Dành cho THCSMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU Kiều Quang Cường - Kiều Đình Minh Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ Trong các số báo trên THTT có nghiên cứu khá sâu sắc về c
Trang 1Dành cho THCS
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
Kiều Quang Cường - Kiều Đình Minh
Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ
Trong các số báo trên THTT có nghiên cứu khá sâu sắc về các phương trình vô tỉ Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Đó là các phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu Chúng ta sẽ cùng giải quyết những khó khăn của các bạn học sinh khi gặp loại phương trình này thông qua các phương pháp giải sau
I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
1 Phân tích hoặc nhóm các phân thức
Thí dụ 1 Giải phương trình
2 4
3 70 17
1 28
11
1 4
5
1
2 2
2 + x+ + x + x+ + x + x+ = x−
x
Lời giải
Điều kiện: (*)
2
1
; 1
; 4
; 7
; 10
∉
x
4
; 3 0
12 7 2
4
3 10
1 1
1 3 1
2 4
3 10
1 7
1 3
1 7
1 4
1 3
1 4
1 1
1 3 1
2 4
3 ) 10 )(
7 (
1 )
7 )(
4 (
1 )
4 )(
1 (
1 )
1
(
2 + + = ⇔ = − = −
⇔
−
=
+
− +
⇔
−
=
+
− + +
+
− + +
+
− +
⇔
−
= + +
+ + +
+ + +
⇔
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm duy nhất x= − 3.■
Thí dụ 2 Giải phương trình
4 ( 2 )
4
4 3
3 2
2 1
−
+ + +
− + +
− +
−
+
x
x x
x x
x x
x
Lời giải
Điều kiện: x∉{− 3 ; − 2 ; 1 ; 4} (*)
±
−
=
⇔
=
− +
⇔
=
−
− +
− + +
−
⇔
= + +
+
−
−
−
−
⇔
=
+
+ +
−
−
+
−
⇔
=
− + + +
− + +
− +
− +
⇔
5
69 1 2
1 0
5
16 0
) 4 )(
1 )(
12 5 ( ) 3 )(
2 )(
8 5 (
0 ) 3 )(
2 (
12 5 ) 4 )(
1 (
8 5 0
3
3 2
2 4
4 1 1
4 4
8 1 3
6 1 2
4 1 1
2 1 )
2
(
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là = − ± 5
69 1 2 1
Trang 2Thí dụ 3 Giải phương trình
5 2011
1 4
2010
1 2
2009
1 1
2008
1
+
− +
= +
−
x
Lời giải
2011
5
; 2010
4
; 2009
2
; 2008
1
∉
x
−
=
−
=
−
=
⇔
= + +
−
=
⇔
= + +
− + +
= +
⇔
=
+ +
− + +
+
⇔
+ +
+
= + +
+
⇔ +
+ +
= +
+ +
⇔
2
3
; 1 4019 6
0 3 5
2
6 4019
0 ) 4 2010 )(
2 2009 ( ) 5 2011 )(
1 2008
(
0 6
4019
0 ) 4 2010 )(
2 2009 (
1 )
5 2011 )(
1 2008 (
1 6
4019
) 4 2010 )(
2 2009 (
6 4019 )
5 2011 )(
1 2008 (
6 4019 4
2010
1 2
2009
1 5
2011
1 1
2008
1
)
3
(
2
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là
2
3
; 1
; 4019
−
2 Đưa về phương trình bậc cao giải được
Thí dụ 4 Giải phương trình
6 ( 4 )
2 3
13 2
5 3
2
2
+ +
+ +
x x
x
x
Lời giải
Điều kiện:
∉
3
2
; 1
x
3
4
; 2
1 0
) 6 3 9 )(
4 3 )(
1 2 (
0 24 78 105
117 54
) 2 3
)(
2 5 3 ( 6 ) 2 5 3 ( 13 ) 2 3
( 2 )
4
(
2
2 3
4
2 2
2 2
=
=
⇔
= +
−
−
−
⇔
= +
− +
−
⇔
+ + +
−
= +
− +
+ +
⇔
x x x
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
So sánh với điều kiện (*) thì nghiệm của phương trình là
3
4
; 2
Thí dụ 5 Giải phương trình
( 5 )
2
1 1
1 1
1
x x
+
−
−
Lời giải
Điều kiện: x> 0 ;x ≠ 1 (*)
x
1 1
2 )
5
−
⇔
+) Nếu 0 <x< 1 thì vế trái âm còn vế phải luôn dương nên phương trình vô nghiệm
Trang 3+) Nếu x> 1 thì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình
) 1 ( 1 2 2 2
0 2 2 3 2 2 2
2 3 2 2 0
1 8 3 0
1 16
4
>
− +
=
⇔
= +
+ +
− +
−
⇔
= +
− +
⇔
= +
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 2+ 2 2−1.■
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1 Đặt một ẩn phụ
Thí dụ 6 Giải phương trình
43 322 1= 3 ( 6 )
− +
+ +
x x x
x x
Lời giải
Điều kiện: (*)
2
5 1
; 0
∉
x
3 1 1
3 1 3
1 3
)
6
2
2
2 3
2
2 4
= +
−
+
+
⇔
=
− +
+ +
⇔
x x x x x
x x
x
x
x x
đặt
x x
=
=
⇔
= +
−
⇔
= +
+
2
1 0
2 3 3
1
2
t
t t
t t
t
+)
2
5 1 0
1 1
1
x x
t
+) = 2 ⇔ −1 = 2 ⇔ x2 − 2x− 1 = 0 ⇔x= 1 ± 2
x x
t
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là ; 1 2
2
5
Thí dụ 7 Giải phương trình
6 ( 7 )
1 2 3
13 1
4 3
2
2
+ +
+ +
−
Lời giải
Điều kiện: (*)
3
1
; 1
; 0
∉
x
2 3
13 1
4 3
2 )
7
+ +
+ +
−
⇔
x
x x
x
x+1− 4 =
3 ta được phương trình
2
1 0
4 7 2 6 6
13
+
t t
+)
2
1
; 3
4 0
4 11 6
2
t
+)t = − 4 ⇔ 3x2 −x+ 2 = 0 ⇔ ∃x
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là
2
1
; 3
Thí dụ 8 Giải phương trình
15 ( 8 )
) 1 (
1 1
2
+
+
x
Trang 4Lời giải
Điều kiện: x≠ − 1 ;x≠ 0 (*)
0 15 ) 1 (
2 )
1 (
1 0
15 ) 1 (
2 2 ) 1 (
1 15
) 1 (
)
1
(
)
8
(
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
=
− +
+
+
⇔
=
− +
+ +
+
⇔
= +
+ +
⇔
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
+ 1 )
(
1
ta được phương trình t2 + 2t− 15 = 0 ⇔t = 3 ;t = − 5
+)
6
21 3 0
1 3 3 3 ) 1 (
1
+
⇔
x x
t
+)
10
5 5 0
1 5 5 5 ) 1 (
1
+
⇔
−
x x
t
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm
10
5 5
; 6
21
−
2 Đặt hai ẩn phụ
Thí dụ 9 Giải phương trình
( 9 )
3
2 12 3
1 2
−
−
=
−
+ +
−
+
x
x x
x x
x
Lời giải
Điều kiện: x≠ 2 ;x≠ 3 (*)
Đặt
3
2
; 2
1
−
−
=
−
+
=
x
x v x
x
u ta được u2 +uv= 12v2 ⇔ (u− 3v)(u+ 4v) = 0 ⇔u = 3v;u = − 4v
+)
2
46 8 0
9 16 2
12 12 3
3 4 3
2 3 2
1
−
−
=
−
+
⇔
x
x x
x
v
u
x
x x
x v
−
−
−
=
−
+
⇔
−
3
2 4 2
1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
2
46
8 ±
=
III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Thí dụ 10 Giải phương trình
( 10 )
2
1 9 3
4 3
3
2 2
+ +
− +
+
Lời giải
Điều kiện: x≠ 0 (*)
3
3 2
1 9 3
4 )
10
+ +
= + + +
⇔
x x x x
x
Để ý rằng x2 + 3x+ 9 > 0 ; 2x2 > 0 , ∀x≠ 0 Do đó theo bất đẳng thức AM – GM thì
3
3 18
6 6
9
2 4
1 9 3
1 9
3
1 2
2
1 9
3
4
2 2
2 2
2 2
+ +
+ + +
= + +
x
Vì vậy
2
13 1 0
3 4
9 3 )
10
x x
x x x
x
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm
2
13
1 ±
=
Trang 5Chúng tôi đã cố gắng chia thành ba phương pháp chính phù hợp với các bạn THCS Hy vọng qua bài viết này chúng ta có cái nhìn công bằng hơn cho những phương trình có chứa ẩn ở mẫu Rất mong nhận được sự bổ sung thêm của các bạn để phương trình dạng này được phong phú hơn
Cuối cùng, xin mời các bạn vận dụng các phương pháp đã nêu để giải một số phương trình sau
1
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
x
6
5 5
4 3
2 2
1
= +
− + +
−
− +
−
−
+
−
x
x x
x x
x
x
x
3
2005 6
1 2007
15
1 2004
5
1 2006
4
1
−
−
−
= +
+
)
2
(
2 2
2
−
−
=
x
x
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007)
) 5
(
25
2
2
+
+
x
x
x (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007)
5
12 210 6125
2
=
− +
x x
x
(T2/247 – THTT)
)
1
3
= +
−
+
x
x
x
x
8
2
3 3 5
5 3
4
2
+
−
+ +
x x
x
x
1
3 )
1
(
2 3
3
−
+
−
+
x
x x
x
x (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN 2000)
1
4 11 1
2 1
2
2 2
2
=
−
−
−
−
+ +
+
−
x
x x
x x
x
11
1 2
18 2
2
18 3
2
1
2 2
2 + x− + x + x− = x + x−
x
12
5
7 3
5 1
3 6
16
4
2 2
2 2
2
+
+ +
= +
− +
+
x x
x x
x
(Thi HSG toán lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi 2007)
x
x x
+
− +
1
1 2 2
3
2
4
(Bài 3(69) – TTT2)
14
16 4
1 36
9
1 5
1
2 2
2 + x − x+ = x − x+
) 2 (
1 )
3 ( )
3
(
)
1
2 4
2 2
2
4
−
−
=
− +
− +
−
x
x x
x
2
3 2
3 ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 3
3
3
= +
− +
− +
− +
− +
+ + +
+ + +
+
p x
p x n x
n x m x
m x p
x
p x n x
n x m
x
m
x
(HSGQG.THPT 1975)