Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN- LÝ-TIN SÝ THỊ HIỂN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018... TRƯỜNG ĐẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN- LÝ-TIN

SÝ THỊ HIỂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN- LÝ- TIN

SÝ THỊ HIỂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành với Giảng viên chính- Tiến sĩ:

Hoàng Ngọc Anh đã tận tình chỉ dẫn và giúp đỡ trong quá trình hoàn thành

khóa luận này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Trung tâm Thông tin Thư viện, cùng các phòng ban khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận này

Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K55 - ĐHSP Toán đã đóng góp ý kiến và chia sẻ kinh nghiệm cho tôi

Với khóa luận này, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các Thầy Cô giáo, các bạn sinh viên để để tài này hoàn thiện hơn

Tôi xin trân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2018 Người thực hiện khóa luận

Sý Thị Hiển

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông NXB : Nhà xuất bản

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Cấu trúc của khóa luận 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Phương trình 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Các kiến thức liên quan (tính chất, nghiệm, ) 4

1.2 Phương trình có chứa dấu căn bậc hai 6

1.2.1 Định nghĩa 6

2.1 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai thường dùng 7

2.1.1 f x g x 7

2.1.1.1 Phương pháp giải 7

2.1.1.2 Ví dụ 7

2.1.2.2 Bài tập thêm 10

2.1.3 f x( ) g x 10 ( )

2.1.3.1 Phương pháp giải 10

2.1.3.2 Ví dụ 11

2.1.2.3 Bài tập thêm 11

2.2 Đưa phương trình về dạng tích 12

2.2.1 Phương pháp 12

2.2.2 Ví dụ 12

2.2.3 Bài tập thêm 13

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 14

2.3.1 Phương pháp 14

2.3.2 Ví dụ 14

2.3.3 Bài tập thêm 18

2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 19

2.4.1 Phương pháp 19

2.4.2 Ví dụ 19

2.4.3 Bài tập thêm 26

2.5 Đưa về hệ phương trình để giải 27

2.5.1 Phương pháp 27

2.5.2 Ví dụ 27

2.5.3 Bài tập thêm 31

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

1

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, mà cụ thể là phân môn Đại

số 10, các em đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai rất phong phú và đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai mà chỉ có số ít biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm trí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong trình bày

Trong chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 10, phần Phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai là một mục nhỏ trong bài Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai của chương III Thời lượng dành cho phần này

chỉ có một tiết lý thuyết trong sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược một ví dụ và đưa ra cách giải, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất ít

Để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh cần nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học linh hoạt và chính xác

Với mong muốn hệ thống lại một số phương pháp giải và tập hợp được một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức, đặc biệt có thể giúp các em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt các đề

thi Đại học - Cao đẳng nên tôi đã chọn đề tài khóa luận: “Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp và phân loại các kiến thức cơ bản về phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, trên cơ sở đó phân loại thành 5 dạng bài tập và đưa ra cách giải phù hợp Qua đó giúp học sinh chủ động lĩnh hội được kiến thức chương

phương trình một cách đơn giản, nhanh chóng và đầy đủ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng hợp và phân loại các kiến thức cơ bản về phương trình có chứa

ẩn dưới dấu căn bậc hai

2

- Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới

dấu căn bậc hai

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet

có liên quan đến đề tài của khóa luận)

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khóa luận

5 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

6 Phạm vi nghiên cứu

Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Ở phương rình (4) có a b c, , là các hệ số và x y, là các biến

Có nhiều cách để phân loại phương trình Phân loại phương trình theo số

ẩn ta có: phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn Phân loại phương trình theo các phép toán trong phương trình ta có: phương trình vô tỷ, phương trình

mũ, phương trình lôgarit

Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, ở đây đẳng thức nên hiểu

là khái niệm phương trình trong Số học, khi đó 2 vế của chúng chỉ là các số như 1 1 2 sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến

số Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu " " thay cho dấu " " khi viết đẳng thức, như trong phương trình (3) ở trên

Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu

" " cho phương trình và dấu " " cho đẳng thức Biểu diễn phương trình như vậy trong lập trình sẽ trả lại giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai

vế khác nhau

Với mọi phương trình không phân bậc, chúng có thuộc tính sau:

- Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân

và chia cùng một số khác 0 và không chứa điều kiện xác định

- Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc 2

- Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm điều kiện xác định

- Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc cùng âm và không vi phạm điều kiện xác định

- Các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện xác định và làm 2 vế phương trình bằng nhau

- Chuyển vế đổi dấu thực chất là các phép cộng trừ tương ứng

Nghiệm

Nghiệm của phương trình là bộ ( ,x x1 2, ) tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho hai về của phương trình bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình 5x 6, vậy nghiệm của phương trình là 6

