Phßng GD - §T KiÕn X¬ng
Trêng THCS Hång TiÕn
===***===
§Ò kh¶o s¸t chÊt lîng häc sinh giái to¸n 9
N¨m häc : 2010 – 2011
( thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1( 5 ®iÓm):Giải các phương trình sau
a) x 1 x+ = 2 −1
b) 3 2−x + x−1 =1
Câu 2 (5 ®iÓm)
a)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh
2x m 2x 1 2m 4 0− − + − = cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:
= + +
≤ + +
3 9 4 1
12
z y x
z y x
C©u 3( 3 ®iÓm)Cho 3 số d¬ng x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy+ yz + zx = 1 TÝnh tæng:
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
C©u 4(6 ®iÓm)
Tõ ®iÓm K n»m ngoµi (0) vÏ 2 tiÕp tuyÕn KA, KC víi (O) ( A,C lµ 2 tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn KBD (B n»m gi÷a K vµ D) Gäi M lµ gi¸o ®iÓm cña AC vµ KO
a.c/m: KA2 = KM.KO
b.c/m tøgi¸c BMOD néi tiÕp
c) Chøng minh MA lµ tia ph©n gi¸c cña ·BMD
d.Gäi F lµ giao ®iÓm cña BM víi (O) c/m: DF //AC
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
n np p 1
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p
§¸p ¸n + BiÓu ®iÓm C©u 1 :
Trang 2a)
2 2
2
x 1 x 1
x x 1 x x 1 0
x 1 x 1
− ≥
⇔ x= − 1hoặc
2
5
1 +
=
x
b) ĐK:x≥ 1;Đặt
−
=
−
=
1
2
3
x v
x u
Khi đó ta có:
=
−
=
=
=
=
=
= +
= +
3 2 0 1 1 0
1
1
2 3
v u v u v u
v u
v u
Trở lại cách đặt ta được:
=
=
1
0
v
u
2 1
1
0 2
3
=
⇔
=
−
=
x
x
2/ ⇔
=
=
0
1
v
u
1 0
1
1 2
3
=
⇔
=
−
=
x x
=
−
=
3
2
v
u
10 3
1
2 2
3
=
⇔
=
−
−
=
x x
C©u 2 :
a)HD: §K : x 1
2
≥ §Æt t = 2x 1 t 0 − ( ≥ ) => − t 2 mt 2m 3 0(*) + − =
§Ó pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× pt(*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt t 1 ; t 2 tho¶ m·n t1 > ≥ t2 0
2
m 6
m 2
3
>
<
≤ <
b) Từ giả thiết ta suy ra 6
4
9 4
1 + + + x+y+z ≤
z y
Mặt khác ta có: 1
4
1 2 4
1
=
≥
x
x
4
4 + y ≥
y ; 3
4
9 + z ≥
z
4
9 4 1
≥ + + + +
z y
Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải có: 6
4
9 4
1 + + + x+y+z =
z y
=
=
=
⇔
=
=
=
6 4 2
4 9 4
1
z y x
z z
y y
x x
C©u 3 HD: Ta cã 1+ x 2 = xy+ yz + zx + x 2 = x(x+y) + z(x+y) = (x + y)(x + z)
T¬ng tù 1 + y 2 = (y + x)(y + z)
Trang 31 + z 2 = (z + x)(z + y)
x y z + + y z x + + z x y + = 2 xy yz xz + + = 2
Câu 4 :
b Ta c/m: BMK KDOã = ã
+.c/m: KA 2 = KB.KD
Mà KA 2 = KM.KO (cmt)
=> KB KO
KM = KD mà ãBKM chung
=> V BKM ~ OKD(c.g.c) V
=> BMK KDOã = ã => tứ giác BMOD nội tiếp
c) tứ giác BMOD nội tiếp
=>Dà1 =Mà 4 ( 2góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau: BO DOằ =ằ )
Mà Dà1 =Mà1 (cmt) => Mà1 = Mà 4
Vì MA là tia phân giác của ãBMD => à 2 1ã
2
= (2)
F$ 1BODã
2
= (gnt và góc ở tâm cùng chắn cung BD) (3)
Từ 1,2,3 => F M$ à = 2 mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Do BMK KDOã = ã => BMA HODã = ã (2) (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
Từ (1) và (2) => BMA BFDã = ã mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Bài 5 (1,0 điểm)
2
1 2
m
n +np+ p = − (1)
⇔ … ⇔ ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (n – p)2 = 2
⇔ (m – p)2 + (n – p)2 = 2 - ( m + n + p )2
⇔ (m – p)2 + (n – p)2 = 2 – B2
vế trỏi khụng õm ⇒ 2 – B2 ≥ 0 ⇒ B2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ ≤B 2
dấu bằng ⇔ m = n = p thay vào (1) ta cú m = n = p = 2
3
±
⇒ Max B = 2 khi m = n = p = 2
3 Min B = − 2 khi m = n = p = 2
3
−
1 4 3 2 1
M
B
O A
K
C
D
F