BÀI tập lớn xác SUẤT (1)

Lý thuyết về kiểm định giả thiết thống kê 1.Khái niệm giả thiết thống kê 2.Các sai lầm trong kiểm định giả thiết thống kê 3.Các bước của việc kiểm định giả thiết thống kê 4.Kiểm định tha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

KHOA KINH TẾ - QUẢN TRỊ KINH DOANH

――――*****――――

BÀI TẬP LỚN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

ĐỀ TÀI: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ VÀ ỨNG DỤNG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN MẠNH HÙNG SINH VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MÃ SINH VIÊN: 1864010043 LỚP: K21A – ĐẠI HỌC KẾ TOÁN

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2019

MỤC LỤC

A.Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

2.Mục đích của đề tài

3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài

4.Phương pháp nghiên cứu

Danh mục các kí hiệu sử dụng trong bài viết

B.Nội dung

I Lý thuyết về kiểm định giả thiết thống kê

1.Khái niệm giả thiết thống kê

2.Các sai lầm trong kiểm định giả thiết thống kê

3.Các bước của việc kiểm định giả thiết thống kê

4.Kiểm định tham số

4.1 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình

4.2 Kiểm định giả thiết về xác suất (hoặc tỷ lệ)

4.3 Kiểm định giả thiết về phương sai

5 .Kiểm định so sánh hai tham số

5.1 Kiểm định so sánh hai giá trị trung bình

5.2 Kiểm định so sánh hai xác suất (hay hai tỷ lệ)

II Ứng dụng của kiểm định giả thiết thống kê

1 Ứng dụng trong kinh tế

2 Ứng dụng trong vấn đề văn hóa xã hội

C.Kết luận

D Phụ lục: Cách tra các bảng phân phối xác suất

1.Bảng phân phối xác suất chuẩn tắc

Trang33344566678891620222228313139434444

3.Bảng phân phối xác suất Khi – bình phương.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

4547

A MỞ ĐẦU1.Lý do chọn đề tài:

Ra đời từ nửa cuối thế kỷ XVII ở nước Pháp, xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Nói một cách đại khái thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát Tuy nhiên nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp

ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này Dựa vào các thànhtựu của lý thuyết xác suất, thống kê toán xây dựng các phương pháp ra quyết định trong điều kiện thông tin đầy đủ Hơn 300 năm phát triển, đến nay lí thuyết xác suấtthống kê đã trở thành ngành toán học quan trọng , được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tự nhiên và xã hội khác nhau, từ âm nhạc tới vật lý, từ cơ học đến thịtrường chứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế, từ nông học tới y học,… Môn học Xác suất thống kê là một môn học quan trọng ở bậc đại học Việchọc tập Bộ môn Xác suất và thống kê giúp cho sinh viên có được những bài học và ứng dụng thực tế về Đại số tổ hợp, lý thuyết xác suất, phép thử, biến cố, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất, vector ngẫu nhiên, giá trị kì

vọng phương sai,….Đặc biệt trong bộ môn này, phần lý thuyết về “ Bài toán Kiểm định giả thiết” là phần đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình học bộ môn, hơn thế, lý thuyết về Kiểm định Giả thiết giúp ích rất nhiều cho sinh viên

chúng em không những trong thời điểm hiện tại mà còn về sau này khi giải quyết những vấn đề trong cuộc sống

Nhận thấy được tầm quan trọng của phần lý thuyết về bài toán kiểm địnhgiả thiết cùng với những kiến thức đã được học, em quyết định lựa chọn đề tài :

“Kiểm định giả thiết thống kê và Ứng dụng”.

Đề tài tập trung hệ thống các phần lý thuyết quan trọng về Kiểm định Giả thiết

và đưa ra cách giải các bài tập có liên quan, vừa đáp ứng yêu cầu của sách giáo khoa, vừa có giá trị thực tiễn và phù hợp với phương thức tự học, tự nghiên cứu củasinh viên Đồng thời, đề tài cũng đưa ra ứng dụng hữu ích của “ Kiểm định giả thiếtthống kê” trong cuộc sống hiện nay, giúp cho sinh viên vận dụng hiệu quả kiến thức được học vào cuộc sống

3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài:

Đề tài tập trung nghiên cứu về lý thuyết, các bài tập, các cách giải bài tập Kiểm định giả thiết thống kê; Các hướng dẫn, gợi ý, lời giải vắn tắt hoặc lời giải mẫu của bài tập kiểm định giả thiết trong phạm vi nội dung học phần dành cho sinh viên; Đi sâu vào thực tiễn đời sống con người để thấy được tầm quan trọng của Kiểm định giả thiết thống kê

4.Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được thực hiện bằng các phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu chương trình, đề cương chi tiết học phần, nội dung lý thuyết

“Kiểm định giả thiết thống kê”

- Nghiên cứu bài tập

- Tham khảo ý kiến đóng góp của các giảng viên Trường Đại học Hồng Đức

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG BÀI VIẾT.

X Kỳ vọng mẫu (trung bình mẫu) của đại lượng ngẫu nhiên

 S* 2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh của đại lượng ngẫu nhiên

2

S Phương sai mẫu của đại lượng ngẫu nhiên

S Độ lệch chuẩn mẫu của đại lượng ngẫu nhiên

*

S Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh của đại lượng ngẫu nhiên

2

x Phân vị đối xứng của phân phối xác suất chuẩn tắc

x Phân vị một phía (phía trái) của phân phối xác suất chuẩn tắc

 Phương sai tổng thể của đại lượng ngẫu nhiên

 Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định

 Độ tin cậy của bài toán kiểm định

B NỘI DUNG I.Lý thuyết về kiểm định giả thiết thống kê.

1 Khái niệm giả thiết thống kê:

Giả thiết thống kê là một mệnh đề nhận định về tham số của tổng thể Khi ta

đồng nhất tổng thể với một biến ngẫu nhiên thì giả thiết thống kê cũng có thể là nhận định về phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Ký hiệu H0 là giả thiết của tham số tổng thể, đi kèm với giả thiết H0 là mệnh

đề đối lập được gọi là đối thiết, ký hiệu là H1 Bài toán kiểm định giả thiết thống kêgồm một cặp giả thiết H0 và đối thiết H1 Dựa vào thông tin mẫu lấy được từ tổng thể ta phải đưa ra quyết định bác bỏ hay chấp nhận giả thiết H0 , việc chấp nhận giả thiết H0 tương đương với bác bỏ đối thiết H1 và ngược lại

Ví dụ: Khi ta cảm thấy mệt mỏi, ta nghi rằng “mình bị bệnh” – đây là giả thiết H0,(H1 là “mình không mắc bệnh”) và việc đi khám bệnh để xác định xem mình có bệnh hay không, chính là xác định xem giả thiết H0 có đúng hay không Việc này chính là kiểm định giả thiết

 Khi giả thiết H0 có dạng: H0 : a = a0 (a là 1 tham số nào đó của đại lượng ngẫu nhiên ta đang nghiên cứu; a0 là giá trị đã biết)

 Khi đó: H1 có thể là: H1 : a ≠ a0 Việc kiểm định giả thiết với đối thiết dạng này được gọi là kiểm định hai phía (vì miền bác bỏ nằm về hai phía của miền chấp nhận)

 Giả thiết đối dạng H1 : a ≠ a0 thường được áp dụng khi ta chưa biết rõ trong thực tế a > a0 hay a < a0

 Nhưng nếu qua quan sát, phân tích ta biết được xu hướng là a > a0 thì ta có thể đặt đối thiết H1 : a > a0 Hoặc ta biết được khả năng a < a0 thì đặt đối thiết

H1 : a < a0

 Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối dạng H1 : a > a0 thì được gọi là kiểm

 Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối dạng H1 : a < a0 thì được gọi là kiểm định giả thiết về phía bên trái.

2.Các loại sai lầm trong kiểm định giả thiết thống kê.

