Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ Ở BẬC THCS KHỐI LỚP 8-9

Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trớc hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền từ ngay trong phơng pháp dạy học, đặc biệt là phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực của học

sở giáo dục và đào tạo hải dơng

***********

Một số phơng pháp

giảI toán cực trị ở bậc thcs

Môn: Toán Khối lớp: 8-9

phòng giáo dục huyện tứ kỳ

trờng thcs ngọc kỳ

Một số phơng pháp

giảI toán cực trị ở bậc thcs

Số phách

M«n: To¸n

§¸nh gi¸ cña nhµ trêng

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶I to¸n cùc trÞ ë bËc thcs M«n: To¸n Khèi líp: 8-9 §¸nh gi¸ cña Phßng gi¸o dôc

Sè ph¸ch

Tên tác giả:

Trờng:

A Đặt vấn đề I- cơ sở lý luận

Một trong những mục tiêu cơ bản của trờng THCS là đào tạo và xây dựng một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của thời đại

Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trớc hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền từ ngay trong phơng pháp dạy học, đặc biệt là phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh

Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể hiện rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh Để giúp học sinh học tập môn Toán có hiệu quả, ngời giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập mà

điều cần thiết nhất là phải có phơng pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự tìm ra hớng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các vấn đề đợc đặt ra

Tuy nhiên, trên thực tế rất nhiều giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ đầy đủ kiến thức, đa ra bài giải chi tiết, có đáp số đúng mà cha chú ý nhiều đến tính chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự thiết lập hớng giải riêng cho mình Đối với dạng toán “Lập hệ phơng trình và phơng trình” có

sự liên hệ thực tế rõ nhất, tính tích cực, chủ động của học sinh cần đợc khơi dậy

và phát huy Hiểu đợc điều này bản thân tôi mạnh dạn khai thác “Bảng tóm tắt lời giải” giúp học sinh tự thiết lập hệ phơng trình và phơng trình trong “Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình” đợc đề cập ở toán 8, toán 9

II- cơ sở thực tế

Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 8, lớp 9 phần đại số, đồng thời qua quá trình kiểm tra, đánh giá sự tiếp thu của học sinh về sự vận dụng kiến thức vào “Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình” Tôi nhận thấy, mặc dù học sinh nắm lý thuyết, các bớc giải bài toán rất chính xác nhng việc thiết lập hệ phơng trình và phơng trình của bài toán gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không thiết lập đợc

Mặc dù biết đây là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi lẽ từ trớc

đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải hệ phơng trình, phơng trình có sẵn, mặt khác do t duy còn hạn chế nên các

em rất khó khăn trong việc phân tích đề bài, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các

đại lợng, các yếu tố trong bài toán nên không thiết lập đợc hệ phơng trình hoặc phơng trình

Do vậy việc hớng dẫn và giúp các em lập hệ phơng trình- phơng trình để giải toán, ngoài việc nắm vững lý thuyết thì các em phải biết vận dụng lý thuyết vào thực hành Phải phát huy tính tích cực, khả năng sáng tạo ở mỗi ngời, mỗi

đối tợng học sinh

Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bớc hoàn thiện phơng pháp giảng dạy của mình, bản thân tôi phải thực hiện từ những mảng kiến thức

nhỏ nhất Từ suy nghĩa đó tôi mạnh dạn đa ra đề tài Giúp học sinh thiết lập hệ“

giải ”

B- giải quyết vấn đề

Xuất phát từ thực tế các em học sinh ngại khó khi hiết lập hệ phơng trình – ph phơng trình trong “Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình” Tôi thấy cần phải tạo cho các em niềm say mê, khai thác hết tính tích cực,

t duy sáng tạo của các em Cần giúp học sinh tự khai thác kiến thức thông qua việc tóm tắt bài giải qua một bảng tóm tắt mang tính sáng tạo, dễ hiểu nhất

I - cơ sở lý thuyết

Khi “Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình hay phơng trình”trớc hết phải cho học sinh nắm đợc lợc đồ “Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và

ph-ơng trình”

Bớc 1: Lập hệ phơng trình (phơng trình)

- Chọn ẩn, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)

- Thiết lập các mối tơng quan qua ẩn

- Lập hệ phơng trình (phơng trình)

Bớc 2: Giải hệ phơng trình (phơng trình)

Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời

Chú ý: Bớc 1 có tính chất quyết định nhất Thờng đầu bài hỏi số liệu gì thì ta

chọn cái đó là ẩn số Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tế

II - Hệ thống bài tập minh hoạ

Trong quá trình giảng dạy và hớng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra từng bài toán, dạng toán, giới thiệu dạng chung, từng loại, các công thức, kiến thức có liên quan Dần định dạng “Bảng tóm tắt hớng giải” để thiết lập hệ phơng trình, phơng trình

1- Dạng toán cấu tạo số:

a) Ví dụ 1:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ng

-ợc lại thì đ-ợc một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

*)Tóm tắt: Một số tự nhiên có hai chữ số biết

<1> Hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị

<2> Nếu viết ngợc lại, số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị

Tìm số tự nhiên đó ?

