta có : mặp dạng ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 2 chia h t cho dến bài toán ngược 2 => m chia h t cho d ến bài toán ngược

T 8m + 1 chia h t cho d v m chia h t cho d ta có 1 chia h t cho d => d = ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ến bài toán ngược

1

V y m - n v 4m + 4n + 1 l các s t nhiên nguyên t cùng nhau, th a ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ố nguyên ỏ rằng tổng : mãn (*) nên chúng đều gì thú vị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u l các s chính phố nguyên ươn chút xíung Cu i cùng xin g i t i cácố nguyên ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ớn hơn 1 và khác nhau thì

b n m t s b i toán thú v v s chính phại hai số bằng nhau ộc sau : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ị nữa rồi chăng ? ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ố nguyên ươn chút xíung :

1) Ch ng minh các s sau ây l s chính phứng minh rằng : ố nguyên đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung :

2) Cho các s nguyên dố nguyên ươn chút xíung a, b, c ôi m t nguyên t cùng nhau, th a đ ộc sau : ố nguyên ỏ rằng tổng : mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho bi t a + b có l s chính phến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung hay không

?

3) Ch ng minh r ng, v i m i s t nhiên n thì 3ứng minh rằng : ằng : ớn hơn 1 và khác nhau thì ọi vế trái của bất đẳng thức là A ố nguyên ự nhiên n + 4 không l s chính ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

phươn chút xíung

4) Tìm s t nhiên n ố nguyên ự nhiên đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A n2 + 2n + 2004 l s chính phài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ươn chút xíung

5) Ch ng minh : N u : ứng minh rằng : ến bài toán ngược v n l hai s t nhiên thì a l s ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên chính phươn chút xíung

NGUYÊN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ

Nguyên lí i-rích-lê Đi-rích-lê phát bi u nh sau : “N u có m v t ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ư ến bài toán ngược ậy, cho ta bài toán đặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : t v o n cái

ng n kéo v m > n thì có ít nh t m t ng n kéo ch a ít nh t hai v t”.ăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ộc sau : ăng ? ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : ậy, cho ta bài toán Nguyên lí i-rích-lê ch giúp ta ch ng minh Đ ỉ có ứng minh rằng : được ự nhiên ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau c s t n t i “ng n kéo” ăng ?

ch a ít nh t hai v t m không ch ra ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có được đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : c ó l “ng n kéo” n o Các ăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

b n hãy l m quen vi c v n d ng nguyên lí qua các b i toán sau ây ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ậy, cho ta bài toán ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ

B i toán 1 : ài toán A :

Ch ng minh r ng trong 11 s t nhiên b t kì bao gi c ng t n t i ít nh t ứng minh rằng : ằng : ố nguyên ự nhiên ất quen thuộc sau : ờ “đánh giá” vế trái ũng nghĩ đến bài toán ngược ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ất quen thuộc sau :

2 s có hi u chia h t cho 10 ố nguyên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ến bài toán ngược

L i gi i : ời giải : ải :

V i 11 s t nhiên khi chia cho 10 ta ớn hơn 1 và khác nhau thì ố nguyên ự nhiên được c 11 s d , m m t s t nhiên ố nguyên ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ố nguyên ự nhiên

b t kì khi chia cho 10 có 10 kh n ng d l 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ; 9.ất quen thuộc sau : ải là số nguyên ăng ? ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Vì có 11 s d m ch có 10 kh n ng d , theo nguyên lí i-rích-lê, t n ố nguyên ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ải là số nguyên ăng ? ư Đ ồn tại hai số bằng nhau

t i ít nh t 2 s khi chia cho 10 có cùng s d do ó hi u c a chúng chia ại hai số bằng nhau ất quen thuộc sau : ố nguyên ố nguyên ư đ ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A

h t cho 10 ( pcm).ến bài toán ngược đ

B i toán 2 : ài toán A :

Ch ng minh r ng t n t i s có d ng 19941994 199400 0 chia h t cho ứng minh rằng : ằng : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ố nguyên ại hai số bằng nhau ến bài toán ngược 1995

