TONG ON HINH HOC KHONG GIAN

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1)G(1;1), đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x−y+1=02x−y+1=0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ:x+2y−1=0Δ:x+2y−1=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C biết diện tích tam giác ABC bằng 6Lời giải.....................

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

N

C

S

G

M

E K

Bài 1 Cho hình chĩp S ABC. cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại C, cạnh huyền bằng 3a Hình chiếu vuơng gĩc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và 14

2

a

SB  Tính theo a thể tích khối chĩp S ABC. và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC

Lời giải

Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB AC,

Suy ra GCMBN là trọng tâm tam giác ABC

Theo giả thiết, ta cĩ SGABC

Tam giác ABC vuơng cân tại C, suy ra 3

CACB  và CM AB

a

CM  AB , suy ra 1

a

GM  CM  ;

2

a

SG SB GB a

Diện tích tam giác vuơng ABC là

2

.

ABC

a

S  CA CB

Thể tích khối chĩp S ABC. là

3

.

a

V  S SG (đvtt)

Ta cĩ d B SAC , 3d G SAC , 

Kẻ GEAC E AC

Gọi K là hình chiếu của G trên SE,

suy ra GK SE  1

Ta cĩ GE AC AC SGE

AC SG

 

 

suy ra ACGK  2

Từ  1 và  2 , suy ra GK SAC nên d G SAC ,   GK

Do GEAC suy ra GEBC Ta cĩ 1

3

BC NB  suy ra

BC a

Trong tam giác vuơng SGE, ta cĩ 2. 2

3

GK

SG GE

Vậy d B SAC , 3d G SAC , 3GK a 3

Bài 2 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A B, A D Tính thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCN

Lời giải

Tam giác SAB đều và cĩ M là trung điểm A B nên SMAB

Mà SAB  ABCD theo giao tuyến A B nên SM ABCD

Do SM là đường cao trong tam giác đều SAB cạnh a nên

3

2

a

SM 

Diện tích hình vuơng ABCD cạnh a là 2

ABCD

S a Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

(đvtt)

K

N

M

E

C B

A S

D

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

Ta cĩ AMD DNC suy ra AMD DNC

ADM DCN

 



90

AMDADM  suy ra   0

90

DN CADM  hay CNDM Gọi EDMCN Kẻ MK SE KSE  1

Ta cĩ CN DM CN SMD CN MK

CN SM

 

 

Từ  1 và  2 , suy ra MKSCN nên d M SCN ,   MK

2

a

5

DC DN a DE

DC DN

10

a

MEDMDE

Trong tam giác vuơng SME, ta cĩ

8

MK

SM ME

8

a

d M SCN   MK

Bài 3 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với BCa, cạnh bên SA 2a Hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt đáy trùng với tâm của đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy một gĩc bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SAD

Lời giải

Gọi OACBD Theo giả thiết ta cĩ SOABCD

Gọi M là trung điểm BC, suy ra OM BC

Ta cĩ BC OM BC SOM BC SM

BC SO

 

 

0

60  SBC , ABCD SM OM, SMO Tam giác SAC cĩ SO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại S

Suy ra SCSA 2a

Trong tam giác vuơng SMC, ta cĩ 2 2 15

2

a

SM SC MC 

Trong tam giác vuơng SOM, ta cĩ sin 3 5

4

a

SOSM SMO ;

cos

4

a

2

a

AB OM

Diện tích hình chữ nhật ABCD là

2

15

2

ABCD

a

S AB BC

Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

S

A

B

C

M

N

K

Ta cĩ d BC SAD , d M SAD , 2d O SAD , 

Kéo dài MO cắt A D tại N , suy ra ON AD

Kẻ OK SE KSE  1

Ta cĩ AD ON AD SON AD OK

AD SO

 

 

Từ  1 và  2 , suy ra OK SAD nên d O SAD ,   OK

Trong tam giác vuơng SON , ta cĩ

8

OK

4

a

d BC SAD  d O SAD  OK

Bài 4 Cho hình chĩp S ABC. cĩ đáy ABC là tam giác vuơng với ABBCa, cạnh bên SA 2a và vuơng gĩc với đáy Gọi M là trung điểm AC Tính theo a thể tích khối chĩp S ABC. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC

Lời giải

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuơng cân tại B

Diện tích tam giác vuơng ABC là 1 . 2

ABC

a

S  AB BC

Thể tích khối chĩp S ABC. là

3

1

a

V  S SA (đvtt)