*) HD thiết lập bảng: Học sinh cần trả lời câu hỏi

? Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng toán thiết lập phơng trình hay hệ phơng trình (dạng lập phơng trình )

? Bài toán có những đại lợng nào tham gia, thông thờng thì đại lợng đó chọn làm ẩn

? Trong bài toán có sự biến đổi nào

? Quan hệ giữa các đại lợng đợc thể hiện nh thế nào(theo <1>và <2>) Bảng tóm tắt:

Số hàng chục Số hàng đơn vị Số cần tìm

Số ban đầu 0 < a 9 ,aN 0 <b 9,bN ab 10a b

Số sau khi đổi b a ba 10b a

Quan hệ 2b – ph a =1 ab ba  27

Chú ý: Quan hệ <1> đa ta đến phơng trình : 2b – ph a =1

Quan hệ <2> đa ta đến phơng trình : ab ba  27

Ta có hệ phơng trình : 2 1 2 1

3 27

a b

ab ba

 

   





 

 

 

 



b)Ví dụ 2:

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng chục là 2 Tổng các bình phơng của hai số bé hơn số đã cho 19

*) Tóm tắt: Số tự nhiên có hai chữ số biết:

(1) Số hàng đơ vị bé hơn số hàng chục là 2

(2) Tổng các bình phơng của hai chữ số bé hơn số đã cho 19

? Tìm số đó

*) HD thiết lập bảng: Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng bài lập phơng trình

? Bài toán có những đại lợng nào tham gia (hình thành số cột cho bảng)

? Có những biến đổi nào (hình thành số hàng cho bảng

? Quan hệ nào tạo nên mối liên hệ giữa các đại lợng (theo (1) và (2))

Bảng tóm tắt:

Số ban đầu Số sau khi bình phơng

Số hàng đơn vị 0  x 7,x N x2

Số hàng chục x+2 (x+2)2

Quan hệ (x 2)x=10(x+2)+x x2+(x+2)2=10(x+2)+x-19

ú2x2-7x+3 = 0

2 Toán chuyển động.

Với dạng toán chuyển động đều, học sinh cần nắm rõ quan hệ quãng đờng

(S),thời gian(t), vận tốc(v) : S= v.t

a)Ví dụ 1:

Hai ngời cùng đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km cùng xuất phát một lúc Vận tốc của ngời thứ nhất lớn hơn vận tốc của ngời thứ hai 3km/h nên ngời thứ nhất đến trớc ngời thứ hai nửa giờ Tính vận tốc của mỗi ngời ?

*)Tóm tắt: Hai ngời cùng đi từ A đến B cách nhau 30km

(1) Vận tốc của ngời thứ nhất hơn vận tốc của ngời thứ hai 3km/h

(2) Ngời thứ nhất đến B trớc ngời thứ hai 1/2giờ

? Tính vận tốc của mỗi ngời

*) HD thiết lập bảng:

? Dạng bài thuộc thể loại nào (toán chuyển động đều)

? Có mấy đối tợng tham gia vào bài toán (cơ sở thiết lập số cột)

? Trong bài toán có những đại lợng nào (cơ sở thiết lập số hàng)

Quan hệ giữa các đối tợng phụ thuộc vào đại lợng nào (thời gian)

HS cần định dạng cho bảng cần thiết lập gồm 4 hàng, 4 cột

Bảng tóm tắt: (Gọi vận tốc của ngời thứ nhất là x)

Vận tốc (km/h) Quãng đờng (km) Thời gian (h) Ngời thứ I x > 3 30 30

x

Ngời thứ II x - 3 30 30

3

x 

Quan hệ 30

3

x  -

30

x =

1 2

3

x  -

30

x =

1

2 ú x

2- 3x - 180 = 0

b) Ví dụ 2:

Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc của xuồng biết rằng vận tốc của dòng chảy 3km/h ?

