SKKN một số phương pháp giải toán cực trị ở THCS

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay còn gọi là các bài toán cực trị là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dàinhất … để dần dần

Phòng giáo dục và đào tạo huyện mỹ hào

Trờng thcs tđ lê hữu trác

a

KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ THCS

Lĩnh vực/ mụn học: Toỏn học

Người thực hiện: Vũ Thị Hồng Liờn

Chức vụ: Giỏo viờn

Năm học 2015 – 2016

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Toán học là một môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông.Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận Học toán tức là rèn luyện khả năng tưduy lôgic Các bài toán là một phương tiện tốt trong việc giúp học sinh nắm vữngtri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ sảo

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( hay còn gọi là các bài toán cực trị )

là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dàinhất … để dần dần hình thành cho học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối

ưu cho một công việc cụ thể nào đó trong thực tiễn sau này

Các bài toán cực trị là các bài toán tương đối hay và cũng tương đối khó, loạinày rất phong phú và đa dạng đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một các hợp lý,nhiều khi độc đáo và bất ngờ Các bài toán cực trị thường được đưa vào lớp chọn,trường chuyên với những đối tượng học sinh khá và giỏi, trong sách giáo khoa ít đềcập đến các bài tập loại này

Toán cực trị cũng là loại toán rất gần gũi với thực tế, có nhiều ứng dụng trongthực tế Chẳng hạn:

- Hai xóm A và B cách nhau một con sông Tìm vị trí ở bờ sông để bắc mộtcây cầu sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất

- Một cửa sổ hình chữ nhật cao h(m) Phần trên là nửa đường tròn đường kínhd(m); chu vi của cả cửa sổ là 6(m) Hãy xác định h, d sao cho cửa sổ có diện tích

bé nhất.Điều này chứng tỏ là toán học và thực tiễn không tách rời nhau

Trong chương trình toán học ở THCS, học sinh mới thực sự làm quen với loạitoán cực trị từ năm lớp 7, kiến thức về loại toán này được nâng dần ở lớp 8 và lớp

9 và được học nhiều hơn trong chương trình THPT Toán cực trị được nhắc đếnnhiều trong các loại sách đọc thêm hoặc trong các tài liệu tham khảo, do đó giáoviên toán thường vất vả trong việc sưu tầm, tuyển chọn mới gây được hứng thú họctập, lòng say mê học toán của học sinh

Với mong muốn có được một tài liệu hệ thống về toán cực trị để dạy cho họcsinh ở trung học cơ sở tôi sưu tầm, tuyển chọn một số phương pháp giải toán cực

trị và một số bài toán cực trị thông dụng ở bậc THCS và viết thành đề tài: “Một số

phương pháp giải toán cực trị ở THCS” để góp phần nâng cao chất lượng giảng

dạy bộ môn toán tại trường trung học cơ sở

2 Ý nghĩa của giải pháp mới

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, tôi đã hệ thống lại phân loại các bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên cơ sở hệ thức các kiến thức liên quan, xây dựng môhình, giải pháp chung cho từng loại, có kế hoạch cho học sinh tiếp cận từng bài saocho phù hợp với thời lượng chương trình và nội dung kiến thức, sau mỗi nội dung

thực hiện tôi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời nhằm đánh giá sự tiến bộcủa học sinh, cũng như thu lại tín hiệu ngược từ quá trình giảng dạy để từ đó cócác biện pháp cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng họcsinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và gây hứng thú say mê cho học sinh.Trong quá trình dạy học để tránh khô khan, nhàm chán tôi kết hợp nhiều phươngpháp, kỹ thuật dạy học khác nhau như tổ chức hoạt động nhóm, dạy học nêu vàgiải quyết vấn đề, bàn tay nặn bột … nhằm phát huy tối đa tính tích cực của họcsinh giúp học sinh ghi nhớ vận dụng hiệu quả hơn nội dung tri tức chiếm lĩnhđược.

Lĩnh vực khoa học nghiên cứu là lĩnh vực toán học khối 8,9

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1 Cơ sở lí luận

Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao Chính vì vậy,việc giảng dạy trong nhà trường phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lượngtoàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhâncách, có khả năng tư duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh trithức khoa học Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó Việc hìnhthành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thểthiếu được của người thầy, rèn luyện cho các em có khả năng tư duy sáng tạo, nắmchắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em yêu thích môn Toán MônToán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông, có khả năng to lớn giúphọc sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Toán học là một môn khoahọc gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quátrình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày Một nhà toán học có

nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”.