L i gi i : ời giải : ải :

Xét 1995 s có d ng : 1994 ; 19941994 ; ; ố nguyên ại hai số bằng nhau

N u m t trong các s trên chia h t cho 1995 thì d d ng có pcm.ến bài toán ngược ộc sau : ố nguyên ến bài toán ngược ễn hai số phải tìm, liên hệ với ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ

N u các s trên ến bài toán ngược ố nguyên đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u không chia h t cho 1995 thì khi chia t ng s cho ến bài toán ngược ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

1995 s ch có 1994 kh n ng d l 1 ; 2 ; 3 ; ; 1994 ẽ gặp dạng ỉ có ải là số nguyên ăng ? ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Vì có 1995 s d m ch có 1994 kh n ng d , theo nguyên lí i-rích-lê ố nguyên ư ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ải là số nguyên ăng ? ư Đ

t n t i ít nh t 2 s khi chia cho 1995 có cùng s d , hi u c a chúng chia ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ất quen thuộc sau : ố nguyên ố nguyên ư ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A

h t cho 1995 Gi s hai s ó l :ến bài toán ngược ải là số nguyên ử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ố nguyên đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Khi ó : = 1994 199400 0 chia h t cho 1995 ( pcm).đ ến bài toán ngược đ

B i toán 3 : ài toán A :

Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên k sao cho (1999^k - 1) chia h t ứng minh rằng : ằng : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ố nguyên ự nhiên ến bài toán ngược

cho104

L i gi i : ời giải : ải :

Xét 104 + 1 s có d ng :ố nguyên ại hai số bằng nhau

19991 ; 19992 ; ; 1999104 + 1

L p lu n tậy, cho ta bài toán ậy, cho ta bài toán ươn chút xíung t b i toán 2 ta ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được c :

(1999m - 1999n) chia h t cho 104 (m > n)ến bài toán ngược

hay 1999n (1999m-n - 1) chia h t cho 104ến bài toán ngược

Vì 1999n v 104 nguyên t cùng nhau, do ó (1999m-n - 1) chia h t cho ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên đ ến bài toán ngược 104

t m - n = k => 1999^k - 1 chia h t cho 104 ( pcm)

B i toán 4 : ài toán A :

Ch ng minh r ng t n t i m t s ch vi t b i hai ch s chia h t cho 2003.ứng minh rằng : ằng : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ộc sau : ố nguyên ỉ có ến bài toán ngược ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ữa ta có : ố nguyên ến bài toán ngược

L i gi i : ời giải : ải :

Xét 2004 s có d ng 1 ; 11 ; 111 ; ; ố nguyên ại hai số bằng nhau

L p lu n tậy, cho ta bài toán ậy, cho ta bài toán ươn chút xíung t b i toán 2 ta ự nhiên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được c :

hay 11 100 0 chia h t cho 2003 ( pcm).ến bài toán ngược đ

M t s b i toán t gi i : ột số ví dụ minh họa ố ví dụ minh họa ài toán tự giải : ự giải : ải :

B i toán 5 : ài toán A :

Ch ng minh r ng m i s nguyên t p ta có th tìm ứng minh rằng : ằng : ọi vế trái của bất đẳng thức là A ố nguyên ố nguyên ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A được c m t s ộc sau : ố nguyên được c

vi t b i hai ch s chia h t cho p ến bài toán ngược ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ữa ta có : ố nguyên ến bài toán ngược

B i toán 6 : ài toán A :

Ch ng minh r ng n u m t s t nhiên không chia h t cho 2 v 5 thì t n ứng minh rằng : ằng : ến bài toán ngược ộc sau : ố nguyên ự nhiên ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ồn tại hai số bằng nhau

t i b i c a nó có d ng : 111 1.ại hai số bằng nhau ộc sau : ủa bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau

B i toán 7 : ài toán A :

Ch ng minh r ng t n t i s có d ng 1997k (k thu c N) có t n cùng l ứng minh rằng : ằng : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ố nguyên ại hai số bằng nhau ộc sau : ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 0001

B i toán 8 : ài toán A :

Ch ng minh r ng n u các s nguyên m v n nguyên t cùng nhau thì tìm ứng minh rằng : ằng : ến bài toán ngược ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên

c s t nhiên k sao cho mk - 1 chia h t cho n

được ố nguyên ự nhiên ến bài toán ngược

Các b n hãy ón ạn hãy đón đọc số sau : đón đọc số sau : đón đọc số sau :ọa ố ví dụ minh họa c s sau : Nguyên lí i-rích-lê v i nh ng b i toán Đ ớn hơn 1 và khác nhau thì ữa ta có : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : hình h c thú v ọi vế trái của bất đẳng thức là A ị nữa rồi chăng ?

SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN

Gi i h ng tr m b i toán m ch c t tìm ra áp s v d ng l i ó thì ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ố nguyên đ ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ại hai số bằng nhau ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ

ki n th c thu lến bài toán ngược ứng minh rằng : ược được m c ch ng l bao Còn gi i ít b i t p m l i luôn ẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ại hai số bằng nhau suy ngh trên m i b i ó, tìm thêm cách gi i, khai thác thêm nh ng ý c a ĩ đến bài toán ngược ỗi mảnh bìa được ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ải là số nguyên ữa ta có : ủa bất đẳng thức là A

b i toán, ó l con ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đườ “đánh giá” vế trái ng t t ố nguyên đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ i lên trong h c toán ọi vế trái của bất đẳng thức là A

Dướn hơn 1 và khác nhau thì đi ây l m t thí d ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ụng mối quan hệ đặc biệt giữa

B i toán 1 : ài toán A : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 v ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B = A.3 Tính giá tr c a B ị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A

L i gi i 1 : ời giải : ải : Theo đều gì thú vị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : b i ta có :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … O 51 O 50 + 8.9.10

- 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990

Trướn hơn 1 và khác nhau thì c h t, ta ngh ngay r ng, n u b i toán yêu c u ch tính t ng A, ta có :ến bài toán ngược ĩ đến bài toán ngược ằng : ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ổng rất quen thuộc sau :

A = B/3 = 330

Bây gi , ta t m th i quên i áp s 990 m ch chú ý t i tích cu i cùng ờ “đánh giá” vế trái ại hai số bằng nhau ờ “đánh giá” vế trái đ đ ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ớn hơn 1 và khác nhau thì ố nguyên 9.10.11, trong ó 9.10 l s h ng cu i cùng c a A v 11 l s t nhiên kđ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ại hai số bằng nhau ố nguyên ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ều gì thú vị nữa rồi chăng ?sau c a 10, t o th nh tích ba s t nhiên liên ti p Ta d d ng ngh t i ủa bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên ến bài toán ngược ễn hai số phải tìm, liên hệ với ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ĩ đến bài toán ngược ớn hơn 1 và khác nhau thì

k t qu sau : ến bài toán ngược ải là số nguyên

N u A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ến bài toán ngược … O 51 O 50 + (n - 1).n thì giá tr c a B = A.3 = (n - 1).n.ị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A (n + 1) Các b n có th t ki m nghi m k t qu n y b ng cách gi i ại hai số bằng nhau ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ự nhiên ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ến bài toán ngược ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ằng : ải là số nguyên

tươn chút xíung t nh trên ự nhiên ư

Bây gi ta tìm l i gi i khác cho b i toán ờ “đánh giá” vế trái ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

L i gi i 2 : ời giải : ải :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3+ 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12+ 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6

Ta ch a bi t cách tính t ng bình phư ến bài toán ngược ổng rất quen thuộc sau : ươn chút xíung các s l liên ti p b t ố nguyên ẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, ến bài toán ngược ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u t 1,

nh ng liên h v i l i gi i 1, ta có : ư ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ớn hơn 1 và khác nhau thì ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên

(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay

(12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6

Ho n to n h p lí khi ta ngh ngay ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ợc ĩ đến bài toán ngược đến bài toán ngược n b i toán t ng quát : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau :

B i toán 2 : ài toán A : Tính t ng : ổng rất quen thuộc sau :

P = 12 + 32 + 52 + 72 + … O 51 O 50 + (2n + 1)2

K t qu : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 ến bài toán ngược ải là số nguyên

K t qu n y có th ch ng minh theo m t cách khác, ta s xem xét sau ến bài toán ngược ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : ộc sau : ẽ gặp dạng

Lo t b i toán sau l nh ng k t qu liên quan ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ữa ta có : ến bài toán ngược ải là số nguyên đến bài toán ngược n b i toán 1 v b i toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

2

B i toán 3 : ài toán A : Tính t ng : ổng rất quen thuộc sau :

Q = 112 + 132 + 152 + … O 51 O 50 + (2n + 1)2

B i toán 4 : ài toán A : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 v ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

C = A + 10.11 Tính giá tr c a C Theo cách tính A c a b i toán 1, ta ị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

c k t qu l : C = 10.11.12/3

được ến bài toán ngược ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Theo l i gi i 2 c a b i toán 1, ta i ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ đến bài toán ngược n k t qu : C = 2.(2ến bài toán ngược ải là số nguyên 2 + 42 + 62 + 82+ 102) Tình c , ta l i có k t qu c a b i toán t ng quát : tính t ng bình ờ “đánh giá” vế trái ại hai số bằng nhau ến bài toán ngược ải là số nguyên ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau : ổng rất quen thuộc sau :

phươn chút xíung c a các s t nhiên ch n liên ti p, b t ủa bất đẳng thức là A ố nguyên ự nhiên ẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2 ến bài toán ngược ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u t 2

B i toán 5 : ài toán A : Ch ng minh r ng :ứng minh rằng : ằng :

22 + 42 + 62 + … O 51 O 50.+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6

T ây, ta ti p t c ừ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ến bài toán ngược ụng mối quan hệ đặc biệt giữa đều gì thú vị nữa rồi chăng ? xu t v gi i quy t ất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ến bài toán ngược được c các b i toán khác ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán 6 : ài toán A :

Tính t ng : 20ổng rất quen thuộc sau : 2 + 222 + … O 51 O 50 + 482 + 502

B i toán 7 : ài toán A : Cho n thu c N* Tính t ng : ộc sau : ổng rất quen thuộc sau :

n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … O 51 O 50 + (n + 100)2

H ướng dẫn giải : ng d n gi i : ẫn giải : ải : Xét hai trườ “đánh giá” vế trái ng h p n ch n v n l ; áp d ng k t qu ợc ẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ến bài toán ngược ải là số nguyên

b i toán 2, b i toán 5 v cách gi i b i toán 3 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

B i toán ch có m t k t qu duy nh t, không ph thu c v o tính ch n l ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ộc sau : ến bài toán ngược ải là số nguyên ất quen thuộc sau : ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2 ẻ liên tiếp bắt đầu từ 1,

c a n ủa bất đẳng thức là A

B i toán 8 : ài toán A : Ch ng minh r ng : ứng minh rằng : ằng :

12 + 22 + 32 + … O 51 O 50 + n2 = n.(n + 1)(n + 2)/6

L i gi i 1 : ời giải : ải :

Xét trườ “đánh giá” vế trái ng h p n ch n : ợc ẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2

12 + 22 + 32 + … O 51 O 50 + n2 = (12 + 32 + 52 + … O 51 O 50 + (n - 1)2) + (22 + 42 + 62 + … O 51 O 50 + n2)

= [(n - 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Tươn chút xíung t v i trự nhiên ớn hơn 1 và khác nhau thì ườ “đánh giá” vế trái ng h p n l , ta có pcm ợc ẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, đ

L i gi i 2 : ời giải : ải : Ta có :

Tr l i b i toán 1 Ph i ch ng b i toán cho B = A.3 vì 3 l s t nhiên ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ự nhiên

li n sau c a 2 trong nhóm ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ủa bất đẳng thức là A đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : u tiên : 1.2 N u úng nh th thì ta có th ến bài toán ngược đ ư ến bài toán ngược ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

gi i ải là số nguyên được c b i toán sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

+ 8.9.10

L i gi i : ời giải : ải :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … O 51 O 50 + 8.9.10.(11 - 7)] : 4 = (1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … O 51 O 50 + 7.8.9.10 - 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : 4 = 8.9.10.11/4 = 1980

Ti p t c hến bài toán ngược ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ướn hơn 1 và khác nhau thì ng suy ngh trên, ta có ngay k t qu t ng quát c a b i toán ĩ đến bài toán ngược ến bài toán ngược ải là số nguyên ổng rất quen thuộc sau : ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

10 :

áp s :

Đáp số : ố ví dụ minh họa A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.B I ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Các b n th y ại hai số bằng nhau ất quen thuộc sau : đất quen thuộc sau : y ! Ch v i b i toán 1, n u ch u khó tìm tòi, suy ngh , ta ỉ có ớn hơn 1 và khác nhau thì ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ị nữa rồi chăng ? ĩ đến bài toán ngược

có th tìm ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A được c nhi u cách gi i, ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ải là số nguyên đều gì thú vị nữa rồi chăng ? xu t ất quen thuộc sau : được c nh ng b i toán thú v , ữa ta có : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ị nữa rồi chăng ?thi t l p ến bài toán ngược ậy, cho ta bài toán được c m i liên h gi a các b i toán ố nguyên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ữa ta có : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

K t qu t t y u c a quá trình tìm tòi suy ngh trên m i b i toán, ó l ến bài toán ngược ải là số nguyên ất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ủa bất đẳng thức là A ĩ đến bài toán ngược ỗi mảnh bìa được ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đ ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

l m t ng n ng l c gi i toán c a các b n ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ăng ? ăng ? ự nhiên ải là số nguyên ủa bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau

Ch c ch n còn nhi u i u thú v xung quanh b i toán 1 Các b n hãy ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ều gì thú vị nữa rồi chăng ? đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ại hai số bằng nhau cùng ti p t c suy ngh nhé.ến bài toán ngược ụng mối quan hệ đặc biệt giữa ĩ đến bài toán ngược

NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ

& NHỮNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC THÚ VỊ

T p chí Toán Tu i th s 12 ã ại hai số bằng nhau ổng rất quen thuộc sau : ơn chút xíu ố nguyên đ đều gì thú vị nữa rồi chăng ? ậy, cho ta bài toán đến bài toán ngược c p n các b i toán s h c ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ố nguyên ọi vế trái của bất đẳng thức là A được c

v n d ng nguyên lí i-rích-lê ậy, cho ta bài toán ụng mối quan hệ đặc biệt giữa Đ đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên gi i quy t ến bài toán ngược

Nguyên lí có th m r ng nh sau : N u có m v t ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ộc sau : ư ến bài toán ngược ậy, cho ta bài toán đặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : t v o n cái ng n kéoăng ?

v m > k.n thì có ít nh t m t ng n kéo ch a ít nh t k + 1 v t V i m ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ất quen thuộc sau : ộc sau : ăng ? ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : ậy, cho ta bài toán ớn hơn 1 và khác nhau thì ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

r ng n y, ta còn có th gi i quy t thêm nhi u b i toán khác ộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên ến bài toán ngược ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Sau ây xin gi i thi u đ ớn hơn 1 và khác nhau thì ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? đểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau đọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : b n c l m quen vi c v n d ng nguyên lí i-ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ậy, cho ta bài toán ụng mối quan hệ đặc biệt giữa Đrích-lê v i m t s b i toán hình h c ớn hơn 1 và khác nhau thì ộc sau : ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ọi vế trái của bất đẳng thức là A