*) Tóm tắt: Một xuồng máy

Xuôi 30km

Ngợc 28km => hết thời gian bằng thời gian của xuồng đi 59,5km Vận tốc của dòng nớc 3km/h

? Tính vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng

*) HD thiết lập bảng : Học sinh cần xác định rõ đay là dạng toán chuyển động

xuôi, ngợc có sức cản , nên có :

Vxuôi = Vthực + Vcản

Vngợc = Vthực - Vcản ? Dạng bài lập hệ phơng trình hay lập phơng trình (lập phơng trình)

? Dựa vào đâu để thiết lập phơng trình (mối quan hệ về thời gian)

? Hs cần định dạng cho bảng gồm 1 đối tợng (cano)

3 đại lợng (S, v, t)

3 trờng hợp (xuôi, ngợc, thực)

Bảng tóm tắt: (Gọi vận tốc của xuồng là x)

Vận tốc(km/h) Quãng đờng (km) Thời gian (h) Khi nớc yên x > 3 59,5 59,5

x

Khi đi xuôi x+3 30 30

3

x 

Khi đi ngợc x-3 28 28

3

x 

Quan hệ 59,5

x =

30 3

x  +

28 3

x 

x =

30 3

x  +

28 3

x 

4 Dạng toán liên quan đến hình học.

Đối với dạng toán hình học, học sinh cần nắm đợc các công thức tính chu

vi, diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tam giác… + Hình chữ nhật cạnh a, b có: P = (a+b)2 và S = a.b

+ Hình vuông có cạnh a thì : P= 4a và S= a2

+ Hình thang có cạnh đáy a, b và đờng cao h thì : S =( )

2

a b h

+Tam giác vuông cạng góc vuông a, b cạnh huyền c thì : P= a+ b+ c và S =

2

ab

+ Tam giác cạnh a,b,c các đờng cao tơng ứng ha, hb, hc thì P= a+ b+ c

ah bh ch

a)Ví dụ 1:

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc đất của khu vờn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng là 4256m2 Tính kích thớc khu vờn?

*) Tóm tắt: Khu vờn hình chữ nhật có P=280 m (1)

Đào lối đi quanh vờn rộng 2m Diện tích còn lại 4256 m2 (2) ? Tính kích thớc của khu vờn

*)HD thiết lập bảng.

Hs cần xác định đây là dạng toán thiết lập hệ phơng trình (hay phơng trình)

? Bài toán có những đối tợng nào tham gia (hình thành số hàng của bảng)

? Bài toán có bao nhiêu đại lợng biết và cha biết (hình thành số cột bảng)

? Quan hệ giữa các đại lợng, đối tợng phụ thuộc vào đâu (theo (1) và (2)) Bảng tóm tắt:

Chiều dài (m) Chiều rộng (m) Chu vi (m) Diện tích (m2) Lúc đầu 4<x < 140 4 <y <140 280=2(x+y) x.y =S

Sau khi có x - 4 y - 4 … … … … (x-4)(y-4) =4256

lối đi

( 4)( 4) 4256

x y

 





  



b)Ví dụ 2:

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m Tính các cạnh góc vuông của tam giác đó ?

*) Tóm tắt: Tam giác vuông có

+ Cạnh huyền là 10m

+Cạnh góc vuông lớn hơn cạnh nhỏ 2m

? Tính hai cạnh góc vuông

*) HD lập bảng: Ta xẽ thiết lập phơng trình từ bài toán

? Bài toán yêu cầu ta tìm đại lợng nào (2 đại lợng=> số cột của bảng)

? Quan hệ giữa các đại lợng (Thiết lập phơng trình )

Bảng tóm tắt ( Gọi cạnh góc vuông lớn là x)

Lúc đầu (m) Khi bình phơng (m2) Cạnh lớn 2 < x < 10 x2

Cạnh bé x – ph 2 (x-2)2

Cạnh huyền 10 102 = x2 + (x-2)2

Chú ý : Phơng trình lập đợc có dạng : 102 = x2 + (x-2)2

5 Dạng toán công việc (làm chung, làm riêng)

Trong dạng toán này học sinh cần nắm đợc mối quan hệ giữa số sản phẩm, thời gian, năng suất của một quá trình lao động

Số sản phẩm = Năng suất x Thời gian

Ví dụ:

Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1giờ 20’ thì bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất trong 10’, vòi thứ hai trong 12’ thì đợc 2/15 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng sau bao lâu thì đầy?

*) Tóm tắt:

+Hai vòi cùng chảy mất 1h20’=80’ thì đầy

+Vòi I chảy trong 10’, vòi II chảy trong 12’ đợc 2

15bể

? Nếu chảy riêng mỗi vòi sau bao lâu thì đầy bể

*) HD thiết lập bảng :

Học sinh cần định hình số cột số dòng của bảng theo các đối tợng, đại l-ợng tham gia trong bài toán

? Có mấy đối tợng cần tìm

? Năng suất chẩy của mỗi vòi trong 1’

? năng suất thực tế của mỗi vòi

Bảng tóm tắt: (Gọi x, y là thời gian vòi I, vòi II chẩy riêng để đầy bể)

Thời gian chảy đầy bể (phút)

Năng suất chảy trong 1’(phần bể)

Năng suất thực tế (phần bể) Vòi I 80 < x 1

x

10

x

Vòi II 80 < y 1

y

12

y

Cả hai

Vòi 80 1 1 1

80  x y

2 10 12

15 x  y

Chú ý: Hệ phơng trình cần lập

80

15











6 Bài toán Lý – ph Hoá.

Học sinh cần chú ý : M = m

V (M khối lợng riêng, m khối lợng, v thể tích)

*)Ví dụ:

Ngời ta trộn 8g chất A với 6g chất B có khối lợng riêng nhỏ hơn 0,2g/cm3

để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 0,7g/cm3 Tìm khối lợng riêng của mỗi chất ?

