a Chứng minh ABD ACE.. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a... - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HUYỆN
HẬU LỘC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = 22 9 3 2 4
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 2 5 1 2 2 4 1
b) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0
Câu 3:( 3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 + x +1
b) Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình:
3 2 0,8
và 1 2 5 3
Câu 4 (3 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2
b) Cho x, y thoả mãn xy 1 Chứng minh rằng:
1 2 1 2 2
1 x 1 y 1 xy
Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H a) Chứng minh ABD ACE.
b) Chứng minh BH.HD = CH.HE.
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a.
-Hết -SBD……….Họ tên thí sinh:……….
Chữ ký giám thị:………
Trang 2HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN 8: Thời gian 150 phút
Câu 2
(4.0 điểm)
a/
2
ĐKXĐ:
2
1
;
1
x
1 2
1 5 1
1
1
2
x
x x x
x x
1 2
2 3 1
2
2
x
x x x
x x
1 2 1
x x
2 3 2 3 2 0
1 2 3 2 0 (1)
Giải phương trình (1) x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =
3
2
; 2
;
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,5 0,25
b) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0
(x3 + 1)(x3 – 8) = 0
(x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)
Do x2 – x + 1 = (x – 1
2)
2 + 3
4 > 0
và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x nên (*) (x + 1)(x – 2) = 0
1 2
x x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 1; 2}
0,25 0,25 0,25
0,25 0,5 0,25 0,25
Câu 3
(3.0 điểm)
a) x20 + x +1 = x20-x2+x2+x+1 = x2(x18-1) +(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1]
b) Giải bất phương trình (1): 3 2
0,8
4 8
10 10
x
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 3Giải bất phương trình (2): 1 2 5 3
1
13
x
Vì x là nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) nên ta có
x = 12
0,25 0,25 0,5
Câu 4
( 3,0 điểm) a) Ta có:y22xy 3x 2 0 x22xy y 2 x23x2
(*) (x y )2 (x1)(x2)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y hoặc ( ; ) ( 2; 2)x y
2
0
0
1
0 2
y x xy
Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0
BĐT (2) luôn đúng BĐT (1) luôn đúng (Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5
0,25 0,5 0,25 0,5
Câu 5
( 6,0 điểm)
a)
Góc A chung
A
D E
H
Trang 4 ABD ACE (g-g) b) Xét BHE và CHD có :
BEH CDH
BHE CHD ( đối đỉnh)
BHE CHD (g-g)
BH HE
CH HD
Suy ra BH.HD = CH.HE
c)
Suy ra được DE // BC
DE = AD BC.
AC
Gọi giao điểm của AH và BC là F AF BC, FB = FC =
2
a
DBC FAC DC BC
FC AC
DC
AC
2
a b
DE = AD BC.
(AC DC BC)
AC
=
2
2
a
b b
= (2 2 2 2)
2
b
1,0
1,0
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ
0,5đ
Lưu ý: - Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
A
D E
H F