5 vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau hoặc hiểu theo công thức tổng quát, phương trình f x 0 có a được gọi là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi x a và f a 0, điều này định nghĩa tương tự với các phương trình nhiều ẩn khác như:

5

Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm,

như x 3 4 thì có một nghiệm duy nhất là 4

3 , hoặc cũng có thể có 2 nghiệm, như 2

x x thì có 2 nghiệm đối nhau là 1 5

2 , hoặc vô nghiệm như 2

Để giải các phương trình đều có các công thức nghiệm nhất định Tuy nhiên người ta chứng minh được không có công thức nghiệm tổng quát cho các phương trình có số bậc cao hơn bậc 4 Hơn nữa công thức nghiệm của phương trình bậc 3 và 4 rất phức tạp nên không được đề cập đến trong chương trình Sách giáo khoa

Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn

về nghiệm của phương trình

Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương trình một ẩn Hai phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này thành phương trình kia

Ví dụ: Về biểu diễn hình học của phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương trình một ẩn có nghiệm luôn nằm tại một điểm trên trục số

nói cách khác là số x mà bình phương lên thì bằng a

Ví dụ: 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 2 2

4 4 16

Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi

là căn bậc hai chính, ký hiệu a , ở đây được gọi là dấu căn

Ví dụ: Căn bậc hai chính của 9 là 3, ký hiệu 9 3,vì 2

3 3 3 9

và 3 là số không âm

Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai a là căn bậc hai dương và a

là căn bậc hai âm Chúng được ký hiệu đồng thời là a (xem dấu ) Mặc

dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số

đó, việc gọi "căn bậc hai" thường đề cập đến căn bậc hai chính Đối với số

dương, căn bậc hai chính cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như

7

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ

CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

2.1 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai thường dùng

Thế vào phương trình (1) xem có thoả mãn hay không?

Kết luận nghiệm của phương trình (1)

Cách giải 2: (Sử dụng phép biến đổi tương đương)

2

( ) 0( ) ( )

Thế x 4 vào phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x 4

Vậy phương trình vô nghiệm

Cách 2: ( Chỉ cần để ý -3<0) nên phương trình đã cho vô nghiệm

00

x x

x x

30

x x

x

x

x

33

x x

Vậy phương trình có nghiệm x 4

Vậy phương trình có nghiệmx 4; x 8

Vì x 4 không thỏa điều kiện nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 4

t t

18

5 (L)2

t t

20

Hướng dẫn:

Điều kiện: x 0, y 1, z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

1.1

11

x x

y y

z z

Vậy nghiệm của phương trình là: 1; 2; 2 2

3) x 2 x2 4y2 4y 3

Vậy nghiệm của phương trình là: x y z, , 19;5;18905)

3 2 3

1

10( 1)

y y x

Hướng dẫn:

Điều kiện: x 0, y 1

3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

1

10( 1)

( 1)1

2

104

( 1)

y y x

24

Từ (1 ) và (2 ) ta có:

2

2 2

25

Từ (1 ) và (2 ) ta có dấu “ ” xảy ra khi: x 6

Thử lại ta có x 6 là nghiệm duy nhất của phương trình

Lưu ý: Bài toán phụ:

Đối với bài toán này ta có 2 cách giải

Cách 1: Điều kiện:xy 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm:

10

y

y y

Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx 0

27

2.5 Đưa về hệ phương trình để giải

2.5.1 Phương pháp

Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại một

Đặt u x v, x và tìm mối quan hệ giữa x và x từ đó

tìm được hệ theo u,v

Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau:

2 4

4

11

22

2 2

x x y

y y x

Trừ hai vế của phương trình ta được: x y x y 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x 2 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y; 1 2;1 3

30

3) Điều kiện: 1

3

x Phương trình (3) trở thành:

(N)8

(4 2) 2 15 (4')(4 2) 2 15 (5')

1 (N)2

32

KẾT LUẬN

Khóa luận mang tên “Một số phương pháp giải phương trình có chứa

ẩn dưới dấu căn bậc hai” trong thời gian nghiên cứu đã đạt được một số kết

quả như sau:

Thông qua khóa luận này, tôi hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai giới thiệu đến sinh viên nghành

Sư phạm Toán và học sinh THPT

Sau thời gian nghiên cứu, trên cơ sở tổng hợp các kiến thức về phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, tôi đã đưa ra được 5 phương pháp giải toán cơ bản của bài toán giải phương trình có chưa ẩn dưới dấu căn bậc hai Ở mỗi phương pháp tôi đã đưa ra cách giải cụ thể và đưa ra các ví dụ minh họa có liên quan và cuối cùng mỗi phương pháp tôi đã đưa ra các bài tập để luyện tập

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (2017), Đại số 10, NXB Giáo dục

[2] Nguyễn Thị Hòe (1997), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB