Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong e2

Líi c£m ơn Trưîc khi trình bày nëi dung chính cõa khóa luªn, em xin bày tä lòng c£m ơn tîi các th¦y cô khoa Toán, trưíng Фi Håc SưPh¤m Hà Nëi 2, các th¦y cô trong tê bë môn Hình håc cũn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Thị Trà

HÀ NỘI – 2018

Möc löc

1

1 Ki¸n thùc têng quan v· các phép bi¸n hình 4

1.1 Phép bi¸n hình - Phép afin

4 1.1.1 Đành nghĩa 4

1.1.2 Tính ch§t .6

1.2 Phép díi hình .6

1.2.1 Đành nghĩa 6

1.2.2 Tính ch§t .7

1.3 Phép tành ti¸n .7

1.3.1 Đành nghĩa 7

1.3.2 Tính ch§t .8

1.3.3 Ví dö minh håa .8

1.4 Phép quay .10

1.4.1 Đành nghĩa 10

1.4.2 Tính ch§t .10

Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

6 Ví .161

K¸t luªn 45Tài li»u tham kh£o 46

Líi c£m ơn

Trưîc khi trình bày nëi dung chính cõa khóa luªn, em xin bày

tä lòng c£m ơn tîi các th¦y cô khoa Toán, trưíng Фi Håc SưPh¤m Hà Nëi 2, các th¦y cô trong tê bë môn Hình håc cũng nhưcác th¦y cô tham gia gi£ng d¤y đã tªn tình truy·n đ¤t nhúng trithùc quý báu và t¤o đi·u ki»n thuªn lñi đº em hoàn thành tètnhi»m vö khóa håc và khóa luªn

Đ°c bi»t, em xin bày tä sü kính trång và lòng bi¸t ơn sâu sctîi ThS Nguy¹n Thà Trà, ngưíi đã trüc ti¸p hưîng d¨n, ch¿ b£otªn tình giúp đï đº em có thº hoàn thành khóa luªn này

Do thíi gian, năng lüc và đi·u ki»n b£n thân còn h¤n ch¸ nênb£n khóa luªn không thº tránh khäi nhúng sai sót Vì vªy, em r§tmong nhªn đưñc nhúng ý ki¸n góp ý quý báu cõa các th¦y cô vàcác b¤n

Hà Nëi, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Ph¤m Thà Tuy¸t

Chinh

Líi cam đoan

Em xin cam đoan đ· tài này là do em thüc hi»n, đó là k¸t qu£quá trình nghiên cùu cõa em dưîi sü hưîng d¨n cõa ThS Nguy¹nThà Trà và đ· tài này không trùng vîi các khóa luªn khác

Hà Nëi, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Ph¤m Thà Tuy¸t

Chinh

là công cö đº gi£i toán mà còn giúp các em làm quen vîi phươngpháp tư duy và suy luªn mîi, bi¸t nhìn sü vªt hi»n tưñng xungquanh vîi quan điºm vªn đëng bi¸n đêi, góp ph¦n rèn luy»n chohåc sinh tính sáng t¤o trong håc tªp

Hình håc ph¯ng có nhi·u d¤ng toán khó, mët trong sè đó làbài toán düng hình Ph¦n lîn nhúng bài toán düng hình håcph¯ng ch¿ dành cho håc sinh khá, giäi và dùng trong các kì thiOlympic ho°c thi håc sinh giäi Toán Đèi vîi d¤ng toán này, quátrình đi tø bưîc "Phân tích" đ¸n "Düng hình" thưíng không đơngi£n và d¹ gây nh¦m l¨n Líi gi£i cõa các bài toán düng hình håcph¯ng thưíng dài và phùc t¤p, tuy nhiên khi bi¸t cách áp döng

phép bi¸n hình mët cách linh ho¤t vào trong nhúng líi gi£i đó thìchúng trð nên ngn gån và d¹ hiºu

hơn r§t nhi·u Bên c¤nh đó, vi»c sû döng công cö phép bi¸n hìnhvào bài toán düng hình cũng cho th§y mët cách gi£i đëc đáo mànhi·u đèi tưñng håc sinh có thº tư duy và ti¸p cªn đưñc

Vîi nhúng nét đµp trên cõa phép bi¸n hình cùng sü hưîng d¨ncõa ThS Nguy¹n Thà Trà, em đã m¤nh d¤n nghiên cùu đ· tài

"Phép bi¸n hình và ùng döng gi£i toán düng hình trong E2" .Trong khóa luªn này, em đã nghiên cùu, tìm hiºu và trình bàynhúng ki¸n thùc cơ b£n v· các phép bi¸n hình Bên c¤nh đó, emcũng đưa ra mët sè ví dö, bài tªp liên quan đ¸n các bài toán dünghình mà có thº ùng döng phép bi¸n hình đº gi£i Thông qua bàitoán düng hình, ta có thº th§y đưñc sü v¤n năng cõa phép bi¸nhình Tø đó, em mong muèn ngưíi đåc, các b¤n sinh viên, håcsinh yêu thích môn Toán và có thêm sü hùng thú vîi các bài toánhình håc

phép bi¸n hình trong không gian E2

Tìm hiºu cách gi£i mët sè bài toán düng hình trong E2 ùng döng

phép bi¸n

hình

Đưa ra mët sè bài tªp düng hình chån låc có thº gi£i b¬ng cách

sû döng phép bi¸n hình

5 Phương pháp nghiên cùu

Nghiên cùu lý luªn, phân tích, têng hñp, đánh giá

Nghiên cùu sách giáo trình, sách tham kh£o và các tài li»u liên quan đ¸n v§n đ· này

6 C§u trúc khóa luªn Khóa luªn gçm hai chương

Chương 1: Ki¸n thùc têng quan v· các phép bi¸n hình

Chương 2: Ùng döng phép bi¸n hình vào gi£i mët sè bài toán düng hình trong E2

Chương 1

Ki¸n thùc têng quan v· các

phép bi¸n hình

Trong chương này em đưa ra đành nghĩa, các tính ch§t cơ b£n và ví

dö cõa các phép bi¸n hình trong m°t ph¯ng Ph¦n chùng minhchi ti¸t chúng ta có thº tham kh£o ð tài li»u [1], [3], [4]

Đành nghĩa 1.1 Mët tªp hñp điºm khác réng là mët

hình

Đành nghĩa 1.2 Gi£ sû cho mët hình P Mët song ánh tø Pvào chính nó đưñc gåi là mët phép bi¸n hình cõa P

Như vªy cho mët phép bi¸n hình f : P → P là cho mët quy tc đºvîi

Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

(ii)Vîi méi điºm M 0 thuëc P luôn có mët điºm M thuëc P saocho

f(M ) = M 0

Khi đó điºm f(M ) đưñc gåi là £nh cõa điºm M , điºm M đưñc gåi

là t¤o £nh cõa f(M ) qua phép bi¸n hình f

N¸u H là mët hình nào đó cõa P thì ta xác đành tªp

Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

Đành nghĩa 1.4 Mët phép bi¸n hình trong không gian Ơclit

đa giác thành đa giác có cùng sè c¤nh, góc thành góc

3.Phép afin b£o toàn tính song song cõa hai đưíng th¯ng

4.Phép afin bi¸n vectơ têng thành têng các vectơ tương ùng.5.Phép afin b£o toàn t sè đơn cõa ba điºm th¯ng hàng

6.Phép afin b£o toàn trung điºm cõa đo¤n th¯ng và b£o toàn t

sè cõa các đo¤n th¯ng song song vîi nhau

chúng l¦n lưñt là M 0 = f(M ), N0 = f(N) ta luôn có M 0N0 =MN

1 0

1.3 Phép tành ti¸n

1.3.1 Đành nghĩa

Trong E2 cho vectơ ~v = ~0, phép tành ti¸n bi¸n méi điºm M thành

1 1

điºm M 0 sao cho

v

= e (e làphép đçng nh§t)

3.Tích cõa hai phép tành ti¸n T~v và Tv~0 là mët phép tành ti¸n vîi vectơ tành ti¸n b¬ng ~v + v~0

4.Phép tành ti¸n hoàn toàn đưñc xác đành n¸u ta bi¸t đưñc vectơ tành ti¸n ~v cõa nó

1.3.3 Ví dö minh

håa

Ví dö 1.3.1 Tø đ¿nh B cõa hình bình hành ABCD k´ các đưíngcao BK và BH cõa nó Bi¸t r¬ng KH = a, BD = b Tínhkho£ng cách tø điºm B đ¸n trüc tâm cõa tam giác BKH

D, điºm B bi¸n thành mët điºm P nào đó

Do BH1 ⊥ KH nên P H ⊥ KH Ta cũng có P H = BH1

A0N = AM , do đó đë dài đưíng AM NB b¬ng A0N + NB + MN Vì

MN không đêi nên ta c¦n tìm điºm N sao cho A0N + NB nhänh§t.

Rõ ràng A0N + NB nhä nh§t khi N n¬m trên đo¤n th¯ng A0B”,tùc

N là giao điºm cõa bí sông g¦n làng B và đo¤n th¯ng

a, OM = OM

0;

Gåi là phép quay tâm O vîi góc quay ϕ.

Kí hi»u Qϕ ho°c Q(O, ϕ)

3.N¸u phép quay tâm O vîi góc quay ϕ bi¸n điºm M thành điºm

M 0 thì phép quay tâm O vîi góc quay −ϕ bi¸n điºm M 0 thành điºm M nghĩa là (QO Oϕ )−1 = Q−ϕ

4.Qua phép quay tâm O góc quay α n¸u điºm M bi¸n thành điºm

góc giúa hai vectơ tương ùng b¬ng góc quay ϕ.

5.Phép quay hoàn toàn đưñc xác đành n¸u bi¸t tâm quay O và góc quay ϕ

Đành lý 1.1 Tích cõa hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung

là mët phép quay vîi góc quay b¬ng têng cõa hai góc quay cõa haiphép quay đã cho, hay đ°c bi»t là mët phép tành ti¸n n¸u hai phépquay đã cho có các góc đèi nhau

Q60 O : C 7→ D; 0 0

Vì góc quay là 60o nên 4OCD là tam giác đ·u

Ví dö 1.4.2 Trong m°t ph¯ng tåa đë Oxy cho điºm A(4, 1) Hãy tìm

tåa đë điºm A0 là £nh cõa A qua phép quay tâm O góc quay −90o

A0(a,b) −→ −−→

Vì A0 = Q−90 (A) nên OA = OA0 và (OA, OA0) = −90o

hay √

42 + 12 = √

a2 + b2 và 3a + 4b = 0Suy ra A0(1, −4) ho°c A0(−1, 4)

Thû l¤i đi·u ki»n ( →

Kí hi»u: Đd và ta có Đd(M ) = M

0

1.5.2 Tính ch§t

1.Phép đèi xùng tröc là mët phép díi hình nên nó có đ¦y đõ các tính ch§t cõa phép díi hình

2.Qua phép đèi xùng tröc d n¸u M 0 là £nh cõa M thì M l¤i là

£nh cõa M 0 qua phép đèi xùng tröc đó Hay ta suy ra tíchcõa mët phép đèi xùng tröc vîi chính nó là phép đçng nh§t.3.Måi điºm cõa tröc đèi xùng d đ·u là điºm kép

4.Méi đưíng th¯ng a vuông góc vîi tröc đèi xùng d đ·u bi¸nthành chính nó (các điºm ngo¤i trø giao điºm cõa a vîi dđ·u không ph£i điºm kép)

5.Phép đèi xùng tröc hoàn toàn đưñc xác đành n¸u bi¸t tröc đèi xùng cõa nó

Líi gi£i.

Kí hi»u £nh cõa các điºm A và B qua phép đèi xùng qua đưíng th¯ng

Líi gi£i.

K´ qua A đưíng th¯ng l song song vîi c¤nh BC Ta gåi £nh cõa các điºm B và C qua phép đèi xùng tröc l là B0 và C0 tương ùng.Khi đó b + c = CA + AB = CA + AB0 > CB0 = √

CB2 +

B0B2

Tùc b + c > pa2 +

(2ha)2

Tø đó suy ra h2 6 1 [(b + c)2 − a2] = p(p −a) a

4

1.6 Phép đèi xùng tâm

1.6.1 Đành

nghĩa

Trong E2 cho mët điºm O cè đành, phép bi¸n hình bi¸n méi điºm

M thành mët điºm M 0 đº O là trung điºm cõa đo¤n MM 0 gåi làphép đèi xùng tâm O Điºm O đưñc gåi là tâm đèi xùng

Kí hi»u: ĐO và ta có ĐO(M ) = M

0

1.6.2 Tính

ch§t

1.Phép đèi xùng tâm là mët phép díi hình nên nó có đ¦y đõ các tính ch§t cõa mët phép díi hình.

2.Qua phép đèi xùng tâm O n¸u M 0 là £nh cõa M thì M l¤i là

5.Phép đèi xùng tâm hoàn toàn xác đành n¸u cho bi¸t tâm đèi xùng

Gi£ sû trong 4ABC đưíng trung tuy¸n BD là đưíng phân giác Xét điºm B1 là £nh cõa điºm B qua phép đèi xùng tâm D.

Vì D là trung điºm đo¤n th¯ng AC nên tù giác ABCB1 là hình bình

hành

Do A\BB1 = B\1BC = A\B1B nên 4B1AB cân và AB

= AB1 = BC

suy ra 4ABC cân t¤i B

Ví dö 1.6.2 Chùng minh r¬ng n¸u mët tù giác có tâm đèi xùng thì nó ph£i là mët hình bình hành

Líi gi£i

Gi£ sû tù giác ABCD có tâm đèi xùng là I

Qua phép đèi xùng tâm I, tù giác ABCD bi¸n thành chính nó nên đ¿nh A ch¿ có thº bi¸n thành A, B, C hay D

N¸u đ¿nh A bi¸n thành chính nó thì A trùng vîi I

Khi đó tù giác có hai đ¿nh đèi xùng qua đ¿nh A Đi·u đó vô lí.N¸u A bi¸n thành điºm B ho°c D thì tâm đèi xùng thuëc các c¤nh

AB ho°c AD cõa tù giác nên suy ra đi·u vô

lí Vªy A ch¿ có thº bi¸n thành đ¿nh C

Lí luªn tương tü đ¿nh B ch¿ có thº bi¸n thành đ¿nh D

Khi đó tâm đèi xùng I là giao điºm cõa hai đưíng chéo AC và BD

nên tù giác ABCD là hình bình hành

1.7 Phép và tü

1.7.1 Đành nghĩa

Trong E2 cho mët điºm O cè đành và mët sè k = 0 Phép bi¸n hình

Kí hi»u: V k ho°c V (O, k).

Điºm O đưñc gåi là tâm và tü, sè k gåi là t¿ sè và tü

3.Phép và tü bi¸n mët góc thành mët góc b¬ng nó

4.Phép và tü V kbi¸n đưíng tròn tâm I bán kính R thành đưíngtròn tâm I0 bán kính R0, trong đó I0 = V k(I) và R0 = |k|R

Đành lý 1.2 Tích cõa phép và tü đçng tâm O, có t¿ sè và tü l¦nlưñt là k1, k2 là mët phép và tü đçng tâm O và t¿ sè là k1.k2.