B i toán 1 : ài toán A : Trong tam giác đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u có c nh b ng 4 (ại hai số bằng nhau ằng : đơn chút xíun v ị nữa rồi chăng ? độc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được d i, c

hi u ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đến bài toán ngược n cu i b i vi t) l y 17 i m Ch ng minh r ng trong 17 i m ó ố nguyên ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : ằng : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ

có ít nh t hai i m m kho ng cách gi a chúng không vất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ữa ta có : ược t quá 1

L i gi i : Chia tam giác ờ “đánh giá” vế trái ải là số nguyên đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u có c nh b ng 4 th nh 16 tam giác ại hai số bằng nhau ằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u có

c nh b ng 1 (hình 1) Vì 17 > 16, theo nguyên lí i-rích-lê, t n t i ít ại hai số bằng nhau ằng : Đ ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau

nh t m t tam giác ất quen thuộc sau : ộc sau : đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u c nh b ng 1 có ch a ít nh t 2 i m trong s 17 ại hai số bằng nhau ằng : ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ố nguyên

đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ải là số nguyên ữa ta có : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ược

( pcm) đ

B i toán 2 : Trong m t hình vuông c nh b ng 7, l y 51 i m Ch ng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : ại hai số bằng nhau ằng : ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : minh r ng có 3 i m trong 51 i m ã cho n m trong m t hình tròn có ằng : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ằng : ộc sau : bán kính b ng 1 ằng :

L i gi i : ời giải : ải : Chia hình vuông c nh b ng 7 th nh 25 hình vuông b ng nhau, ại hai số bằng nhau ằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ằng :

c nh c a m i hình vuông nh b ng 5/7 ại hai số bằng nhau ủa bất đẳng thức là A ỗi mảnh bìa được ỏ rằng tổng : ằng : (hình 2)

Vì 51 i m ã cho thu c 25 hình vuông nh , m 51 > 2.25 nên theo đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ộc sau : ỏ rằng tổng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : nguyên lí i-rích-lê, có ít nh t m t hình vuông nh ch a ít nh t 3 i mĐ ất quen thuộc sau : ộc sau : ỏ rằng tổng : ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A (3 = 2 + 1) trong s 51 i m ã cho Hình vuông c nh b ng có bán kính ố nguyên đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ại hai số bằng nhau ằng :

ng tròn ngo i ti p l :

đườ “đánh giá” vế trái ại hai số bằng nhau ến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

V y b i toán ậy, cho ta bài toán ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : được c ch ng minh Hình tròn n y chính l hình tròn bán ứng minh rằng : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : kính b ng 1, ch a hình vuông ta ã ch ra trên ằng : ứng minh rằng : đ ỉ có ởi các kiểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

B i toán 3 : ài toán A : Trong m t ph ng cho 2003 i m sao cho c 3 i m b t kì ặp dạng ẳng thức là A đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ứng minh rằng : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau :

có ít nh t 2 i m cách nhau m t kho ng không vất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ộc sau : ải là số nguyên ược t quá 1 Ch ng minh ứng minh rằng :

r ng : t n t i m t hình tròn bán kính b ng 1 ch a ít nh t 1002 i m ằng : ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ộc sau : ằng : ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

L i gi i : ời giải : ải : L y m t i m A b t kì trong 2003 i m ã cho, v ất quen thuộc sau : ộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ ẽ gặp dạng đườ “đánh giá” vế trái ng tròn C1 tâm A bán kính b ng 1 ằng :

+ N u t t c các i m ến bài toán ngược ất quen thuộc sau : ải là số nguyên đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đều gì thú vị nữa rồi chăng ?u n m trong hình tròn C1 thì hi n nhiên có ằng : ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A pcm

đ

+ N u t n t i m t i m B m kho ng cách gi a A v B l n h n 1 thì ta ến bài toán ngược ồn tại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau ộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên ữa ta có : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ớn hơn 1 và khác nhau thì ơn chút xíu

v ẽ gặp dạng đườ “đánh giá” vế trái ng tròn C2 tâm B bán kính b ng 1 ằng :