Thật vậy, do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic Toánhọc được coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sángtạo Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán học được coi như là một mônhọc cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạođiều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác

Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản, mộtcách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng, thú say

mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thày cô luôn đặt ra cho mình Tuy nhiên để họctốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễđến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thểphát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em

có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới

2 Cơ sở thực tiễn

Là một giáo viên dược phân công giảng dạy môn toán lớp 9 với đối tượng họcsinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng nâng cao,làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗigiáo viên chúng ta Qua giảng dạy chương trình toán 9 tôi nhận thấy đề tài về giảibài toán cực trị là một đề tài thật lí thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môntoán THCS

Giải bài toán về tìm cực trị là một dạng toán hay, khó, với mong muốn cungcấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về cực trị, giúp các em làmbài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy

3 Các biện pháp tiến hành

Trong quá trình nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo… trong xu thế đẩymạnh công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện trong giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫngiữa thực tiễn dạy học và đảm bảo chuẩn mục tiêu đầu ra, tôi nhận thấy phải đổimới toàn diện từ mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cho từng nội dung,từng bài, từng chương, nhằm tích cực hóa hoạt động của người học, để người học

tự giác tích cực chiếm lĩnh tri thức, hình thành và phát triển năng lực nhận thức,năng lực hành vi

Trong phạm vi của đề tài, tôi đã thực hiện một số biện pháp đat hiệu quả cao nhưxây dựng cho các em hệ thống kiến thức, các em hiểu thật sâu các kiến thức vàcách vận dụng các kiến thức đó để giải quyết những bài toán nào, xây dựngphương pháp giải cho từng loại và có các ví dụ minh họa Đổi mới phương phápdạy học và đổi mới đánh giá, vừa thực hiện tự đánh giá vừa đánh giá đồng đẳng,sau khi thực hện xong nhiệm vụ đưa ra đáp án chuẩn, học sinh tự đánh giá và đánhgiá chéo nhau để đảm bảo tính khách quan , kết hợp với đánh giá của giáo viên

Giáo viên nhận xét đánh giá các cách giải hay nhằm động viên khích lệ kịp thờihọc sinh, giúp các em có hứng thú trong học tập và phát huy hết khả năng sáng tạocủa bản thân, giúp cho các em phát triển toàn diện về trí tuệ, thể lực, nhân cách,đồng thời rèn cho các em các kỹ năng như giao tiếp, nhận xét, đánh giá, …

4 Thời gian tạo ra giải pháp

Tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này trong năm học 2014-2015 và đầu năm học2015-2016 hoàn thành vào tháng 2 năm 2016

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI

- Giúp học sinh có hệ thống các bài tập về cực trị ,có phương pháp giải phù hợp

Coi đề tài là một tài liệu nghiên cứu đê thông qua đó giới thiệu cho bạn bèđồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy môn Toán ở trườngTHCS đạt hiệu quả cao

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1.Mô tả giải pháp của đề tài

PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

Chương I Những kiến thức cơ bản.

I- Khái niệm.

Cho một hàm số f(x) xác định trên một miền D

1 M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu 2 điều kiện sauđồng thới được thoả mãn:

1 x2  0 với mọi x

Tổng quát [ f(x) ]2n  0, x  R, n  Z

Suy ra: [ f(x) ]2n + M  M và -[ f(x) ]2n + M  M

2 a, x  0 với mọi x

b, x  y  x + y , dấu “=” xảy ra khi x, y cùng dấu

c, x  y  x - y , dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu

Chứng minh:

a, x  0 Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối

b, Ta có xy  xy  x y  xy

 2 x y  2xy  x2 + 2 x y + y2  x2 + 2xy + y2

Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu, hoặc x hoặc y bằng 0

3 Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) và các dạng của bất đẳng thức Côsi

a, ( a + b )2  4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

b, 2

a

b b

a



 , ( a.b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

c, a + b  2 ab , ( a  0, b  0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Hệ quả:

+ a  0, b  0 và a + b = k ( không đổi )

Thì (a.b) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

+ a  0, b  0 và a.b = k ( không đổi )

Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

2 n

2 1

1

x

a

x

a x

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = x2 + x + 1

Với biểu thức trên miền D là toàn bộ miền xác định của biểu thức, là tập R

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

4 3

khi x = -12

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 4x1 10





Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6  6, x  D (D=R)

Tử là hằng số dương

Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất

Mẫu số có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 2Suy ra A đạt giá trị lớn nhất bằng 61 khi x = 2

2 - x

 hay x = 3  DVậy giá trị lớn nhất của y là 2 khi x = 3

2 Phương pháp miền giá trị của hàm số.

Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y0 là mộtgiá trị nào đó của f(x) với x  D Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = y0 phải

Trước hết: (1)  (1-y)x2 + 8x + 7 – y = 0 (2)

Nếu 1 – y = 0

y = 1  x = -43

Nếu 1 – y  0

y  1  ’ = 16 - ( 7 – y )( 1 – y )

’ = - y2 + 8y + 9 ’ = ( 1 + y )( 9 – y )(x,y) là nghiệm của phương trình (1) cho nên phương trình (2) phải cónghiệm

Do đó ’  0  ( 1 + y )( 9 – y )  0

 - 1  y  9

Suy ra: max y = 9 khi đó ’ = 0, x = 1

Vậy cặp nghiệm thoả mãn bài toán là (1; 9)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

 2 2

4

1 x

1 x

2x 1 1 x

1 2x x A

1

4 2 4

2 4

2x 1

2x 1 A

a, Muốn tìm cực trị của hàm số ta không những cần chứng minh f(x)  mhoặc f(x)  M mà phải tìm ra được sự tồn tại của biến để có thể xảy ra dấu đẳngthức.

b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … là các biểu thức đại số) Để tìm cựctrị của A, ta đi tìm cực trị của B, C, D… nhưng phải chứng minh được với cùngmột giá trị của biến đồng thời các biểu thức B, C, D,… cùng đạt cực trị

c, Khi tìm cực trị của một biểu thức A, có khi ta thay điều kiện để tìm cực trịcủa biểu thức này bằng điều kiện tương đương để tìm cực trị của biểu thức khác

như: - A; A2; A1 ; A  m ( m là hằng số )…

Chương II Những dạng toán thường gặp và phương pháp giải

I- Dạng 1: Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

x    Dấu bẳng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc x hoặc y bằng 0.Suy ra: C = x  1997  2000  x  x  1997  2000  x

C  3

MinC = 3 khi (x - 1997)(2000 - x)  0

x 1997 2000

x - 1997 - 0 + +

2000 - x + + 0

(x 1997)(2000 x) 0 + 0

-Vậy minC = 3 khi 1997  x  2000

Kết luận: Các bài toán thuộc dạng 1 thường gặp ở lớp 7 Với dạng này cách

giải thường tương đối dơn giản, chỉ cần áp dụng:

+ A  0,  A

+ A   A

+ x  y  x  y, dấu bằng xảy ra khi xy  0

+ A = m f(x)  n, tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a, A = 5 1  4x  1

b, B = x  1  x  4

c, C = x  a  x  b, với a < b

d, D = x  2  x  3  x  4  x  5

e, G = x  1  x  2   x  1 998

2 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a, H = 5  2x  1

b, I = x 123

 Các bài toán cực trị - Lê Mộng Ngọc – 1996 

II- Dạng 2: Đ a thức bậc 2.

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + 4x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = 1 + 6x – x2

Bài giải

a, A = x2 + 4x + 1 = x2 + 4x + 4 – 3

A = (x + 2)2 – 3

Nhận xét: (x + 2)2  0  (x + 2)2 – 3  -3

 A  -3Vậy: minA = -3  x + 2 = 0

0 2 x

2 2

 





 3 y 2 x

 minD = 0 khi 





 3 y 2 x

0 5 x

 





 4 15 - y 5 - x

Do đó maxE = 40 khi 





 4 15 - y 5 - x

Kết luận:

- Muốn tìm cực trị của một biểu thức A (đa thức bậc 2), ta viết biểu thức Adưới dạng tổng của các biểu thức mà qua đó ta có thể xét dấu một cách thuận lợi.Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p

Tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m và n

- Dùng phương pháp miền giá trị thường là đưa về điều kiện để phương trìnhbậc 2 có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức A = (x2 + x + 1)2