Khi làm kiểm định giả thiết, ta cố thể mắc phải các sai lầm sau đây:

 Sai lầm loại I: Bác bỏ 1 giả thiết đúng ( Bác bỏ H0 khi H0 đúng)

 Sai lầm loại II: Chấp nhận 1 giải thiết sai ( Nhận H0 khi H0 sai)

Kết luận Thực tế

Chấp nhận H 0 Bác bỏ H 0

H0 đúng Kết luận đúng Sai lầm loại I

H0 sai Sai lầm loại II Kết luận đúng

Ví du:

1.Dựa vào các thông tin dự báo thời tiết, trung tâm khí tượng thủy văn dự báo 1 cơnbão sắp đến sẽ đổ bộ vào miền Nam, thì H0: “ Bão đổ bộ vào miền Nam” (H1 bão không đổ bộ vào miền Nam).Khi đó, sai lầm loại I là rất tai hại Vì khi đó, do không kịp thời chuẩn bị ứng phó nên bão sẽ gây ra thiệt hại nặng nề

2.Cho đậu 1 thí sinh yếu kém (mà đáng ra phải rớt) hoặc cho rớt 1 thí sinh giỏi (màđáng lẽ ra phải đậu) đều là những sai lầm tai hại Thực tế, cho thấy, có những cuộc thi mà kết quả chỉ dựa vào số lượng tin nhắn bình chọn thì chứa đựng nhiều sai lầm

 Tất nhiên khi kiểm dịnh một giả thiết, ta cố gắng hạn chế các sai lầm, tức là cần giảm thiểu tối đa xác suất cả 2 sai lầm Tuy nhiên, đây là điều

trong thực tế không thể làm được vì nếu ta muốn giảm sai lầm loại I thì sẽ làm tăng xác suất sai lầm loại II, và ngược lại.

3.Các bước của việc kiểm định giả thiết thống kê.

4.1 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình.

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể phân phối theo quy luật chuẩn với kỳ vọng là  và phương sai mẫu 2

 Cần kiểm định giả thiết:

H0: 0 ( 0 là một giá trị đã biết khi đặt H0)

H1: 0

Trường hợp 1: Phương sai σ2 đã biết:

Giả sử X ~ N(µ, σ2) (X1,X2,….Xn) là mẫu độc lập của X

Khi đó giá trị thống kê : (với mức ý nghĩa )

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

+) Nếu U x 2 thì chấp nhận giả thiết H 0 , bác bỏ giả thiết H 1

+) Nếu U  x 2 thì chấp nhận giả thiết H 1 , bác bỏ giả thiết H 0.

Ví dụ1: Trọng lượng sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là một biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn 2kg, trọng lượng trung bình theo quy định là50kg Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trungbình của sản phẩm, người ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả như sau:

n 

  = 1 49.10 50.60 51.20 52.5 53.5 50,35

Gọi  là trọng lượng trung bình của sản phẩm

Từ giả thiết và câu hỏi,ta có bài toán kiểm định:

Ta thấy: U x 2, chấp nhận giả thiết H0, bác bỏ giả thiết H1

Vậy điều nghi ngờ “máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm” là sai

Chú ý: Hoàn toàn tương tự cho các phép kiểm định trung bình một phía, ta có

thể tóm tắt bởi bảng sau:

Giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Kết luận

Ví dụ2 : Trong một nhà máy sản xuất bánh kẹo, một máy tự động sản xuất ra các

thanh socola với trọng lượng quy định là 250g Biết rằng trọng lượng các thanh socola được sản xuất có phân bố chuẩn N(µ,52) Trong một ngày bộ phận kiểm tra

kĩ thuật chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 thanh socola và tính trọng lượng trung bình của chúng được 244kg.Có thể khằng định máy tự động sản xuất ra các thanh socola có trọng lượng nhỏ hơn quy định hay không? (với mức ý nghĩa  0, 05)

Lời giải :