Gọi N là trung điểm A B, suy ra BCMN nên BCSMN

Do đĩ d BC SM , d BC SMN , d B SMN , d A SMN , 

Vì BC MN mà BCAB nên MNAB

Kẻ AKSN K SN  1

Ta cĩ MN AB MN SAB

MN SA

 

suy ra MN AK  2

Từ  1 và  2 , suy ra AKSMN nên

,

d A SMN   AK

Trong tam giác vuơng SAN, ta cĩ

17

SA A N a AK

SA AN

17

a

d BC SM d A SMN AK

K

N

S

M

O D C

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

Bài 5 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

Lời giải

Gọi H là trung điểm A D, suy ra SH AD

Mà SAD  ABCD theo giao tuyến A D nên SH ABCD

Ta cĩ SH là đường cao trong tam giác đều SAD cạnh a nên 3

2

a

SH  Diện tích hình vuơng ABCD là 2

ABCD

S a Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

V  S SH (đvtt)

Kẻ AxBD Khi đĩ d BD SA , d BD SAx , d D SAx , 2d H SAx , 

Kẻ HEAx EAx

Gọi K là hình chiếu của H trên SE, suy ra HK SE  1

Ta cĩ HE Ax Ax SHE Ax HK

Ax SH

 

 

Từ  1 và  2 , suy ra HK SAx nên d H SAx ,   HK

Gọi F là hình chiếu của H trên BD Ta cĩ 2

AO a

HEHF 

Trong tam giác vuơng SHE, ta cĩ

14

SH HE a HK

SH HE

7

a

d BD SA  d H SAx  HK 

Bài 6 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a Gọi M , N lần lượt là trung điểm A D và DC Hai mặt phẳng SMC và SNB cùng vuơng gĩc với đáy, SB hợp với đáy một gĩc bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng CM

và SB

Lời giải

Gọi H CMBN Ta cĩ SMC  SNBSH

Mà SMC và SNB vuơng gĩc với ABCD nên SHABCD

Do đĩ hình chiếu vuơng gĩc của SB trên ABCD là HB nên

0

60 SB ABCD, SB HB, SBH

Ta cĩ CMD BNC c c c, suy ra CMDBN C

90

90

BN CDCM  Suy ra CM BN

x

E

C D

S

K

O

H

F

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

A

D

B

S

M

N

K

H C

Trong  vuơng BCN, ta cĩ 2 2

5

BN BC NC a , suy ra

2

4 5

BH BN

Trong tam giác vuơng SHB, ta cĩ tan 4 3

5

a

SHBH SBH  Diện tích hình vuơng ABCD là 2

4

ABCD

S  a Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

Gọi K là hình chiếu của H trên SB,

suy ra HKSB  1

Ta cĩ MC BN MC SHB

MC SH

 

suy ra MCHK  2

Từ  1 và  2 , suy ra HK là đoạn vuơng gĩc chung

của CM và SB nên d CM SB, HK

Trong tam giác vuơng SHB, ta cĩ

5

HK

SH HB

5

a

d CM SB HK

Bài 7. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a, BC 2a Hình chiếu vuơng gĩc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác BCD, gĩc giữa mặt phẳng SBC và đáy ABCD bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng A D và SC

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Theo giả thiết SGABCD

Kẻ GI BC I BC Ta cĩ BC SG BC SGI BC SI

BC GI

 

 

0

60  SBC , ABCD SI GI, SIG Trong tam giác ABC, ta cĩ 1

3

GI CG

ABCA  suy ra 1

3

GI ABa Trong tam giác vuơng SGI, ta cĩ SGGI tanSIGa 3

Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2

ABCD

S AB BC a Thể tích khối chĩp S ABCD. là 3

.

1

3

V  S SG a (đvtt)

Ta cĩ d AD SC,  d AD SBC,  d A SBC,  AC.d G SBC,  3d G SBC, 

GC

Gọi K là hình chiếu của G trên SI, suy ra GKSI  1

C D

S

G

K

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

I S

D

M A

H

Theo chứng minh trên BCSGI, suy ra BCGK  2

Từ  1 và  2 , suy ra GK SBC nên d G SBC ,   GK

Trong tam giác vuơng SGI, ta cĩ

2

SG GI a GK

SG GI

2

a

d AD SC  d G SBC  GK

Bài 8 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, ABBCa, AD 2a

Cạnh bên SAa 2 và vuơng gĩc với đáy Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB

Lời giải

Diện tích hình thang ABCD là 1  3 2

ABCD

a

S  ADBC AB

Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

V  S SA (đvtt)