Nhận xét: Theo tính chất của luỹ thừa bậc 2 thì A  0

Nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì x2 + x + 1  0

 B  0, Dấu bằng xảy ra khi  x  3  0  x = 3

Vậy minB = 0 khi x = 3

x1,2  

Vậy minf(x) = - 1 

2

5 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

 2

2

1 x

1 x x

1 1

x

1 x 1

x

1 x x

1 1

x

1 1

2

1 1 x

2

1 x 4

4 x 4x 1

x

1 x x

1 x 4

1 x x 3 x 3x

1 x 4

1 x 1 x 3

1 x 4

1 x 4 4x x 1 x

3 4x

2

2 2

2 x

Mặt khác: B =

1 x

1 x x 4 4x

2

2 2

B =   4

1 x

1 x 2

6 8x 3x

2 2

1 x x

2 2

1 x

+ f(x)  g(x)  f(x)  g(x) Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0

+ f(x)  g(x)  f(x)  g(x) Dấu bằng sảy ra khi 





 g(x) f(x)

0 f(x).g(x)

+ Bất đẳng thức Bunhia cốpxki

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x  2  4  x

Trước hết điều kiện xác định của A là 2  x  4

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2

x 1

3x 5

2

2

x 1

9x 30x 25 x

1

3x 5

16x 16 25x 30x 9

 vì 1 – x2 > 0 Dấu bằng xảy ra khi 3 – 5x = 0  x = 53

Vậy minB2 = 16 khi x =

5 3

 MinB = 4 khi x = 53

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = x  2001  x  2002

Cách 1: Ta chia khoảng xác định và dựa vào định nghĩa:

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức f(x)  g(x)  f(x)  g(x)

Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0

Ví dụ4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a 3  4 a 1  a 15  8 a 1

Nhận xét: Với điều kiện a  1

Ta có: a + 3 – 4 a  1 = a – 1 – 4 a  1 + 4 =  2

2 1

a  

a + 15 – 8 a  1 = a – 1 –8 a  1 + 16 =  2

4 1

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2xx2 xx 11

1 x 2x

2 2

1 x 2x

2 2

Như vậy phương trình (2) có nghiệm khi - 1 y0  3

Do đó: max y = 3 và min y = -1 với x  R

Theo nhận xét ta có:

Maxf(x) = 



 R x

, max(y)





 R x

1 x

1 x

Vậy maxf(x) = 3  x = 2; Minf(x) = 0  

1 x

1 x

Chú ý:

Nếu f(x) nhận mọi giá trị trong đoạn [m, M]

Ở đây m = minf(x)

M = maxf(x)Thì ta có:

min   



0 f(x)

Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm

VI- Dạng 6: Cực trị có đ iều kiện.

Các bài toán cực trị có điều kiện là các bài toán đi tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của một biểu thức, một hàm số trong sự ràng buộc của điều kiện của biến,của hàm cho trước Để giải quyết đượccác bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợpthành thạo kỹ năng biến đổi khéo léo và vận dụng triệt để điều kiện cho trước củađầu bài

x  R

nếu M.m  0 nếu M.m > 0

Vậy:max(x + y) = 2  x = y =

2 2

min(x + y) = - 2  x = y =

-2 2

2

2 2

y x

1 y 1 y 1 x 1 x y

x

1 y 1

2

= 9 khi x = y =

2 1

Ví dụ 3: Cho a > 1, b > 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

1 a

b 1 b

a 2 2







Đề kiểm tra đội học sinh giỏi toán TP HCM - 1995

Nhận xét:

1 a

1 1 a 1

a

1 1 a 2 1 a 1 a

1 a 2 a 2 1 a

a



 ; tương tự 2

1 b

2a 1

b 1 a

b a 2 1 a

b 1 b

1 Cho biểu thức P = a3 + b3 + c3 + a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a+ b)

Tìm giá trị lớn nhất của P với a + b + c = 1

2 Cho x + y = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x; y) = x2 + y2

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 3xy – x2 – y2 biết rằng x, y là nghiệm của phương trình 5x + 2y = 10

4 Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab

Võ Đại Mau – 250 bài toán học sinh giỏi

VII- Dạng 7: Các bài tập tổng hợp.