Gọi  là trọng lượng quy định của các thanh socola

Từ giả thiết và câu hỏi ta có bài toán kiểm định :

(với  5, n  , 16 X 244,  0 250)

Ta thấy: U   x,nên chấp nhận giả thiết H1, bác bỏ giả thiết H0

Vậy máy tự động sản xuất socola có trọng lượng nhỏ hơn quy định  phải điều chỉnh lại máy

Trường hợp 2: Chưa biết phương sai σ2 và n ≥ 30

Giả sử X ~ N(µ, σ2) (X1,X2,….Xn) là mẫu độc lập của X

Khi đó giá trị thống kê: ( với mức ý nghĩa)

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

+) Nếu U x 2 thì chấp nhận giả thiết H 0 , bác bỏ giả thiết H 1

+) Nếu U  x 2 thì chấp nhận giả thiết H 1 , bác bỏ giả thiết H 0.

Ví dụ: Lượng nước sạch (tính theo m3) một gia đình 4 người ở Hà Nội sử dụngtrong 6 tháng năm ngoái là 17m3

.Theo dõi lượng nước sạch sử dụng trong 6 tháng năm nay của 60 gia đình 4 người thu được số liệu sau:

Lượng nước sạch X(m3) 15 - 16 16 - 17 17 - 18 18 - 19 19 – 20

Giả sử lượng nước sạch tiêu thụ của các hộ gia đình là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Có ý kiến cho rằng lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên Sử dụng bảng số liệu trên, hãy kiểm định ý kiến đó với mức ý nghĩa 2,5%

Lời giải: Theo bài ra, ta có bảng rút gọn sau:

i i i

Vậy lượng nước sạch tiêu thụ của các hộ gia đình ở Hà Nội tăng lên so với năm ngoái.

Chú ý: Hoàn toàn tương tự cho các phép kiểm định trung bình một phía, ta có thể

tóm tắt bởi bảng sau:

Giả sử X ~ N(µ, σ2) (X1,X2,….Xn) là mẫu độc lập của X

Khi đó giá trị thống kê: (với mức ý nghĩa)

Giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Kết luận

Chú ý: Hoàn toàn tương tự cho các phép kiểm định trung bình một phía, ta có thểtóm tắt bởi bảng sau:

Ví dụ:Phòng kĩ thuật của một công ty theo dõi mức xăng tiêu hao cho cùng một

loại xe chạy từ A đến B và có bảng số liệu sau:

Mức xăng tiêu hao X (lít) 8,5 9 11 12,5

Số chuyến tương ứng ni 5 8 10 2 Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận mức xăng tiêu hao trung bình thấp hơn 11l không? Biết mức xăng tiêu hao X tuân theo quy luật chuẩn

k

i i i

n

U t

 Chấp nhận H0, bác bỏ H1 1

4.2 Kiểm định giả thiết về xác suất (hoặc tỷ lệ)

Giả sử tổng thể gồm hai loại phần tử, có tính chất A và không có tính chất A,

trong đó tỷ lệ phần tử có tính chất A là pchưa biết Mặc dù tỷ lệ phần tử mang

tính chất A là p chưa biết,song có cơ sở giả thiết cho rằng giá trị của nó bằng p0

Cần kiểm định giả thiết:

H0 : p p0( p0cho trước, p 0 0;1 )

H1 : p p0

Từ mẫu (X1, X2 ,…, Xn) ta có tỷ lệ quan sát được là:

n A( )

f n



Trong đó: - n là cỡ mẫu

- ( )n A là số phần tử mang tính chất A trong mẫu.

