Một số phương pháp giải PT chứa ẩn ở mẫu

Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1).. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1..[r]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU

1 Phân tích hoặc nhóm các phân thức:

a) Ví dụ 1 : Giải phương trình

1

x2+5 x +4+

1

x2+11 x +28+

1

x2+17 x +70=

3

4 x − 2

Lời giải: ĐK: x {−10 ;−7 ;− 4 ;−1 ;1

2} Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với

1

( x+1) (x + 4)+

1

(x + 4) (x +7 )+

1

( x+7 ) ( x +10)=

3

4 x − 2

⇔1

3.(x +11 −

1

x +4)+ 1

3.(x+ 41 −

1

x+7)+ 1

3.(x+ 71 −

1

x +10)= 3

4 x − 2

⇔1

3.(x +11 −

1

x +10)= 3

4 x − 2

⇔ x2

Đối chiếu với ĐK ta có phương trình đã ch có nghiệm duy nhất x = -3

b) Ví dụ 2 : Giải phương trình

x −1 x +1+x −2

x+2+

x −3 x+ 3+

x+ 4

x − 4=4

Lời giải: ĐK: x ≠{−3 ;− 2;1 ;4}

Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với:

1+ 2

x −1+1−

4

x +2+1−

6

x +3+1+

8

x −4=4

⇔(x −11 +

4

x − 4)−(x+22 +

3

x +3)=0

⇔ 5 x −8

( x − 1) ( x − 4 ) − 5 x +12

( x+ 2) ( x+ 3)=0

⇔ (5 x −8) (x +2) (x +3 )− (5 x +12) ( x − 1) ( x − 4 )=0

⇔ x2

+x −16

⇔ x= 1

2.(−1−√695 ) hoặc x=1

2.(− 1+√695 )

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm:

x=1

2.(− 1−√695 ) và x=1

2.(− 1+√695 )

c) Ví dụ 3 : Giải phương trình:

2008 x+11 − 1

1

2010 x + 4 −

1

2011 x +5.

Lời giải: ĐK: x ≠{− 1

2

4

5

2011}.

Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với:

1

1

1

1

(2008 x+1 ) (2011 x+5 )=

4019 x+6 (2009 x+ 2) (2010 x+ 4 )

⇔ 4019 x+6=0 hoặc 1

(2008 x +1) (2011 x +5)=

1

(2009 x +2) (2010 x +4 )

⇔ 4019 x+6=0 hoặc (2008 x+ 1) (2011 x+5 )− (2009 x +2) (2010 x +4 )=0

⇔ 4019 x+6=0 hoặc 2 x2+5 x +3=0

⇔ x=− 6

4019 hoặc x=− 1; x=3

2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x=− 6

4019;x=− 1; x=3

2

2 Đưa về phương trình bậc cao giải được

a) Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 x

3 x2−5 x+2+

13 x

3 x2+x +2=6

Lời giải: ĐK x ≠{1;2

3} Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với 2x.(3x2+x+2) + 13x.(3x2-5x+2) = 6.(3x2-5x+2).(3x2+x+2)

⇔ 54.x4 - 117.x3 + 105.x2 - 78.x + 24 = 0

⇔ (2x – 1).(3x – 4).(9x2 – 3x + 6) = 0

⇔ x = 12 hoặc x = 34

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 12 v à x = 34

b) Ví dụ 5: Giải phương trình: x −11 − 1

x +1=

1

2√x

Lời giải ĐK : x > 0 và x 1

Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với

2

x2−1=

1

2√x (1)

+) Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương ( (mâu thuẩn) Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1) +) Nếu x > 1 thì hai vế của phương trình (1) đều dương, bình phương hai vế

ta được :

x4 – 2x2 – 16x + 1 = 0

⇔(x2 + 3)2 – 8(x + 1)2 = 0

⇔(x2 - 2√2x + 3 - 2√2).( x2 + 2√2x + 3 + 2√2) = 0

Kết hợp với ĐK x > 1 ta có x = √2+√2√2 −1.

