MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU 1... Đưa về phương trình bậc cao giải được 2 3.. Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng 0 ; 1... Phương trình này không có nghiệm
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU
1 Phân tích hoặc nhóm các phân thức:
a) Ví dụ 1 : Giải phương trình
2 4
3 70 17
1 28
11
1 4
5
1
2 2
2
x
Lời giải: ĐK: x
2
1
; 1
; 4
; 7
;
Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với
1 .1 4 4 1. 7 7 .1 10 4 3 2
x
3
1 7
1 4
1 3
1 4
1 1
1
.
3
1
x x
x x
x x
x
. 11 110 4 3 2
3
1
x x
x
Đối chiếu với ĐK ta có phương trình đã ch có nghiệm duy nhất x = -3
b) Ví dụ 2 : Giải phương trình
4
4 3
3 2
2 1
1
x
x x
x x
x x x
Lời giải: ĐK: x 3 ; 2 ; 1 ; 4
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với:
4
8 1 3
6 1 2
4 1 1
2
x x
x x
3
3 2
2 4
4 1
1
x x x
x
0
3 2
12 5 4
1
8 5
x x
x x
x
x
5x 8 .x 2 .x 3 5x 12 .x 1 .x 4 0
5
16
2
x x
5
69 1 2
1
5
69 1 2
1
x
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm:
5
69 1 2
1
5
69 1 2
1
c) Ví dụ 3 : Giải phương trình:
Trang 2Lời giải: ĐK: .
2011
5
; 2010
4
; 2009
2
; 2008
1
x
Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với:
4 2010
1 2
2009
1 5
2011
1 1
2008
1
x
2009 2 2010 4
6 4019 5
2011 1
2008
6 4019
x x
x x
x
x
0 6
4019
x hoặc 2008 1 1.2011 5 2009 2 1.2010 4
x
0 6
4019
x hoặc 2008x 1 2011x 5 2009x 2 2010x 4 0
0 6
4019
x hoặc 2x2 5x 3 0
4019
6
2
3
;
x
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
4019
6
2
3
;
x
2 Đưa về phương trình bậc cao giải được
2 3
13 2
5 3
2
2
x x
x x
Lời giải: ĐK
3
2
; 1
x Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với 2x.(3x2+x+2) + 13x.(3x2-5x+2) = 6.(3x2-5x+2).(3x2+x+2)
54.x4 - 117.x3 + 105.x2 - 78.x + 24 = 0
(2x – 1).(3x – 4).(9x2 – 3x + 6) = 0
x =
2
1
hoặc x =
4
3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 21 v à x = 43
b) Ví dụ 5: Giải phương trình: x11 x1121x
Lời giải ĐK : x > 0 và x 1
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với
x22 121x
+) Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương ( (mâu thuẩn) Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1) +) Nếu x > 1 thì hai vế của phương trình (1) đều dương, bình phương hai vế
ta được :
x4 – 2x2 – 16x + 1 = 0
(x2 + 3)2 – 8(x + 1)2 = 0
(x2 - 2 2x + 3 - 2 2).( x2 + 2 2x + 3 + 2 2) = 0
Kết hợp với ĐK x > 1 ta có x = 2 2 2 1
1 Đặt một ẩn phụ :
Trang 3a) Ví dụ 6 : Giải phương trình : 3 32 1 3
2 4
x x x
x x
Lời giải : ĐK :
2
5 1
;
0
x
Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho x2 rồi rút gọn ta được
0
1
1
3
1
2
2
x
x
x
x
Đặt
x x
t 1, phương trình trên trở thành :
0 2 3 3
1
2
t t
t
t
t =1 hoặc t = 2
+) Với t = 1, ta có :
2
5 1 0
1 1
x
+) Với t = 2, ta có : 1 2
x
x x
Kết luận : Phương trình đã cho có 4 nghiệm là :
2
5
1
b) Ví dụ 7 : Giải phương trình :
x x
x x
x
6 1 2 3
13 1
4 3
2
2
Lời giải : ĐK x 0 ,x 1và
3
1
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với :
6 1 2 3
13 1
4
3
2
x
x x
x
x , phương trình trở thành
6
6
13
2
t
t
2t2 + 7t – 4 = 0 t =
2
1
hoặc t = -4
+) V ới t = 21 , ta có : 3 1 4
x
6x2 – 11x + 4 = 0 x =
3
4
hoặc x =
2
1
+) Với t = -4, ta có : 3 1 4
x
3x2 + 1 = 0 Phương trình này không có nghiệm thực
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x =
3
4
v à x =
2
1
d) Ví dụ 8 Giải phwơng trình : 15
1
1 1
2
x
Lời giải : ĐK x 0 và x 1 Phương trình đã cho tương đương với :
2 1
.
1 15
1
.
2
2
2
2
x x x
x x
x
x
x
Đặt t = 1 , phương trình trở thành
Trang 4+) Với t = 3, ta có x.(x11) = 3 3x2 + 3x – 1 = 0
x =
6
21
3
+) Với t = -5, ta có x.(x11) = -5 5x2 + 5x +1 = 0
x =
10
5
5
Vậy phương trình có 4 nghiệm :
6
21
3
,
10
5
5
2 Đặt hai ẩn phụ :
3
2 12 3
1 2
x
x x
x x
x
Lời giải ĐK : x 2 và x 3 Đặt u = 21
x
x
, v = 32
x
x
Phương trình đã cho trở thành
u2 +uv = 12v2 (u – 3v).(u + 4v) = 0
u = 3v hoặc u = -4v
+) Với u = 3v, ta có 31
x
x
= 3 32
x
x
2x2 – 16x + 9 = 0 x =
2
46
8 +) Với u = -4v, ta có 31
x
x
= -4 32
x x
5x2 -12x + 19 = 0 Phương trình này không có nghiệm thực
Vậy Phương trình đã cho có hai nghiệm x =
2
46
8
2
) 9 (
7 2
3 6 2
3
2 2 2
2
x
x x
x x
Lời giải ĐK : x 2 và x -2 Đặt u =
2
3
x
x
, v =
2
3
x
x
thì
4
9 2 2
x
x = uv Phương trình đã cho trở thành : u2 – 7uv + 6v2 = 0
(u – v).(u – 6v) = 0
u = v hoặc u = 6v
+) Với u = v, ta có :
2
3
x
x
=
2
3
x
x
x2 + 5x +6 = x2 – 5x + 6
10x = 0 x = 0 (TMĐK)
+) Với u = 6v, ta có : 23
x
x
= 6 23
x
x
x2 – 7x + 6 = 0
x = 1 hoặc x = 6 (TMĐK)
Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm : x = 0 ; x = 1 và x = 6
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Giải các phương trình sau :
1 4 12006 5 12004 15 12007 6 12005
Trang 52 11
)
5
(
25
2 2
x
)
2
(
2 2
2
x
x
5
12 210 6125
2
x x
5
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
6
14
1 56 15
1
12 7
1 6
5
1 2
3
1
2 2
2
6
5 5
4 3
2 2
1
x
x x
x x
x
x
x
8 2 21 3 2 182 2 2 182 1