Khi ó, xét m t i m C b t kì trong s 2001 i m còn l i Xét 3 i m đ ộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ất quen thuộc sau : ố nguyên đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ại hai số bằng nhau đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

A, B, C, vì AB > 1 nên theo gi thi t ta có AC 1 ho c BC 1 Nói cách ải là số nguyên ến bài toán ngược ≤ b ặp dạng ≤ b khác, i m C ph i thu c Cđ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ải là số nguyên ộc sau : 1 ho c Cặp dạng 2 => 2001 i m khác B v A ph i đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên

n m trong Cằng : 1 ho c Cặp dạng 2 Theo nguyên lí i-rích-lê ta có m t hình tròn ch aĐ ộc sau : ứng minh rằng :

ít nh t 1001 i m Tính thêm tâm c a hình tròn n y thì hình tròn n y ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ủa bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : chính l hình tròn bán kính b ng 1 ch a ít nh t 1002 i m trong 2003 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ằng : ứng minh rằng : ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A

i m ã cho

đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A đ

B i toán 4 : ài toán A : Cho hình bình h nh ABCD, k 17 ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, đườ “đánh giá” vế trái ng th ng sao cho m i ẳng thức là A ỗi mảnh bìa được

ng th ng chia ABCD th nh hai hình thang có t s di n tích b ng

đườ “đánh giá” vế trái ẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ỉ có ố nguyên ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? ằng :

1/3 Ch ng minh r ng, trong 17 ứng minh rằng : ằng : đườ “đánh giá” vế trái ng th ng ó có 5 ẳng thức là A đ đườ “đánh giá” vế trái ng th ng ẳng thức là A đồn tại hai số bằng nhau ng quy

L i gi i : ời giải : ải : G i M, Q, N, P l n lọi vế trái của bất đẳng thức là A ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : t l các trung i m c a AB, BC, CD, đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A ủa bất đẳng thức là A

DA (hình 3)

Vì ABCD l hình bình h nh => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

G i d l m t trong 17 ọi vế trái của bất đẳng thức là A ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ộc sau : đườ “đánh giá” vế trái ng th ng ã cho N u d c t AB t i E ; CD t i Fẳng thức là A đ ến bài toán ngược ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ại hai số bằng nhau ại hai số bằng nhau

; PQ t i L thì LP, LQ l n lại hai số bằng nhau ầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : đườ “đánh giá” vế trái t l ng trung bình c a các hình thang ủa bất đẳng thức là A AEFD, EBCF Ta có :

S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 ho c S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 ặp dạng

ho c l LQ / LP = 1/3 ặp dạng ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

Trên PQ l y hai i m Lất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A 1, L2 th a mãn i u ki n Lỏ rằng tổng : đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? 1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi ó L trùng v i Lđ ớn hơn 1 và khác nhau thì 1 ho c L trùng v i Lặp dạng ớn hơn 1 và khác nhau thì 2 Ngh a l n u d c t AB v ĩ đến bài toán ngược ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ến bài toán ngược ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau :

CD thì d ph i qua Lải là số nguyên 1 ho c Lặp dạng 2

Tươn chút xíung t , trên MN l y hai i m Kự nhiên ất quen thuộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A 1, K2 th a mãn i u ki n Kỏ rằng tổng : đ ều gì thú vị nữa rồi chăng ? ện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? 1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 khi ó n u d c t AD v BC thì d ph i qua Kđ ến bài toán ngược ắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ài toán tính tổng rất quen thuộc sau : ải là số nguyên 1 ho c Kặp dạng 2 Tóm l i, m i ại hai số bằng nhau ỗi mảnh bìa được đườ “đánh giá” vế trái ng th ng trong s 17 ẳng thức là A ố nguyên đườ “đánh giá” vế trái ng th ng ã cho ph i i qua ẳng thức là A đ ải là số nguyên đ

m t trong 4 i m Lộc sau : đ ểu khác nhau Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A 1 ; L2 ; K1 ; K2