Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó... Bài 5: 4 điểm Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi K là điểm chính giữa
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN 9-THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC (150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm)
x
1/ Thu gọn biểu thức P
2/ Tìm x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất
Bài giải: 1/ ĐK: x 4
8
4
P
x
x
x x
x x
2/ P đạt GTLN khi x = 4, maxP = 1
Bài 2: (4 điểm)
Phân tích đa thức A = x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử Khi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn A = 0 Tính giá trị của biểu thức
3
2008x 2009y 2010z P
xyz
Bài giải:
A = x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xy(x + y) – 3xyz
= (x + y + z)(x2 + y2 + 2xy – xz – yz + z2) – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)
A = 0 x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz = 0
2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xz – 2yz = 0
(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0
x – y = y – z = z – x = 0
x = y = z
x
Bài 3: (4 điểm)
1/ Chứng minh với bất kì ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 20 thì có
b c c a a b
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
6x2 – (11 + 2y)x – 2 + 3y = 0
Trang 2Bài giải:
2
1
a b
2
2
1
a y b x x y xy a b
a xy a y b x b xy a xy b xy abxy
a y b x abxy
ay bx Luon dung voi moi a b x y
x y
2
2
các số thực dương
x y z
2
20
a b c
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
ab c
2/ 6x2 – (11 + 2y)x – 2 + 3y = 0 (2x – 3)y = 6x2 – 11x – 2
2
Do đó yZ với xZ khi 2x 3 U 5 1; 5
Từ đó tìm được các cặp số nguyên (x, y) = (2 ; 0), (1 ; 7), (4 ; 10), (–1 ; –3)
Bài 4: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC Một điểm A di động sao cho
tam giác ABC có ba góc nhọn và trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó
1/ Tìm quỹ tích điểm A
3
g ABC g ACB
Bài giải:
1/ Thuận: Trên đường thẳng BC lấy hai
điểm E, F sao cho B là trung điểm CE,
C là trung điểm BF Ta có EF = 3BC cố
định (a)
Trang 3Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BG và AC; CG và AB
CQ là đường trung bình ABF CQ // AF
BP là đường trung bình ACE BP // AE
Từ a), b) suy ra A di động trên đường tròn đường kính EF
Giới hạn: Do ABC nhọn nên A di động trên cung MN như hình vẽ (trừ hai điểm
M, N)
Đảo: (tự làm)
2/ Kẻ AH BC (H BC)
BC
AH
3
g ABC g ACB
Dấu “=” xảy ra khi H O G là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính BC
Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi K là điểm chính giữa của
cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung phần tư AK Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN = AM Chứng minh khi M chuyển động trên cung phần tư AK thì các đường thẳng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định
Bài giải:
Gọi C là giao điểm của tiếp tuyến tại B của
nửa đường tròn và đường thẳng vuông góc với
BM tại N, ta có ABM = BCN (g-c-g)
AB = BC
90
ABC (do BC là tiếp tuyến)
Nên ABC vuông cân tại B, mà AB cố định
C cố định
Vậy khi M di động trên cung phần tư AK thì
các đường thẳng vuông góc với BM kẻ từ N
luôn đi qua điểm C cố định
Khi M A thì N B, M K thì N K
Giáo viên: Nguyễn Dương Hải Trường THCS Phan Chu Trinh Buôn Ma Thuột – Đăk Lăk (Sưu tầm)