Hình học EUCLID trên mặt phẳng

I7: Tçn t¤i bèn iºm khæng còng thuëc mët m°t ph¯ng.. II3: Trong ba iºm còng thuëc mët ÷íng th¯ng câ khæng qu¡ mët iºm ð giúa hai iºm kia... cos ϕMët sè t½nh ch§t cõa t½ch væ h÷îng cõa ha

H€ NËI  N«m 2018

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung cõa khâa luªn, em xin gûi líi c£m ìn

tîi c¡c th¦y, cæ gi¡o trong Khoa To¡n  Tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m

H  Nëi 2 ¢ truy·n cho em ni·m c£m hùng còng nhúng tri thùc quþ

b¡u º em ho n th nh khâa luªn tèt nghi»p v  ho n th nh nhi»m vö

khâa håc

°c bi»t hìn núa, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c

tîi th¦y gi¡o PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m l  ng÷íi trüc ti¸p h÷îng

d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh, gióp ï em º em câ thº ho n th nh khâa luªn

n y

Do buêi ¦u l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cùu khoa håc n¶n b£n

khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât m  b£n th¥n ch÷a th§y

÷ñc V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa th¦y

cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ¦y õ v  ch½nh x¡c hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 17 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶nNguy¹n Thà H 

D÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o PGS.TS Nguy¹n N«ngT¥m khâa luªn chuy¶n ng nh h¼nh håc vîi · t i H¼nh håc Euclidtr¶n m°t ph¯ng ÷ñc ho n th nh bði qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶ncùu cõa b£n th¥n, khæng tròng vîi b§t cù khâa luªn n o kh¡c.

Trong khi nghi¶n cùu ho n th nh · t i nghi¶n cùu n y em ¢ thamkh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o

H  Nëi, ng y 17 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà H 

Líi c£m ìn 1

1 Mët sè kh¡i ni»m v  ti¶n · trong h¼nh håc Euclid 7

1.1 H» ti¶n · cõa h¼nh håc Euclid 7

1.1.1 S¡u kh¡i ni»m cì b£n 7

1.1.2 C¡c ti¶n · ÷ñc ph¥n th nh 5 nhâm 7

1.2 H» ti¶n · vectì cõa h¼nh håc Euclid 9

2 Mæ h¼nh vectì tr¶n m°t ph¯ng Euclid 18 2.1 H» tröc tåa ë · c¡c vuæng gâc 18

2.2 Tåa ë cõa iºm 19

2.3 Tåa ë cõa vectì 20

2.4 Biºu thùc cõa t½ch væ h÷îng cõa hai vectì theo tåa ë cõa chóng 22

2.5 V½ dö 23

3.1 ÷íng th¯ng trong m°t ph¯ng Euclid 25

3.1.1 Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ng 25

3.1.2 Ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t cõa ÷íng th¯ng 27

3.1.3 Và tr½ t÷ìng èi cõa hai ÷íng th¯ng trong m°t ph¯ng 28

3.1.4 Gâc giúa hai ÷íng th¯ng trong m°t ph¯ng 30

3.1.5 Kho£ng c¡ch tø mët iºm ¸n mët m°t ph¯ng 32

3.2 ÷íng bªc hai trong m°t ph¯ng Euclid 33

3.2.1 ÷íng trán 33

3.2.2 Elip 36

3.2.3 Hypebol 41

3.2.4 Parabol 46

1 Lþ do chån · t i

To¡n håc l  mët mæn khoa håc chi¸m mët và tr½ h¸t sùc quan trång.To¡n håc l  cì sð, l  n·n t£ng nghi¶n cùu c¡c mæn khoa håc kh¡c Trongqu¡ tr¼nh håc tªp, tæi ÷ñc nghi¶n cùu v· chuy¶n ng nh h¼nh håc, mët

bë phªn quan trång v  t÷ìng èi khâ trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng.Vîi mong muèn ÷ñc nghi¶n cùu s¥u v· h¼nh håc v  t¼m hiºu s¥u hìnnúa v· h¼nh håc Euclid tæi ¢ chån · t i H¼nh håc Euclid tr¶n m°tph¯ng l m khâa luªn tèt nghi»p

Nëi dung ch½nh cõa khâa luªn gçm câ 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Mët sè kh¡i ni»m v  ti¶n · trong h¼nh håc Euclid

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Tr¼nh b y cì b£n v· h¼nh håc Euclid tr¶n m°t ph¯ng

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: H¼nh håc Euclid tr¶n m°t ph¯ng

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: C¡c t i li»u tham kh£o li¶n quan ¸n h¼nhhåc Euclid

