DAP AN LY THUYET SO ĐỀ THI HỌC PHẦN LẦN 1

TRƯỜNG CĐSP TUYấN QUANG

Khoa tự nhiờn

Đề số 01

Đỏp ỏn - Đề thi học phần

Mụn: Lý thuyết số Lớp :Toỏn –Lý K16 Học kỳ II; năm học 2008-2009 Thời gian: 90 phỳt.

điểm

1

(3,0đ)

a) CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn

chia hết cho 9

Giải

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1

Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3

= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n

Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  3 (CM Ví dụ 1)CM Ví dụ 1))

 3(n - 1)n (n + 1)  9

9 18

9 ) 1 (





n n

 A  9 (CM Ví dụ 1)ĐPCM)PCM)

1,5 đ

c) Chứng minh rằng 2 24 1 7 11







n

với n  N

Ta có: 24  6 (mod) )  24n+1  2 (mod) 10))

 24n+1 = 10)q + 2 (q  N)

 2 24 1 2 10  2



n

Theo định lý Fermat ta có: 210)  1 (mod) 11)

 210)q  1 (mod) 11)

7 2

7





n

 4+7 (mod) 11)  0) (mod) 11) Vậy 22 4n1 711 với n  N (ĐPCM)

1,5đ

2

(4,0đ)

1. Chứng minh rằng n1728 1 0mod1729 với mọi

số nguyờn dương n.

Ta chỳ ý 1729  7 13 19 và 7, 13, 19 đều là cỏc số

nguyờn tố nờn theo định lý Fermat nhỏ, ta cú

) 19 (mod 1

; ) 13 (mod 1

; ) 7 (mod

6





) 19 (mod 1 ) (

; ) 13 (mod 1 ) (

; ) 7 (mod 1 )

1728











n

Vỡ 7, 13, 19 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn sử dụng

tớnh chất 9 của đồng dư ta cú 1728 1 (mod 1729 )



n

1,0 đ

1,0 đ 2) Chứng minh rằng với mọi a, n N*thỡ

1

1

m

a

a



Ta có

1

1 1

1

1

1 1 1 1 1

m m

m m

a











       

1

m

a

a



1,0 đ

1,0 đ

3

(3,0đ)

và x là một số thực tùy ý ta có  x x



 

d

 

 

  Khi đó

 

 

1

1

x

d

x

d x m d

 

   

 

1,5 đ

b) Giải hệ phương trình đồng dư :

2x+11 0 d9 3x 11 0 d10 4x-3 0 d5

mo mo mo















Đáp số : x 17  mod90

1,0 đ