Đây là các bài tập mà yêu cầu chính không phải là tìm giá trị lớn nhất hay giátrị nhỏ nhất Nhưng trong quá trình giải thực tế phải áp dụng các kiến thức về cựctrị

VT = x  2  4  x

Điều kiện 2  x  4 Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki thì

VT2 =  x 2  4  x2  2(x – 2 + 4 – x)

VT2  4

Do VT > 0 Nên VT  2

Dấu bằng xảy ra khi x  2  4  x hay x = 3Vậy để VT = VP thì x = 3

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Xác định hình dạng của

tam giác đó sao cho M = b ac a a cb b a bc c

z x x

z y 2

1 2z

y x 2y

z x 2x

z y

y z

x x

z y

x x

y 2 1

Với x, y, z > 0 Theo bất đẳng thức côsi ta có:

2 y

x x

y



 , dấu bằng xảy ra khi x = y

2 x

z z

x



 , dấu bằng xảy ra khi x = z

2 z

y y

0 c

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-2, 1), B(2, 3) Tìm trên trục

hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox, A’B  Ox  Mo

Xét M bất kỳ  Ox

Luôn có MA + MB = MA’ + MB  A’B

MoA’ + MoB = MoA + MoB = A’B

Do đó tổng MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M  Mo

Ta lại có A(-2; 1)  A’(-2; -1) B(2; 3)

Phương trình đường thẳng A’B có dạng y = ax + b(d)

1 2a b

Phương trình đường thẳng A’B là y = x + 1 (d)

Giao điểm của (d) với Ox là Mo(-1; 0)

Vậy điểm M phải tìm là M(-1; 0)

4 Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không

âm Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biếtrằng: 

3y x

21 t y x

2 2 2

2 2 2

Đề học sinh giỏi toàn quốc - 1985

5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức N = 2x + 3y – 4z

Biết rằng: x, y, z  0 và thoả mãn hệ phương trình sau

6 3z y 2x

PHẦN II:

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chương I Những kiến thức cơ bản.

y1, y2 là các giá trị cố định không đổi của y

- Giải bài toán cực trị hình học là phải chỉ rõ vị trí hình học của y để y đạt giátrị nhỏ nhất y = y1 hay y = y2

II- Các ph ươ ng pháp giải bài toán cực trị hình học.

Người ta có thể giải bài toán cực trị hình học bằng một trong các phươngpháp sau đây:

1 Phương pháp 1.

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điềukiện của đại lượng đó bằng các đại lượng tương đương Người ta thường dùngcách này khi đầu bài toán được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn cácđiều kiện cực trị của bài toán.”

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có

chu vi nhỏ nhất

Qua A kẻ đường thẳng xy // BC (BC không đổi)

Vì diện tích ABC không đổi nên đường cao AH của ABC cũng không đổi

Do đó các đỉnh của các tam giác thoả mãn điều kiện của đầu bài phải nằm trênđường thẳng xy

Ta có PABC = AB + AC + BC = AB + AC + a

PABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua xy, B’C cắt xy tại A’ Xét tam giác AB’C

có AB’ + AC = AB + AC  B’C

Ta có: AB’ + AC  A’B’ + A’C

Dấu bằng xảy ra khi A  A’

Khi đó A’B’ = A’B = A’C Nên A’BC cân tại A’

Và PABC  PA’BC hay minPABC = PA’BC

Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích thì tam giác cân có chu

vi nhỏ nhất

2 Phương pháp 2.

Đưa ra một hình theo yêu cầu của đầu bài, sau đó chứng minh mọi hình khác

có chứa yếu tố mà ta phải tìm cực trị đều lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứngtrong hình đã đưa ra

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình khi đạtcực trị đã được khẳng định rõ trong đầu bài

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích

thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Để giải bài toán này trước hết ta vẽ tam giác cân ABC (cân ở A) Ta phảichứng minh rằng mọi tam giác A’BC nào đó có khoảng cách từ A’ đến BC bằngkhoảng cách từ A đến BC thì chu vi tam giác A’BC lớn hơn chu vi tam giác ABC.Thật vậy:

* Ta sẽ có A’  xy, xy qua A và song song với BC (A’  A)

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua xy

Chứng minh được B, A, C’ thẳng hàng

Khi đó PABC = BC’ + BC

PA’BC = A’B + A’C + BC

= A’B + A’C’ + BCXét A’BC’

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

cũng có được một tam giác

đối xứng với ABC

qua BC để so sánh với

tam giác A’BC

3 Phương pháp 3.