TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2

TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2 TỔNG ôn HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ tập 2

Contents

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1

ĐỀ SỐ 1 1

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1 4

ĐỀ SỐ 2 16

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 2 19

ĐỀ SỐ 3 28

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 3 31

ĐỀ SỐ 4 40

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 4 43

ĐỀ SỐ 5 51

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 5 54

ĐỀ SỐ 6 64

 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 6 66

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

ĐỀ SỐ 1 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 P : 2x6y z  3 0 cắt trục Oz và đường thẳng : 5 6

y

 

 lần lượt tại A ,

B Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A   2  2 2

C   2  2 2

Câu 2: (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Trong không gian Oxyz , gọi I a b c là tâm mặt cầu đi  ; ; 

qua điểm A1; 1; 4  và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ Tính P  a b c

A P6 B P0 C P3 D P9

Câu 3: (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3,

, m là tham số thực Mặt phẳng   luôn qua  d m Tìm chu vi

đường tròn giao tuyến của mặt cầu  S x: 2y2z24x 2 y2z 3 0  và mặt phẳng

 Q tiếp xúc với mặt cầu  S Viết phương trình của mặt cầu  S

A x2y2z24x2y2z0 B 2 2 2

x y z  x y z  

C x2y2z24x2y2z0 D x2y2z22x y z  0

Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai

điểm A0; 2; 2, B2; 2;0  Gọi I11;1; 1  và I23;1;1 là tâm của hai đường tròn nằm

trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB Biết rằng luôn có một

mặt cầu  S đi qua cả hai đường tròn ấy Tính bán kính R của  S

Câu 11: (Chuyên KHTN - Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;0;0

, B0; 4;0, C0;0;6 Điểm M thay đổi trên mặt phẳng ABC và  N là điểm trên tia

OM sao cho OM ON 12 Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu

M m N  n với ,m n là các số thực dương thỏa mãn mn2 Chứng minh

rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Xác định bán kính của

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên

a b c  

CÂU 4:

Lời giải Chọn A

Gọi R ( B ) là bán kính của mặt cầu cần tìm

d đi qua điểm M(1;0; 2) và có một vectơ chỉ phương là u2;1; 2

Gọi H là hình chiếu của I lên d ta có IH d I d  ; ; 3 2

MI u u

Gọi H là hình chiếu cảu I trên đường thẳng d Ta có  ; . d 3 2

Từ phương trình tham số của  d m , ta có 5x2y2z 3 0 Vậy mặt phẳng

  : 5 x 2y2z 3 0 luôn đi qua  d m với mọi m

Bán kính đường tròn giao tuyến bằng

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và 1 d khi đoạn 2

vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường kính của mặt cầu

Suy ra A1; 2; 3 , B3;0;1 và AB2; 2; 4  Suy ra mặt cầu  S có tâm của là trung

điểm của đoạn AB có tọa độ I2;1; 1  và bán kính 6

Gọi d1 là đường thẳng đi qua I1 và vuông góc với mặt phẳng I AB , khi đó 1  d1chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I ; 1 d2 là đường thẳng đi qua I2 và vuông

góc với mặt phẳng I AB , khi đó 2  d chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm 2 I 2

Do đó, mặt cầu  S đi qua cả hai đường tròn tâm  I và 1  I có tâm I là giao điểm 2của d và 1 d và bán kính R IA2 

Ta có I A1   1;1; 3, I B1 1; 3;1  Đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến là 1

t s

CÂU 10:

Lời giải Chọn B

 d đi qua điểm 1 A1;1;1 có VTCP u12;1; 2 

 d đi qua điểm 2 B3; 1; 2  có VTCP u2 1; 2; 2

 d đi qua điểm 3 C4; 4;1 có VTCP u32; 2;1 

 ,  d , 2  d đôi một chéo nhau 3

Lại có: AB2; 2;1 ; AB u 10 và AB u 2 0 nên  d , 1  d , 2  d chứa 3 3 cạnh của

Vì mặt cầu tâm I a b c tiếp xúc với  ; ;  3 đường thẳng  d , 1  d , 2  d nên bán kính 3

1

,

AI u R

2

,

BI u u

3

,

CI u u

1 2 2

2 2 2

Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM ON 12 suy ra

2

12

Trước hết, ta xác định điểm I thỏa mãn IA IB 2IC0 Gọi D là trung điểm AB ,

2 2

Cách 1: Giả sử tâm mặt cầu cần tìm là I a b c Xét  ; ;    2

Ta thấy rằng nếu a b c  0 thì d I MN ; 1 là giá trị không đổi

Cách 2: Xét hệ trục tọa độ Oxyz với các điểm M, N trong hệ tọa độ đó như hình vẽ

bên Ta lần lượt gọi các điểm A1;0;0 , B 1;0;0

Từ hệ tọa độ, ta thấy rằng AM và BN là các đường thẳng chéo nhau có đoạn vuông

góc chung là AB

Vấn đề mấu chốt là khai thác dữ kiện mn2

Vậy tâm O có khoảng cách tới MN bằng 1

(Bài toán của tác giả Đoàn Trí Dũng)

