008 đề thi HSG toán 9 tỉnh long an 2018 2019

Lấy điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR sao cho AM song song với BC Chứng minh đường thẳng.. Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kỳ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng; mỗ

LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN 9 Câu 1 (5,0 điểm)

1 Rút gọn biểu thức : 2 13 3 2 1

A

    với x0;x4;x9

2 Giả sử a là nghiệm âm của phương trình 3x2  2x 2 0.Không giải

phương trình, tính giá trị biểu thức 4   2

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

2 7

2 7







2 Giải phương trình: 2  

3x 652 17x  2x1

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho các số thực dương thỏa mãn ab2 bc2ca2 4abc0.Chứng minh:

4

a  b  c 

Câu 4.(6,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD lấy điểm E trên cạnh , BC E B C, ;đường thẳng qua

B vuông góc với DE cắt DE tại H và cắt CD tại K Gọi M là giao điểm của DB

và AH

a) Chứng minh ba điểm E K M thẳng hàng , ,

b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp CHM

2 Cho tam giác ABC P là điểm trên cạnh BC (P khác B và C); Q, R lần lượt là ,

hai điểm đối xứng với P qua AC, AB Lấy điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR sao cho AM song song với BC Chứng minh đường thẳng

PM luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi trên cạnh BC

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kỳ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng; mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu: đỏ, cam, vàng và lục Các đoạn thẳng nối

2 trong 21 điểm dó được tô bởi một trong hai màu chàm và tím Xét các tam giác có ba đỉnh thuộc các điểm đã cho, chứng minh tồn tại một tam giác có 3 đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu

2 Giả sử n ,n2.Xét các số tự nhiên dạng a n 11 1được viết bởi n chữ số

1 Chứng minh rằng nếu a n là một số nguyên tố thì n là ước của a n 1

ĐÁP ÁN

Câu 1

1

2

A

x



3a  2 2a a0 3a  4 4 2a2a suy ra

Câu 2

1 Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:

3

x y







  



TH1: x   y 0 y x,thay y xvào phương trình (1) ta được:

7 0

y

  



TH2: 7

3

y  x Thay 7

3

y  x vào phương trình (1) ta được: 2

9x 21x980 Phương trình này vô nghiệm

Vậy     x y;  0;0 ;  7; 7 

2 Điều kiện xác định 1

2

x

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2 1 8

9

x

x





 

Đối chiếu điều kiện phương trình có hai nghiệm 5; 25 40

9

x x 

Câu 3

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

ab bc  bc ab bc ca  ca bc ca ab  bc ca

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, rút gọn ta có điều phải chứng minh

1)

a) Xét tam giác BDK ta có: , DH BK BC, DK BC, cắt DH tại E Suy ra E là trực tâm tam giác BDK Để chứng minh M E K thẳng hàng ta chỉ cần chứng , , minh MK BD

Tứ giác ABHD có BADBHD900nên nội tiếp suy ra BHABDA45 0

Tứ giác DMHK có MDK BHM 450nên nội tiếp

Lại có, DHK 900(gt) nên DMK DHK 900(cùng chắn cung DK) Ta có điều phải chứng minh

b) Tứ giác CEHK nội tiếp ( ECK EHK 90 )0 ECH EKH (1)

Tứ giác CKBM nội tiếp suy ra EKH BCM ECM (2)

Từ (1) , (2) suy ra ECH ECM.Do đó, EC là đường phân giác của MCH Chứng

minh tương tự, ta cũng có ME là đường phân giác của CMH

Vì E là giao điểm hai đường phân giác trong góc M và C của tam giác CHM nên ta

có điều phải chứng minh

M

K

H

C D

E

2)

Gọi N là giao điểm của RB và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có ARN AQR1800nên N nằm trên đường tròn  w ngoại tiếp tam giác AQR Đường tròn  w ' ngoại tiếp tam giác BCN cắt  w tại điểm thứ hai G

Từ RBG QCGGPlà phân giác BGC

180 2 180

BNC RNQ  BAC BOC nên O nằm trên  w '

Mà OBOC nên GO là phân giác BGC và do đó G P O thẳng hàng Ta cũng có , ,

, ,

N O Athẳng hàng

G

N

Q

R

A

Gọi M là giao điểm thứ hai của GO với '  w

Ta có: AM G'  ANGONGOPCMPCAM'/ /BCM'M

Do đó , ,G P O và M thẳng hàng Vậy MP luôn đi qua O cố định

Câu 5

1) Vì có 21 điểm được tô bởi 4 màu mà 21 4.5 1  nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu

Gọi 6 điểm cùng màu đó là A B C D E F Từ điểm A ta kẻ với 5 điểm còn lại được 5 , , , , , đoạn thẳng, 5 đoạn này được tô 2 màu thì sẽ có ít nhất 3 đoạn được tô cùng màu Không mất tính tổng quát , giả sử các đoạn AB, AC, AD được tô cùng màu tím

Trong các đoạn nối ba điểm , ,B C D nếu có một đoạn màu tím, giả sử là BD thì tam

giác ABD là tam giác cần tìm Nếu trong các đoạn nối ba điểm B, C, D không có đoạn nào màu tím thì tam giác BCD là tam giác cần tìm

2 Trước hết ta chứng minh : nếu a n là số nguyên tố thì n là số nguyên tố

Giả sử n là hợp số, nbq b q; ,  ,1b q, n Khi đó:

   

1 1

11 1 11 1 10q b 10q b 1 11 1

n

bq chu so q chu so

a        là hợp số, trái với giả thiết nên

n là số nguyên tố

Tiếp tục ta có: 1 10 1 1 10 10 10 10 9 (1)

n n

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10n 10 n (2)

Nếu n3thì a n 111 3không thỏa mãn giả thiết

Nếu n3ta có n,9 1 nên từ (1) và (2) suy ra : 10n 10 9 n Vậy n là ước của a n 1