004 đề thi HSG toán 9 tỉnh lạng sơn

Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kỳ một bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân... a Ta có: AFH AEH 900suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH LẠNG SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 23/3/2019 Câu 1 (4 điểm)

9

A

x



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Câu 2 (4 điểm)

Cho phương trình 2   2

x  m xm  m 

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Tìm m nguyên dương để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1; 2sao cho

60

x x

P

x x



 đạt giá trị nguyên

Câu 3 (4 điểm)

a) Giải phương trình : x 4 x 1 4 5 0

b) Tìm tất cả các cặp  x y nguyên thỏa mãn ;

2 2

x y  x  y  xy  y 

Câu 4 (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB  ACnội tiếp trong đường tròn  O ,các đường cao

,

BE CF cắt nhau tại H E AC F, AB

a) Gọi K EFBC L,  AK O với L A.Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và

HLAK

b) Chứng minh rằng đường thẳng HL đi qua trung điểm của BC

c) Gọi T là điểm trên đoạn thẳng FC sao cho ATB90 0 Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT và CET tiếp xúc nhau

Câu 5 (2 điểm) Cho đa giác đều 30 đỉnh Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kỳ một

bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Ta có

2

1

x

A

x x

x







x



Vì x   1 0, x 0;x9nên áp dụng BĐT Cô si ta có:

1

x



Đẳng thức xảy ra khi 1 9 4

1

x

 Vậy Amin   4 x 4

Câu 2

a) Ta có:  2  2 

        Phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt với mọi giá trị của m

b) Áp dụng định lý Vi-et ta có: 1 2  

2

1 2







 2

x x

P

2

4

P nguyên 5

4

m



 nguyên  m 4là ước của 5

4 1; 5

m

     Mà m nguyên dương nên m1

Câu 3

a) Điều kiện :x0

x x

4 3 0

3( )

t ktm

t t

t tm





     



Do đó

x







Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 7 3 5; 7 3 5

x  x 

b) Ta có:

     

      

2 2

x y x x y y x y xy xy

       

       

         Vậy phương trình có các cặp  x y nguyên là: ;        3;2 ; 1;0 ; 3;0 ; 1;2

Câu 4

a) Ta có: AFH AEH 900suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính

AH

Ta có tứ giác ALBC nội tiếp KB KC KL KA (1)

Vì tứ giác BFEC nội tiếp KB KC KF KE (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác ALFE nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Gọi M HL O Vì LH AKAM là đường kính

M

T

I L

K

H F

E A

B

C

Ta có: MC AC MC/ /BH(3)

BH AC





Ta có: CH AB CH / /MB(4)

MB AB









Từ (3) và (4) Tứ giác BHCM là hình bình hành HLđi qua trung điểm của BC c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABT thì AT2  AF AB và chú ý BFEC nội

tiếp nên AF AB AE AC

Do đó, 2

AT  AE AChay AT là tiếp tuyến của đường tròn (CET)

Hơn nữa, KFB ACB KLB  nên suy ra KLFB nội tiếp, do đó AF AB  AL AK nên

2

AT  AL AKtức là AT là tiếp tuyến của KLT 

Vậy CET tiếp xúc với  KLT vì có  AT là tiếp tuyến chung

Câu 5

Ta gọi các cạnh song song với nhau là cùng một hướng Chú ý rằng hai cạnh hoặc hai đường chéo song song với nhau tạo thành một hình thang cân

B

N

M

C

E

O A

Ta thấy rằng một đa giác đều n cạnh gồm có n hướng (cụ thể như trên hình vẽ thì

, ,

AB MN CE cùng một hướng, trong khi đó AB AC khác hướng) ,

Với mỗi bộ gồm k đỉnh sẽ sinh ra  1

2

k k

đoạn thẳng, nếu số đoạn thẳng này lớn hơn n

thì sẽ có ít nhất hai cạnh có cùng một hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân

Do đó, điều kiện để k điểm có thể chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu:

2

k k

Bây giờ, áp dụng bài toán cho n30ta suy ra 60 1 1 9

4 2

k    k , suy ra cứ 9 đỉnh thì sẽ có 4 đỉnh tạo thành hình thang cân