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Têng hñp ki¸n thüc thu nhªp ÷ñc qua nhúng t i li»u li¶n quan ¸n

· t i v  sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cõa h¼nh håc

6 âng gâp cõa · t i

X¥y düng khâa luªn th nh mët t i li»u têng quan tèt cho sinh vi¶nvîi · t i H¼nh håc Euclid tr¶n m°t ph¯ng

Do l  l¦n ¦u ti¶n thüc tªp nghi¶n cùu, thíi gian câ h¤n v  n«ng lücb£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b i nghi¶n cùu n y khâ tr¡nh khäi nhúng saisât Em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp, þ ki¸n cõa c¡c th¦y, cægi¡o v  b¤n åc º · t i ÷ñc ho n ch¿nh v  ¤t k¸t qu£ cao hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Mët sè kh¡i ni»m v  ti¶n · trong h¼nh håc Euclid

Ch÷ìng n y tr¼nh b y sì l÷ñc v· kh¡i ni»m v  ti¶n · trong h¼nhhåc Euclid C¡c ki¸n thùc n y phöc vö cho vi»c x¥y düng c¡c mæ h¼nhvectì v  ÷íng trong m°t ph¯ng Euclid ð ch÷ìng sau C¡c ki¸n thùc cõach÷ìng ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c t i li»u [1], [4], [5]

1.1 H» ti¶n · cõa h¼nh håc Euclid

1.1.1 S¡u kh¡i ni»m cì b£n

iºm, ÷íng th¯ng, m°t ph¯ng, thuëc, ð giúa, to n ¯ng

1.1.2 C¡c ti¶n · ÷ñc ph¥n th nh 5 nhâm

Nhâm I (C¡c ti¶n · li¶n "thuëc")

I1: Câ ½t nh§t hai iºm thuëc méi ÷íng th¯ng

I2: Câ mët v  ch¿ mët ÷íng th¯ng thuëc hai iºm ph¥n bi»t chotr÷îc

I3: Câ ½t nh§t ba iºm khæng còng thuëc mët ÷íng th¯ng.

I4: Câ mët v  ch¿ mët m°t ph¯ng thuëc ba iºm khæng th¯ng h ng(khæng còng thuëc mët ÷íng th¯ng) M°t ph¯ng câ ½t nh§t mët iºm.I5: ÷íng th¯ng câ hai iºm thuëc mët m°t ph¯ng th¼ måi iºm cõa

÷íng th¯ng ·u thuëc m°t ph¯ng â

I6: Hai m°t ph¯ng ph¥n bi»t câ mët iºm chung th¼ cán câ mët iºmchung thù hai kh¡c núa

I7: Tçn t¤i bèn iºm khæng còng thuëc mët m°t ph¯ng

Nhâm II (C¡c ti¶n · v· thù tü)

II1: N¸u iºm B ð giúa hai iºm A v  C th¼ A, B, C l  ba iºm ph¥nbi»t còng thuëc mët ÷íng th¯ng v  iºm B ð giúa hai iºm C v  A.II2: B§t ký hai iºm A v  C n o công câ mët iºm B sao cho C ðgiúa A v  B

II3: Trong ba iºm còng thuëc mët ÷íng th¯ng câ khæng qu¡ mët

iºm ð giúa hai iºm kia

II4: Cho ba iºm A, B v  C khæng còng thuëc mët ÷íng th¯ng v cho ÷íng th¯ng a khæng i qua hai iºm n o trong ba iºm â Khi

â n¸u ÷íng th¯ng a thuëc mët iºm ð giúa A v  B th¼ khi â nâ cánthuëc mët iºm ð giúa B v  C ho°c ð giúa C v  A

Nhâm III (C¡c ti¶n · v· to n ¯ng)

III1: Cho iºm A thuëc ÷íng th¯ng a Ngo i ra cho CD l  mët

o¤n th¯ng b§t k¼ (o¤n th¯ng hiºu l  tªp hñp gçm hai iºm) Khi

â hai iºm B1, B2 thuëc a sao cho AB1, AB2 b¬ng o¤n CD K½ hi»u

AB1 = CD, AB2 = CD Vîi méi o¤n th¯ng AB ta ·u câ AB = BA.III2: Quan h» giúa c¡c o¤n th¯ng câ t½nh ch§t ph£n x¤, èi xùng,

b­c c¦u, cö thº l :