Gọi M là trung điểm A D, suy ra MAMD a BC

Suy ra BCDM là hình bình hành; ABCM là hình vuơng

Gọi IACBM , do ABCM là hình vuơng nên AIBM và 2

AC a

Do BCDM là hình bình hành nên BM CD suy ra CDSBM

Ta cĩ d CD SB , d CD SBM , d C SBM , d A SBM , 

Gọi H là hình chiếu của A trên SI,

suy ra AHSI  1

Ta cĩ AI BM BM SAI

BM SA

 

 

suy ra BM AH  2

Từ  1 và  2 , suy ra AHSBM nên

,

d A SBM   AH

Trong tam giác vuơng SAI, ta cĩ

5

SA AI a AH

SA AI

5

d CD SB  d A SBM   AHa

Bài 9 Cho hình chĩp S ABC. cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB 2a, BC 2a 3; cạnh bên

3

2

a

SA  và vuơng gĩc với đáy Gọi M là trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chĩp S ABC.

và sin của gĩc giữa hai mặt phẳng SMC, ABC

Lời giải

Diện tích tam giác vuơng ABC là 1 2

2

ABC

S  AB BC a

Thể tích khối chĩp S ABC. là 3

.

1 3

V  S SAa (đvtt)

Trong tam giác AMC, kẻ đường cao A K KMC,

suy ra AKMC  1

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

M

C

B

A S

K

I E

Q P

S

C

B

A

Ta cĩ MC AK MC SAK

MC SA



    

suy ra MCSK  2

Từ  1 và  2 , suy ra SMC , ABCSK AK, SKA

Ta cĩ MKA∽ MBC nên MA MC

2

MA BC a KA

MC

Trong tam giác vuơng SAK, ta cĩ sin 2 2 2

2

SKA

SK SA AK

Vậy SMC hợp với ABC một gĩc  thỏa mãn sin 2

2

 

Bài 10 Cho hình chĩp S ABC. cĩ đáy ABC là tam giác cân ABACa,  0

120

BAC  ; cạnh bên

SAa và vuơng gĩc với đáy Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB và AC Tính theo a thể tích khối chĩp S ABC. và gĩc giữa hai đường thẳng A P, BQ

Lời giải

2

sin

ABC

a

S  AB AC BAC

Thể tích khối chĩp S ABC. là

3

.

a

V  S SA (đvtt)

Trong mặt phẳng ABC dựng hình bình hành AQBE, suy ra

AEBQ

Do đĩ AP BQ, AP AE,

a

AP SB ;

2 cos120

2

a

AEBQ AB AQ  AB AQ 

Gọi I là trung điểm A B, suy ra 1

a

PI SA ;

EP EI PI a Theo định lí hàm số cơsin trong tam giác A PE, ta cĩ

AP AE EP PAE

AP AE

Vậy hai đường thẳng A P và BQ hợp với nhau gĩc  thỏa mãn cos 5

2 14

 

Bài 11 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh bằng a, SO vuơng gĩc với đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA và BC Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và gĩc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng ABCD, biết 10

2

a

Lời giải

Kẻ MKSO, do SOABCD, suy ra MK ABCD với KAO

Khi đĩ NK là hình chiếu vuơng gĩc của MN trên mặt phẳng ABCD Do đĩ

MN ABCD MN NK MNK

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

O

K

N M

B A

S

N

M O

F

E

S

A

D

H

Xét tam giác SAO, ta cĩ M là trung điểm SA và MKSO Suy ra MK là đường trung bình của tam giác SAO nên K là trung điểm AO Suy ra 3 3 2

a

CK CA

Xét tam giác CNK, ta cĩ

0

cos 45

KN

CN CK

Trong tam giác vuơng MNK, ta cĩ

4

a

2

a

SO MK ;



2

NK MNK

MN

  , suy ra  0

60

MN K  Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

(đvtt)

Vậy đường thẳng MN hợp với mặt đáy ABCD một gĩc 0

60

Bài 12 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, a 3 Hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng SAC tạo với đáy một gĩc 0

60 Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC Tính thể tích khối chĩp .