Đành lý 1.3 Tích cõa hai phép và tü khác tâm là mët phép và tü

có tâm th¯ng hàng vîi hai tâm cõa hai phép và tü đã cho, ho°c đ°cbi»t là mët phép tành ti¸n ho°c mët phép đçng nh§t

1.7.3 Ví dö minh

håa

Ví dö 1.7.1 Trong m°t ph¯ng Oxy cho hai điºm A(4, 5) và I(3,

−2) Tìm £nh cõa A qua phép và tü tâm I t¿ sè k = 3

Líi gi£i

Gåi A0(x, y) là £nh cõa A qua phép và tü tâm I t¿ sè k =

3

Ta có: →

A0 = 3−

I→

A suy ra x − xI = 3(xA − xI ) và y − yI = 3(yA − yI )

Thay tåa đë điºm I và A vào ta đưñc x = 6 và y =

19 Do đó A0(6, 19)

Vªy £nh cõa điºm A qua phép và tü tâm I t¿ sè k = 3 là A0(6,19)

Ví dö 1.7.2 Cho ba đưíng tròn b¬ng nhau (O1), (O2), (O3) cùng

đi qua điºm A và đôi mët ct nhau t¤i P, Q, R Chùng minh r¬ngcác đưíng tròn: đưíng tròn ngo¤i ti¸p 4O1O2O3 và đưíng trònngo¤i ti¸p

I 7→ P

là phương tích nghàch đ£o.

thì tù giác MM 0N0N là tù giác nëi ti¸p.

3.N¸u phương tích nghàch đ£o k > 0 thì qua phép nghàch đ£o

có điºm kép nên không có đưíng tròn nghàch đ£o

4.Đi·u ki»n c¦n và đõ đº M và M 0 là £nh cõa nhau trong phép

nghàch đ£o Nklà có hai vòng tròn đi qua M, M0 và trüc giao

vîivòng tròn nghàch đ£o cõa Nk

5.Phép nghàch đ£o b£o tçn góc giúa hai đưíng cong nhưng làm ngưñc hưîng cõa hình

Đành lý 1.4 Cho hai điºm M, N và £nh M 0, N0 cõa chúng qua phép nghàch đ£o Nk Đë dài cõa MN và M 0N0 liên h» bði công thùc sau:

M 0N0 = | k | M N

OM.ON

Đành lý 1.5 Phép nghàch đ£o bi¸n đưíng th¯ng không đi quacüc nghàch đ£o thành đưíng tròn đi qua cüc nghàch đ£o và bi¸nđưíng tròn đi qua cüc nghàch đ£o thành đưíng th¯ng không đi quacüc nghàch đ£o

Đành lý 1.6 Phép nghàch đ£o bi¸n đưíng tròn không đi quacüc nghàch đ£o thành đưíng tròn không đi qua cüc nghàch đ£o, bi¸nđưíng th¯ng đi qua cüc nghàch đ£o thành chính nó

Chùng minh r¬ng vîi M ð trong (O, R) ta có:

SA0 B 0 C 0

SABC

M A0 .M B 0 .M C 0

=MA.M B.M C

A0B0 = |k |AB

; B0C0 = |k |B C

; C0A0 = |k |C A

MA.M B MB.M C MA.M CThay vào (1.1) ta có đi·u ph£i chùng minh

Ví dö 1.8.2 Cho 4 điºm th¯ng hàng A, B, C, D Tìm cüc nghàch đ£o bi¸n méi điºm này thành đ¿nh cõa mët hình chú nhªt

Khi đó O n¬m ngoài đưíng th¯ng chùa A, B, C, D

Phép nghàch đ£o bi¸n đưíng th¯ng d chùa 4 điºm đã cho thànhvòng tròn (C) chùa c£ A0, B0, C0, D0 và điºm O.

Do A0B0 ⊥ C0B0 nên A0O ⊥ C0O (A0B0C0O là tù giác nëi ti¸p) hayO

n¬m trên đưíng tròn đưíng kính AC Tương tü B0C0 ⊥ C0D0 suy

ra O n¬m trên đưíng tròn đưíng kính BD; C0D0 ⊥ D0A0 suy ra On¬m trên đưíng tròn đưíng kính AC

Vªy O là giao điºm cõa đưíng tròn đưíng kính AC và đưíngtròn đưíng kính BD

2.1 Phép tành ti¸n vîi bài toán düng hình

Bài toán 1: Cho hai đưíng tròn (S1) và (S2) và mët điºm A Hãy k´

qua A đưíng th¯ng d sao cho nó ct (S1) và (S2) theo các dây cung