1 AB = BA

2 N¸u AB = CD th¼ CD = AB

3 N¸u AB = CD, CD = EF th¼ AB = EF

III3: Cho iºm B ð giúa hai iºm A v  C, iºm B0 ð giúa hai iºm

A0 v  C0 Khi â n¸u AB = A0B0, AC = A0C0 th¼ BC = B0C0

III4: N¸u hai tam gi¡c ABC v  A0B0C0 câ AB = A0B0, AC = A0C0, [BAC =

\

B0A0C0 th¼ [BAC = \A0B0C0, [ACB = \A0C0B0 v  BC = B0C0

Nhâm IV (Nhâm c¡c ti¶n · li¶n töc)

IV1: Vîi b§t k¼ hai o¤n th¯ng AB v  CD bao gií công câ sè tü nhi¶n

n sao chon AB > CD

IV2: Gi£ sû tr¶n ÷íng th¯ng a cho mët d¢y væ h¤n c¡c o¤n th¯ng

A1B1, A2B2, AnBn, sao cho méi o¤n th¯ng n¬m trong o¤n th¯ngtr÷îc nâ v  b§t k¼ o¤n th¯ng CD n o cho tr÷îc bao gií công câ sè tünhi¶n n º AnBn < CD Khi â tr¶n ÷íng th¯ng a câ mët iºm Xthuëc måi o¤n th¯ng cõa d¢y ¢ cho

Nhâm V (Ti¶n · v· ÷íng th¯ng song song)

V: Qua méi iºm A khæng thuëc ÷íng th¯ng a câ khæng qu¡ mët

÷íng th¯ng b còng n¬m trong m°t ph¯ng P = (A, a) khæng câ iºmchung vîi a

1.2 H» ti¶n · vectì cõa h¼nh håc Euclid

ành ngh¾a 1.2.1 Vectì l  mët c°p iºm (X; Y ) s­p thù tü v  ÷ñck½ hi»u l  −−→XY, trong â X ÷ñc gåi l  iºm ¦u, Y ÷ìc gåi l  iºmcuèi cõa vectì

Vectì câ iºm ¦u v  cuèi tròng nhau ÷ñc gåi l  vectì khæng v  k½hi»u l  −→0.

Khi ta khæng quan t¥m iºm ¦u v  iºm cuèi cõa vectì, vectì cán

÷ñc k½ hi»u l : −→a ,−→

b , −→x , −→y ,

ành ngh¾a 1.2.2 Hai vectì −−→XY v  −→ZT ÷ñc gåi l  còng ph÷ìng vîinhau n¸u ÷íng th¯ng XY v  ÷íng th¯ng ZT song song ho°c tròngnhau

ành ngh¾a 1.2.3 Hai vectì còng ph÷ìng −−→XY v  −→ZT ÷ñc gåi l  còngh÷îng vîi nhau n¸u chóng câ còng h÷îng i tø iºm ¦u ¸n iºm cuèi,ng÷ñc l¤i ÷ñc gåi l  hai vectì ng÷ñc h÷îng vîi nhau

ành ngh¾a 1.2.4 ë d i o¤n th¯ng XY ÷ñc gåi l  ë d i cõa vectì

XY = −→x ,−→Y Z = −→y Khi â ta câ −→x + −→y = −−→XZ.

Vªy vîi ba iºm X, Y v  Z b§t k¼ trong m°t ph¯ng ta câ:−−→XY +−→

iv T½nh ch§t cëng vîi vectì èi: −→x + (−−→x ) = −→0, trong â (−−→x )

÷ñc gåi l  vectì èi cõa vectì −→x v  câ ë d i b¬ng ë d i vectì −→anh÷ng h÷îng ng÷ñc chi·u vîi vectì −→a

ành ngh¾a 1.2.7 Cho vectì −→x v  sè thüc λ, t½ch cõa chóng l  mëtvectì, k½ hi»u l  k−→x v  ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

k gåi l  phö thuëc tuy¸n t½nh n¸u tçn t¤i c¡c

sè p1, p2, · · · , pk khæng çng thíi b¬ng 0 sao cho

2, · · · , −→a

k gåi l  ëc lªp

k (k > 1) phö thuëc tuy¸n t½nh khi

v  ch¿ khi câ ½t nh§t mët trong c¡c vectì §y l  tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡cvectì cán l¤i

ành lþ 2 i·u ki»n c¦n v  õ º hai vectì phö thuëc tuy¸n t½nh l chóng còng ph÷ìng

Chùng minh ành lþ 2:

i·u ki»n c¦n: Gi£ sû −→a1 v  −→a2 phö thuëc tuy¸n t½nh

Theo ành l½ 1 ta câ: −→a1 = p1−→a

2 ho°c −→a2 = p2.−→a

1

Nh÷ vªy hai vectì −→a1 v  −→a2 còng ph÷ìng

i·u ki»n õ: N¸u hai vectì −→a1 v  −→a2 còng ph÷ìng, ta s³ chùng minhr¬ng câ sè p sao cho −→a1 = p.−→a

