Hình học AFIN trên mặt phẳng

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo công táctrong khoa Toán và các thầy cô giáo công trong trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – Năm 2018

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm – Giảng viên trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2 Người đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp

đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành khóa luận

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo công táctrong khoa Toán và các thầy cô giáo công trong trong trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường

và tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này Do lần đầu tiênlàm quen với công tác nghiên cứu khoa học, năng lực của bản thâncòn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạnđọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Lê Thị Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứucủa bản thân em và sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn NăngTâm

Trong khóa luận này em có tham khảo những tài liệu có liên quan

đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo Em xin cam khóaluận này không trùng với bất kì khóa luận nào và em xin chịu hoàntoàn tránh nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Lê Thị Tuyết

LỜI MỞ ĐẦU 1

1.1 Không gian vectơ 3

1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ 3

1.1.2 Một số tính chất của không gian vectơ 4

1.2 Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 5 1.2.1 Các định nghĩa 5

1.2.2 Điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính 6

1.3 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ 7

1.4 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 8

2 MẶT PHẲNG AFIN 12 2.1 Định nghĩa mặt phẳng afin 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Các tính chất đơn giản 13

2.2 Tọa độ afin 14

2.2.1 Mục tiêu afin 14

2.2.2 Tọa độ afin của điểm 14

2.2.3 Đổi tọa độ afin 15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT

2.3 Phương trình đường thẳng 16

2.3.1 Phương trình tham số của đường thẳng 16

2.3.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 17

2.4 Tỉ số đơn, tâm tỉ cự 18

2.4.1 Tỉ số đơn 18

2.4.2 Tâm tỉ cự 19

2.5 Một số ví dụ 20

3 ĐƯỜNG TRONG A2 24 3.1 Đường bậc hai 24

3.1.1 Định nghĩa 24

3.1.2 Giao của đường bậc hai với đường thẳng 25

3.1.3 Tâm 27

3.1.4 Điểm kì dị 29

3.1.5 Phương tiệm cận và đường tiệm cận 30

3.1.6 Siêu phẳng kính liên hợp của đường bậc hai 30

3.1.7 Tiếp tuyến của đường bậc hai 32

3.2 Phân loại các đường bậc hai 34

3.2.1 Phương trình chuẩn tắc của đường bậc hai 34

3.2.2 Phân loại các đường bậc hai trong A2 37

3.3 Một số ví dụ 37

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về chuyên ngành hìnhhọc, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trìnhtoán phổ thông

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và được sựhướng dẫn của thầy hướng dẫn, em đã chọn đề tài “Hình học afintrên mặt phẳng” để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống lại một số khái niệm,định lý và tính chất cơ bản của hình học afin trên mặt phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số lý thuyết cơ bản về hình học afin trên mặtphẳng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức cơ bản về hình họcafin trên mặt phẳng

+ Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về hình học afin trên mặtphẳng qua các tài liệu liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đếnnội dung nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Mặt phẳng afin

Chương 3: Đường trong A2

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược về không gian vectơ Các kiến thức nàyphục vụ cho việc xây dựng mặt phẳng afin trình bày ở chương sau.Các kiên thức của chương được viết dựa trên tài liệu [2], [5]

1.1 Không gian vectơ

1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ

Định nghĩa 1.1 Cho R là một trường.Tập V khác rỗng được gọi làmột không gian vectơ trên R và các phần tử của V gọi là vectơ nếutập V được trang bị hai phép toán, gồm:

1 Phép cộng:

+ : V × V −→ V

(−→a ,−→b ) 7−→ −→a +−→b

2 Phép nhân:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT

(V5) (m + n)~a = m~a + n.~a, ∀m, n ∈ R, ∀~a ∈ V

(V6) m.(~a + ~b) = m.~a + m.~b, ∀m ∈ R, ∀~a,~b ∈ V

(V7) m(n~a) = (mn)~a, ∀m, n ∈ R, ∀~a ∈ V

(V8) 1.~a = ~a, ∀~a ∈ V

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gianvectơ trên trường R hay R− không gian vectơ (gọi tắt là không gianvectơ thực)

1.1.2 Một số tính chất của không gian vectơ

Giả sử V là một R− không gian vectơ Ta có các tính chất sau đượcsuy ra từ định nghĩa của không gian vectơ

Tính chất 1: Vectơ ~0 nói trong tiên đề (V2) là duy nhất, đó là phần

tử trung lập của phép cộng và được gọi là vectơ không

Tính chất 2: Với mọi vec tơ ~a ∈ V, phần tử ~a0 nói trong tiên đề (V3)

là duy nhất Nó là phần tử đối của ~a đối với phép cộng trong V và kí

Tính chất 6: Với mọi m ∈ R,~a ∈ V ta có:

(−m)~a = m(−~a) = −(m~a)

1.2 Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc

Các vec tơ −→a

1, −→a

2, , −→a

k gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các

số p1, p2, , pk không đồng thời bằng 0 sao cho p1.−→a

1 + p2.−→a

2 + +

pk.−→a

k = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT

Trong trường hợp ngược lại, các vectơ −→a

1, −→a

2, , −→a

k được gọi là độclập tuyến tính Nói cách khác, nếu các vectơ −→a

1, −→a

2, , −→a

k gọi là độclập tuyến tính thì ta có đẳng thức p1.−→a

k(k > 1) phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là tổ hợp tuyến tính củacác vectơ còn lại

Định lý 1.2 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính

là chúng cùng phương

Chứng minh

Nếu hai vectơ −→α

1 và −→α

2 cùng phương, ta sẽ chứng minh rằng có số p1sao cho −→a

1,−→a

2 = −→a

2

−→e

2 Suyra: −→e

1 = 1

−→a

1

.−→a

1, −→e

2 = 1 ... data-page="19">

Khi ba (A, ϕ, V2) gọi mặt phẳng afin liên kết với

V2 ánh xạ liên kết ϕ Còn gọi tắt mặt phẳng afin A trêntrường R Không gian vectơ liên kết V2... afin A2 Điểm O làgốc mục tiêu, {−→e

1, −→e

2} gọi sở mục tiêu

2.2.2 Tọa độ afin điểm

Trong mặt phẳng. .. class="page_container" data-page="20">

Khóa luận tốt nghiệp Đại học LÊ THỊ TUYẾT

2.2 Tọa độ afin< /h3>

2.2.1 Mục tiêu afin

Trong A2 trường số R cho điểm O sở