Khi đó giá trị thống kê: ( với mức ý nghĩa )

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

+) Nếu K  x 2thì chấp nhận giả thiết H 0 , bác bỏ giả thiết H 1

+) Nếu K  x 2 thì chấp nhận giả thiết H 1 , bác bỏ giả thiết H 0

Chú ý: Hoàn toàn tương tự cho các phép kiểm định xác suất một phía, ta có thể

Ví dụ: Kiểm tra năng lực Tiếng anh của 100 sinh viên thì thấy có 14 sinh viên

không đạt chuẩn Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định các ý kiến sau:

a.Tỉ lệ sinh viên đạt chuẩn Tiểng Anh là 0,9

b.Tỉ lệ sinh viên đạt chuẩn Tiếng Anh lớn hơn 0,9

c.Tỉ lệ sinh viên đạt chuẩn Tiếng anh nhỏ hơn 0,9

Lời giải:

Gọi plà tỷ lệ sinh viên đạt chuẩn Tiếng anh.

a Từ giả thiết và câu hỏi ta có bài toán kiểm định:

 K x 2 1,96  Chấp nhận giả thiết H0, bác bỏ giả thiết H1

Vậy ý kiến “ Tỷ lệ sinh viên đạt chuẩn Tiếng anh là 0,9” là ý kiến đúng

b Từ giả thiết và câu hỏi ta có bài toán kiểm định:

H0 : p 0,9 (mức ý nghĩa  0,05)

H1 : p 0,9

K 1,333  x 1,65  Chấp nhận giả thiết H0, bác bỏ giả thiết H1

Vậy ý kiến “Tỉ lệ sinh viên đạt chuẩn tiếng anh nhỏ hơn 0,9” là sai

c Từ giả thiết và câu hỏi ta có bài toán kiểm định:

H0 : p 0,9 (mức ý nghĩa   0, 05)

H1 : p 0,9

K 1,333 x 1,65  Chấp nhận giả thiết H0, bác bỏ giả thiết H1

Vậy ý kiến “Tỉ lệ sinh viên đạt chuẩn tiếng anh lớn hơn 0,9” là sai

4.3 Kiểm định giả thiết về phương sai.

Giả sử trong tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X N , 2

Ta có bài toán kiểm định: H0: 2 2

Khi đó giá trị thống kê: (với mức ý nghĩa )

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

Ví dụ: Để thỏa mãn tiêu chuẩn đã được ấn định trong hợp đồng thì phương sai của

Giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Kết luận

hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng hóa chất không được vượt quá 4% Lấy ngẫunhiên 20 lô hàng ta có phương sai của hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng mẫu là5,62%.Với mức ý nghĩa   10%, thì hãy xét xem hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng hóa chất có thỏa mãn tiêu chuẩn đã được ấn định trong hợp đồng hay không? (Giả sử tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn).

Lời giải:

Gọi 2 phương sai của hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng hóa chất

Từ giả thiết và câu hỏi ta có bài toán kiểm định:

26,74

      Chấp nhận giả thiết H0, bác bỏ giả thiết H1

Vậy với mức ý nghĩa   10% thì hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng hóa chất thỏa mãn tiêu chuẩn đã được ấn định trong hợp đồng

5 Kiểm định so sánh hai tham số.

5.1 Kiểm định so sánh hai giá trị trung bình.

Cho đại lượng ngẫu nhiên X có mẫu:

(với cỡ mẫu n = n1 + n2 +….+nk phương sai có hiệu chỉnh của mẫu 1 là  * 2

1

Và đại lượng ngẫu nhiên Y có mẫu:

(với cỡ mẫu m = m1 + m2 +….+mk, phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu 2 là * 2

Khi đó giá trị thống kê :

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

+) Nếu U x 2 thì chấp nhận H 0 và bác bỏ H 1

+) Nếu U x 2 thì chấp nhận H 1 và bác bỏ H 2

phía, ta có thể tóm tắt bởi bảng sau:

Trường hợp 2: Chưa biết σ1 2 và σ 2 2 ; n ≥ 30 và m ≥ 30.

Khi đó giá trị thống kê:

Ta có tiêu chuẩn kiểm định:

+) Nếu U  x 2 thì chấp nhận H 0 và bác bỏ H 1

+) Nếu U x 2 thì chấp nhận H 1 và bác bỏ H 2

một phía, ta có thể tóm tắt bởi bảng sau:

Giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Kết luận