2 ho°c câ sè p sao cho −→a1 = p.−→a

2 Ta ch¿c¦n x²t tr÷íng hñp −→a1 6= 0 v  −→a2 6= 0

Gåi −→e1 v  −→e2 l  c¡c vectì ìn và còng h÷îng −→a1 v  −→a2 V¼ −→a1 v  −→a2còng ph÷ìng n¶n −→e1 = ±−→e

2 (d§u + khi −→a1 v  −→a2 còng h÷îng, d§u − khi

V  sü khai triºn tr¶n l  duy nh§t.

Chùng minh ành lþ 3: Tø mët iºm O tòy þ ta düng c¡c vectì

V¼ c¡c vectì −→e1 v  −→e2 khæng còng ph÷ìng n¶n theo h» qu£ 2 chóng

ëc lªp tuy¸n t½nh Tø (3) ta suy ra:

Gåi ϕ l  gâc giúa hai vectì −→x v  −→y th¼: −→x −→y = |−→x |.|−→y | cos ϕMët sè t½nh ch§t cõa t½ch væ h÷îng cõa hai vectì:

H» qu£ 3 Hai vec tì vuæng gâc vîi nhau n¸u t½ch væ h÷îng cõachóng b¬ng 0 tùc l  −→x ⊥ −→y ⇔ −→x −→y = 0.

2.1 H» tröc tåa ë · c¡c vuæng gâc

º x¡c ành và tr½ cõa iºm v  cõa vectì tr¶n m°t ph¯ng ta s³ x¥y d÷ngkh¡i ni»m h» tröc tåa ë

H» tröc tåa ë · c¡c vuæng gâc trong m°t ph¯ng gçm hai ÷íngth¯ng vuæng gâc x0Ox v  y0Oy , tr¶n â chån hai vectì ìn và −→e1 = −−→

OE1

v  −→e2 = −−→

OE2

Hai ÷íng th¯ng tr¶n gåi l  hai tröc tåa ë Tröc x0Ox gåi l  tröc

ho nh, tröc y0Oy gåi l  tröc tung Hai vectì ìn và −→e1 v  −→e2 gåi l  haivectì cì sð

iºm O gåi l  gèc tåa ë Hai tröc tåa ë chia m°t ph¯ng l m bènph¦n, méi ph¦n gåi l  mët gâc tåa ë Bèn gâc tåa ë I, II, III, IV H»tröc tåa ë gåi l  thuªn n¸u chi·u quay tø −→e1 ¸n −→e2 theo gâc b² nh§t

l  ng÷ñc chi·u quay kim çng hç, gåi l  nghàch trong tr÷íng hñp ng÷ñcl¤i

2.2 Tåa ë cõa iºm

Trong m°t ph¯ng, tr¶n â câ chån mët h» tröc tåa ë · c¡c vuæng gâcOxy quy ÷îc gåi t­t l  m°t ph¯ng Oxy Gi£ sû N l  mët iºm tòy þthuëc m°t ph¯ng Oxy khi â theo ành lþ 3 ta câ:

2.3 Tåa ë cõa vectì

Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho c¡c vectì tü do −→α theo ành lþ 3 tacâ:

Tåa ë cõa vectì t½ch cõa mët vectì vîi mët sè

Trong m°t ph¯ng Oxy, cho vectì −→a (a1; a2) H¢y t¼m tåa ë cõa vectìk−→a ?

b theo tåa ë cõa −→a ,−→

tåa ë t÷ìng ùng cõa hai vectì §y.

H» qu£ 6 Trong m°t ph¯ng Oxy: −→a ⊥−→

b ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.H» qu£ 7 Trong m°t ph¯ng Oxy: |−→a2| = −→a −→a = a

V½ dö 2.5.1 Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy, cho hai iºm X (x1; y1) v 

Y (x2; y2) T¼m kho£ng c¡ch giúa hai iºm X, Y ?

Gi£i:

Ta th§y −−→XY = (x2 − x1; y2 − y1)

Theo h» qu£ 3 th¼

−−→

XY2

=

Thüc hi»n t÷ìng tü ta câ:

(a1b2 − a2b1)y = a2c1 − a1c2

hay

a1 b1

a2 b2

... class="text_page_counter">Trang 27

÷íng m°t ph¯ng Euclid< /h2>

Ch÷ìng ny trẳnh by phữỡng trẳnh ữớng thng, ữớng trỏn, ữớngelip, ữớng hypebol