CÂU 14:

Lời giải Chọn C

Gọi tọa độ điểm M x y z Khi đó  ; ;  2 2

Gọi J là trung điểm AB J2;0; 1 

Tam giác ABO vuông tại O nên J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Gọi I là tâm mặt cầu  S ,  S qua các điểm , , A B O

Ta có đường thẳng IJ qua J và có một VTCP là j0;1; 0 nên có PTTS

21

B

N M

H

Dấu bằng xảy ra khi b0

Vậy I2;0; 1 

-

ĐỀ SỐ 2 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (THTT - Số 484 - Tháng 10) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm

1; 2; 4

A  , B1; 3;1 , C2; 2; 3 Tính đường kính l của mặt cầu  S đi qua ba điểm

trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy 

A l2 13 B l2 41 C l2 26 D l2 11

Câu 2: [TT Hiếu Học Minh Châu] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

 S đi qua điểm A2; 2; 5 và tiếp xúc với các mặt phẳng   :x1,   : y 1,

 Gọi  P là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường

thẳng ;  S là mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng  P sao cho mặt cầu  S có

bán kính lớn nhất Tính bán kính R của mặt cầu  S

A R5 B R3 2 C R2 5 D R2 3

Câu 4: (THPT CHUYÊN KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

5;0;0

A và B3; 4;0 Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam

giác ABC Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định Bán

Câu 5 (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết

phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1;1; 2, đồng thởi cắt 3 trục tọa độ lần

lượt tại các điểm A B C, , sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Câu 6: [MINH HỌA L2 - 2017]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz xét các điểm , A0;0;1,

A , điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy và  MO Gọi D là hình chiếu vuông

góc của O lên AM và E là trung điểm của OM Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc

với một mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu đó

Câu 9: (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện

ABCD có tọa độ đỉnh A2; 0; 0, B0; 4; 0, C0; 0; 6, A2; 4; 6 Gọi  S là mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu  S có tâm trùng với tâm

của mặt cầu  S và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu  S

Câu 10 (Sở GD Bạc Liêu - HKII) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho m, n là hai số

thực dương thỏa mãn m2n1 Gọi A , B , C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng

 P mx ny mnz mn:    0 với các trục tọa độ Ox , Oy , Oz Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất thì 2m n có giá trị bằng

Câu 11: (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5) Trong không gian Oxyz , cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng

  đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng  

   Viết phương trình mặt cầu

tiếp xúc với cả d d và có tâm thuộc đường thẳng 1, 2 ?

Câu 13: Cho điểm A2; 5;1 và mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z24 0 , H là hình chiếu vuông góc

của A trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

Câu 15: (THPT Kim Liên-Hà Nội) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M2; 2;1

  Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam

giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng  Oxz

Gọi tâm mặt cầu là : I x y ; ; 0

Gọi là tâm mặt cầu

Gọi H là hình chiếu của I lên 

Ta có C0;0;c Dễ thấy tam giác  ABC cân tại C Gọi E4; 2;0 là trung điểm của

x y

K

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

Gọi I1;1;0 là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng ( Oxy)

Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC là: ) x y z 1

Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp

xúc với (ABC) và đi qua D Khi đó R1

CÂU 7:

Lời giải Chọn A

Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O

Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định)

Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là

đường trung tuyến nên 1  

2 12

Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM

nên IE song song với AM mà ODAMODIE

Mặt khác tam giác EOD cân tại E Từ đó suy ra

IE là đường trung trực của OD

Nên DOE ODE IOD ; IDOIDE IOE 90 IDDE  2

Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính 2

Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u12;1; 3, u21; 2; 3

Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với A d 1, B d 2

Suy ra: A 1 2 ; 1a    a; 1 3a; B2b b; 2 ;9 3 b

Khi đó: AB      2a b 3; a 2b  1; 3a 3b10

Vì AB là đoạn vuông góc chung của d và 1 d nên: 2

1 2

a b

E I

O

Gọi I là tâm mặt cầu  S có đường kính là AB Suy ra 8 1; ;7

Gọi phương trình mặt cầu  S có dạng: x2y2z22ax2by2cz d 0

Vì  S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có:

a b c d

Do A , B , C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  P với các trục tọa độ Ox , Oy ,

Oz nên A n ;0;0; B0; ;0m ; C0;0;1 khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Ta có H là trực tâm tam giác ABC OHABC

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng ABC có bán kính  R OH 3

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   là  S x: 2y2z2 9

CÂU 12:

Lời giải Chọn A

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M11;1;0 và có véc tơ chỉ phương u d 0; 0;1

y

x

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M22;0;1 và có véc tơ chỉ phương u d2 0;1;1

Gọi I là tâm của mặt cầu Vì I nên ta tham số hóa I1t t; ;1t, từ đó

IM  t   t t IM    t t t Theo giả thiết ta có d I d   ; 1 d I d; 2 , tương đương với

 Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  P Suy ra

 Gọi I R, lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784, suy ra 2

4R 784  R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H nên IH( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ; 5 3 ;1 2 t  t  t, với t 1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

 Vậy phương trình mặt cầu   2  2 2

( ) :S x8  y8  z1 196

CÂU 14:

Lời giải Chọn A

 1

2:1

; 2 đi qua điểm (2;0; 3)A  và có vectơ chỉ phương a2 (1;1; 4)

 Giả sử I(2t t; ;1 t) 1 là tâm và R là bán kính của mặt cầu  S

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có

85.0 4.2 3.

30

3 4 5

45.0 4.2 3

3

3 4 5

85.0 4.2 3

31

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oxz

nên mặt cầu có bán kính R d I Oxz  ,  1

Vậy phương trình mặt cầu là: 2   2 2

2 Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu

   S1 , S2 đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C D,

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A2;11; 5  và mặt phẳng

   2   2 

P mx m  y m  z  Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu

cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi qua A Tìm tổng bán kính của hai mặt

cầu đó

A 2 2 B 5 2 C 7 2 D 12 2

Câu 3: (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt

cầu  S có tâm I0; 2;1  và mặt phẳng  P x: 2y2z 3 0 Biết mặt phẳng  P cắt

mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2 Viết phương trình mặt cầu  S

Câu 4: (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt

cầu  S có tâm I1;1; 3 và mặt phẳng  P : 2x3y6z11 0 Biết mặt phẳng  P

cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3 Viết phương trình của mặt cầu  S

Câu 5 (CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC TÂN HỒNG PHONG) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2

Câu 6 [THPT chuyên Biên Hòa] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các mặt

phẳng  P x y:  2z 1 0 và  Q : 2x y z   1 0 Gọi  S là mặt cầu có tâm thuộc

trục hoành đồng thời  S cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là một đường tròn có bán

kính bằng 2 và  S cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

r Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu  S thoả yêu cầu?

Câu 7 [TT Hiếu Học Minh Châu] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu

có tâm thuộc đường thẳng Biết rằng mặt cầu có bán kính bằng và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có bán kính bằng Tìm tọa

A

Câu 8 [TT Tân Hồng Phong] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

 S x: 2y2z21 và mặt phẳng  P x: 2y2z 1 0 Gọi  C là đường tròn giao

tuyến của  P và  S Mặt cầu chứa đường tròn  C và qua điểm A1; 1; 1 có tâm là

Câu 11 [THPT Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình] Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng

 P x y z:    6 0;  Q : 2x3y2z 1 0 Gọi  S là mặt cầu có tâm thuộc  Q và

cắt  P theo giao tuyến là đường tròn tâm E1; 2; 3, bán kính r8 Phương trình mặt cầu  S là

Câu 12: [THPT Chuyên KHTN] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 2 

và mặt phẳng  P : 2x2y z  5 0 Viết phương trình mặt cầu  S tâm A biết mặt

phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8 

   Phương trình mặt cầu tâm A , cắt

 tại hai điểm B và C sao cho BC8 là ?

Câu 14: (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho điểm A 2; 4; 5 Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu

tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác ABC vuông

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A B, sao cho tam giác IAB vuông là:

Gọi I a b c r lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu Do mặt cầu tiếp xúc với  ; ; ,  P

nên ta có

Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với  P nên yêu cầu bài toán trờ thành

tìm điều kiện a b c, , sao cho  1 không phụ thuộc vào m Do đó  1 luôn đúng với

mọi

2 00

2 10 0

b c r a

5

b r a c

TH2: b c r  2m22ma b c r   2 10 0  làm tương tự TH1 (trường hợp này

không thỏa đề bài )

Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P và

cùng đi qua A và có tổng bán kính là: 12 2 suy ra

Gọi  S là mặt cầu chứa đường tròn  C và qua điểm A1; 1; 1 Phương trình mặt

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng lần lượt là bán kính mặt cầu

và bán kính đường tròn giao tuyến Theo bài ta có

CÂU 8:

Lời giải Chọn C

2

5 1

t t

Gọi M x M; y M; z M thuộc đường tròn giao tuyến  f x M; y M; z M0

S a b c  

CÂU 9:

Lời giải Chọn C

Gọi I1  t; 3 2 ; 3t  t d là tâm của mặt cầu

Chu vi 2 2r2  r 1