S ABCD và gĩc giữa đường thẳng MN với mặt đáy ABCD

Lời giải

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết ta cĩ SH ABCD

Gọi F là hình chiếu của H lên AC, suy ra HFAC

Ta cĩ AC HF AC SHF AC SF

AC SH

 

 

60  SAC , ABCD SF HF, SFH

Trong tam giác vuơng ABC, kẻ BEAC EAC suy ra

2

AB BC a BE

AB BC

a

HF BE

Trong tam giác SHF , ta cĩ tan

2

a

SH HF SFH  Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2

ABCD

S AB ADa Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

V  S SH (đvtt)

Ta cĩ MN là đường trung bình của tam giác SBC nên

MNSB Do đĩ

MN ABCD SB ABCD

Do SH ABCD nên hình chiếu vuơng gĩc của SB trên mặt đáy ABCD là HB

Vì vậy MN,ABCDSB ABCD, SB HB, SBH

2

BD AB AD  a; 2

Trong tam giác SHB, ta cĩ tan 3

4

SH SBH BH

 

Vậy đường thẳng MN tạo với mặt đáy ABCD một gĩc  thỏa mãn tan 3

4

 

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

S

H

I

x

M

N

B

x

I

O

H

D

C B

A S

Bài 13 Cho hình chĩp S ABC. cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SAa 2 và vuơng gĩc với đáy Tính theo a thể tích khối chĩp S ABC. và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABC.

Lời giải

Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là

2

3 4

ABC

a

S 

Thể tích khối chĩp S ABC. là

3

.

a

V  S SA (đvtt)

Gọi M là trung điểm BC; H là tâm của tam giác đều ABC

Kẻ Hx vuơng gĩc với mặt phẳng ABC

Khi đĩ Hx là trục của đường trịn ngoại tiếp

tam giác ABC và Hx SA

Trong mặt phẳng SA Hx, , kẻ đường trung

trực  của đoạn SA

Gọi I Hx Ta cĩ

● IHx nên IAIBIC  1

● I   nên IAIS  2

Từ  1 và  2 , suy ra IAIBICIS nên I là

tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABC.

a

a

IHNA SA

6

a

RIA AH IH 

Bài 14 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm A B, suy ra SH AB

Mà SAB vuơng gĩc với đáy ABCD theo giao tuyến A B nên SH ABCD

Ta cĩ SH là đường cao trong tam giác đều SAB cạnh a nên 3

2

a

SH  Diện tích hình vuơng ABCD cạnh a là 2

ABCD

S a Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

V  S SH (đvtt)

Gọi OACBD, do ABCD là hình vuơng nên O là tâm đường

trịn ngoại tiếp

Kẻ OxABCD, suy ra Ox là trục của đường trịn ngoại tiếp

hình vuơng ABCD và Ox SH

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, do tam giác SAB đều nên G

cũng là tâm đường trịn ngoại tiếp

Trong mặt phẳng SH Ox, , kẻ GyHO  1

Ta cĩ OH AB OH SAB

OH SH

 

 

Từ  1 và  2 , suy ra Gy là trục của đường trịn

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2016

x

M

I

E

F

J

D

C B

A S

ngoại tiếp tam giác SAB

Gọi IGyOx Ta cĩ

● IOx nên IAIBICID  3

● IGy nên IAIBI S  4

Từ  3 và  4 , suy ra IAIBICI DI S nên

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABCD.

Bán kính mặt cầu

2

RIB         

Bài 15 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a, cạnh bên SA 2a và vuơng gĩc với đáy Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABE.

Lời giải

Diện tích hình vuơng ABCD cạnh a là 2

ABCD

S a Thể tích khối chĩp S ABCD. là

3

.

a

V  S SH (đvtt)

Gọi J là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác A EB

Kẻ JxABCD, suy ra Jx là trục của đường

trịn ngoại tiếp tam giác AEB và Jx SA

Trong mặt phẳng SA Jx, , kẻ đường trung trực 

của đoạn SA Gọi I  Jx Ta cĩ

● IJx nên IAIBIE  1

● I   nên IAIS  2

Từ  1 và  2 , suy ra IAIBIEIS nên I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S ABE.

AJ I

RIA  J

●

2

SA

IJ a

ABE

AB AE BE

AJ

AE BE a AJ

AD

Vậy

2

5

8 8

a a

a

R        

Bài 16 Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh ABa, AD 2a Tam giác

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Cạnh bên SA hợp với đáy một gĩc

0

30 Gọi H là trung điểm A B Tính theo a thể tích khối chĩp S ABCD. và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S AHC.

Lời giải

Ta cĩ H là trung điểm A B, tam giác SAB cân tại S Suy ra SH AB

Mà SAB vuơng gĩc với đáy ABCD theo giao tuyến A B nên SH ABCD

Hình chiếu vuơng gĩc của SA trên mặt đáy ABCD là HA nên

0

30 SA ABCD, SA HA, SAH Trong tam giác SAH , ta cĩ tan 3

6

a

SHHA SAH  Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2

ABCD

S AB AD a