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1 Đặt một ẩn phụ :

a) Ví dụ 6 : Giải phương trình : x4+3 x2+1

x3+x2− x =3

Lời giải : ĐK : x ≠ 0 ; x ≠ −1 ±√5

Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho x2 rồi rút gọn ta được

x2

x2+3

x −1

x+1

=0 Đặt t=x −1

x, phương trình trên trở thành :

t2+ 5

t +1=3⇔ t2

−3 t +2=0

⇔t =1 hoặc t = 2

+) Với t = 1, ta có : x −1

x=1⇔ x2

− x −1=0 ⇔ x= 1±√5

+) Với t = 2, ta có : x −1

x=2⇔x2

− 2 x +1=0 ⇔ x=1±√2 Kết luận : Phương trình đã cho có 4 nghiệm là : x= 1±√5

2 và x=1 ±√2

b) Ví dụ 7 : Giải phương trình : 2

3 x2−4 x+1+

13

3 x2+2 x +1=

6

x

Lời giải : ĐK x ≠ 0 , x ≠ 1và x ≠1

3 Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với :

2

3 x − 4+1

x

+ 13

3 x +2+1

x

=6

Đặt t = 3 x+1

x − 4, phương trình trở thành

2

t+

13

t+ 6=6

⇔2t2 + 7t – 4 = 0 ⇔ t = 12 hoặc t = -4

+) V ới t = 12, ta có : 3 x+1

x − 4 = 12

⇔ 6x2 – 11x + 4 = 0 ⇔ x = 43 hoặc x = 12

+) Với t = -4, ta có : 3 x+1

x − 4 = -4

⇔ 3x2 + 1 = 0 Phương trình này không có nghiệm thực

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 43 v à x = 12

d) Ví dụ 8 Giải phwơng trình : 1

x2+

1

( x +1)2=15

Lời giải : ĐK x ≠ 0 và x ≠ −1 Phương trình đã cho tương đương với :

( x+1)2+x2

x2.( x +1)2=15⇔(x ( x +1)1 )2+ 2

x ( x +1)=15 Đặt t = x (x +1)1 , phương trình trở thành

t2 +2t – 15 = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = -5

+) Với t = 3, ta có x (x +1)1 = 3 ⇔ 3x2 + 3x – 1 = 0

⇔ x = −3 ±6√21

+) Với t = -5, ta có x (x +1)1 = -5 ⇔ 5x2 + 5x +1 = 0.

⇔ x = −5 ±√5

Vậy phương trình có 4 nghiệm : −3 ±√21

2 Đặt hai ẩn phụ :

a) Ví dụ 9 Giải phương trình sau : (x − 2 x +1)2+ x+ 1

x −3=12 (x −3 x −2)2.

Lời giải ĐK : x 2 và x 3 Đặt u = x −2 x +1, v = x −2 x −3

Phương trình đã cho trở thành

u2 +uv = 12v2 ⇔ (u – 3v).(u + 4v) = 0

⇔ u = 3v hoặc u = -4v

+) Với u = 3v, ta có x −3 x +1 = 3 x −2 x −3

⇔ 2x2 – 16x + 9 = 0 ⇔ x = 8 ±√46

+) Với u = -4v, ta có x −3 x +1 = -4 x −2 x −3

⇔ 5x2 -12x + 19 = 0 Phương trình này không có nghiệm thực Vậy Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 8 ±√46

b) Ví dụ 10 Giải phương trình : (x − 2 x +3)2+ 6 (x −3 x +2)2− 7 (x

2

− 9)

x2−2 =0

Lời giải ĐK : x 2 và x -2 Đặt u = x −2 x +3, v = x −3 x +2 thì x2− 9

x2− 4 = uv Phương trình đã cho trở thành : u2 – 7uv + 6v2 = 0

⇔ (u – v).(u – 6v) = 0

⇔ u = v hoặc u = 6v

+) Với u = v, ta có : x −2 x +3 = x −3 x +2 ⇔ x2 + 5x +6 = x2 – 5x + 6

⇔ 10x = 0 ⇔ x = 0 (TMĐK)

+) Với u = 6v, ta có : x −2 x +3 = 6.x −3 x +2 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = 6 (TMĐK)

Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm : x = 0 ; x = 1 và x = 6

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Giải các phương trình sau :

1

1

6 x − 2005

2 x2

+ 25

3 x2

4 x52+ 6125

x2 +

210

x −

12 x

5 =0

5 1

x2+9 x +20+

1

x2+11 x+30+

1

x2+13 x +42=

1

18

6 1

x2+3 x +2+

1

x2+5 x +6+

1

x2+7 x +12+ +

1

x2+15 x +56=

1

14

7 x −1 x +2 − x −2

x+ 3 −

x −4

x +5+

x −5 x+6=0

8 1

x2 +2 x − 3+

18

x2 +2 x − 2=

18

x2 +2 x −1