*) Tóm tắt:

Trộn 8g chất lỏng A với 6g chất lỏng B có khối lợng riêng nhỏ hơn 0,2g/

cm3

=> đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng 0,7g/cm3

? Tính khối lợng riêng của từng chất

*) HD thiết lập bảng :

? Có những đối tợng nào tham gia bài toán (hình thành số cột)

Mối quan hệ giữa các đại lợng đợc thể hiện nh thế nào? (Hình thành

ph-ơng trình)

? Thể tích của chất A đợc tính nh thế nào

? Thể tích của chất B đợc tính nh thế nào

? Thể tích của chất lỏng

Bảng tóm tắt :

Khối lợng riêng (g/cm3) Khối lợng (g) Thể tích chất lỏng(cm3) Chất A 0,2 < x 8 8

x

Chất B x – ph 0,2 6 6

0, 2

x 

Cả hai chất 0,7 14 8

x +

6

0, 2

x  =

14

0, 7

Chú ý: Phơng trình đợc thiết lập là : 8

x +

6

0, 2

x  =

14 0,7

III Một số bài tập tham khảo.

Bài 1: Cho một số có hai chữ số, hiệu hai chữ số của nó là 6 Lấy số đã cho chia

cho số viết theo thứ tự ngợc lại ta đợc thơng là 2 và số d là 26 Tìm số đó?

Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số là 9 Nếu viết các

chữ số theo thứ tự ngợc lại ta đợc một số bằng 2/9 số ban đầu

Bài 3: Hai ngời khách du lịch xuất phát từ hai thành phố khác nhau cách nhau

38km Họ đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ Hỏi vận tốc cuả mỗi ngời, biết rằng đến khi gặp nhau ngời thứ nhất đi đợc nhiều hơn ngời thứ hai 2km

Bài 4: Một chiếc ca nô xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngợc

dòng trong 4 giờ đợc 380 km Lần khác, ca nô nay đi xuôi dòng trong 1 giờ và ngợc dòng trong 30 phút đợc 85 km Hãy tính vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nớc (hai lần ca nô đi cùng một vận tốc)

Bài 5: Một ca nô xuôi dòng sông 39km, rồi ngợc dòng 28 km hết một thời gian

bằng thời gian nó đi 70 km trong hồ nớc yên lặng Tính vận tốc của ca nô trong nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 3km/h

Bài 6: Một ô tô đi từ A đến B theo dự tính mất 5 giờ Nhng khi đi đợc 56 km nó

dừng lại 10 phút Để đến B đúng thời gian dự tính ô tô phải tăng vận tốc thêm 2km/h Tính khoảng cách AB

Bài 7: Một hình thang có diện tích 140 cm2, chiều cao bằng 8 cm Tính độ dài các đáy cuả hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau 15cm

Bài 8: Hai cạnh của một hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm Diện tích của nó

bằng 40 cm2 Tính các cạnh của hình chữ nhất đó

Bài 9: Một vờn hoa hình tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy tơng ứng Nếu

tăng chiều cao 3 cm và thu hẹp đáy tơng ứng 2 m thì diện tích vờn tăng thêm 24m2 Tính chiều cao và đáy tơng ứng của vờn hoa sau khi tu sửa

Bài 10: Hai máy cày cùng cày một thửa ruộng thì 2 giờ xong Nếu làm riêng thì

máy thứ nhất hoàn thành công việc sớm hơn máy thứ hai 3 giờ Hỏi mỗi máy cày nếu làm riêng thì sau bao lâu công việc hoàn thành?

Bài 11: Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 2 ngày thì hoàn thành 1/3

công việc Ngời thứ nhất làm trong 2 ngày bằng ngời thứ hai là trong 3 ngày Hỏi nếu làm riêng sau bao lâu mỗi ngời hoàn thành công việc của mình ?

Bài 12: Khối lợng của 600cm2 nhôm và 1,5dm2 sắt là 13,32 kg Tìm khối lợng riêng của nhôm, biết rằng nó nhỏ hơn khối lợng riêng của sắt 5,1 kg/dm3