006 đề thi HSG toán 9 tỉnh gia lai 2018 2019

a Chứng minh rằng với mọi số nguyên n số , A3n3 15n chia hết cho 18 b Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai.. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn đư

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN: TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC : 2018-2019 Câu 1 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019

Câu 2 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n số , A3n3 15n chia hết cho 18 b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai Nếu mỗi ô tô chở 12 người thì thừa 1 người Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người

Câu 3 1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh

đáy lần lượt là 20 cm và 1 cm Người ta xếp cây nến trên vào 1 cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp Tính thể tích cái hộp

2) Cho đường tròn O R và điểm I cố đinhk nằm bên trong đường tròn (I khác O) ; 

Qua điểm I dựng hai cung bất kỳ AB và CD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , , , ,

IA IB IC ID

a) Chứng minh rằng bốn điểm M N P Q, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi vuông góc với nhau tại I Xác định vị trí

các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất

Câu 4

3

2

x x y x y y

        







b) Cho , ,x y z0thỏa mãn x2  y2z2 2xyz1

Tìm GTLN của Pxy yzzx2xyz

Câu 5 Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17

học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự nhiên trong khoảng từ 1đến

907 Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9

ĐÁP ÁN Câu 1

Gọi số cần lập có dạng abcd 2019với a b c d, , ,  ;2 a 9,0b c d, , 9

Xét a2nếu b0thì ta có các số từ 2031 đến 2098 Có 7 cách chọn c, có 7 cách chọn d Do đó có 7.749số thỏa mãn Nếu b0thì có các số từ 2103đến 2198 Có 8 cách chọn b, 8 cách chọn c và 7 cách chọn d Do đó có 8.8.7448số thỏa mãn

Xét a3thì có các số từ 3012 đến 9876, có 7 cách chọn a, 9 cách chọn b , 8 cách chọn

c và 7 cách chịn d, do đó có: 7.9.8.73528số thỏa mãn

Vậy có tất cả 49 448 3528  4025số thỏa mãn bài toán

Câu 2

A n  n n n n n  nchia hết cho 18 b) Gọi số ô tô là a ĐK: a ,a1.Vì bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại, nghĩa là 12a1 a 1 12a 1 13 a1

13 a 1 a 1 U(13) 1;13 a 2;14

Với a2thì số học sinh là 25 em, khi bớt đi 1 ô tô thì còn 1 xe chở 25 em (quá 16 em) vô lý

Với a14thì số học sinh là 169 em (thỏa mãn)

Vậy số ô tô là 14 và có 169 học sinh

Câu 3

1) Ta có đáy cây nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD như hình vẽ Khi đó ABCD là

mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao bằng chiều cao cây nến h20cm

Ta có: BCEF 2EH 2KE.sinEKH 2.1.sin 600  3

AN KM  MI  

Vậy thể tích cái hộp là AB BC h 40 3(cm3)

H

B

C D

A

F

E

I

2)

a) Ta có MI MA QI, QD nên MQ là đường trung bình AIDMQ/ /AD Tương tự NP là đường trung bình BICNP/ /BC

Do đó NMQ BAD NPQ  nên tứ giác MPNQ nội tiếp

b) Kẻ OH  AB tại H và OK CDtại K

Ta có ABCDOHIKlà hình chữ nhật

AB CD

MN PQ AB CD  R OI

GTLN của diện tích tứ giác MPNQ là

2 4

, khi đó AB CD

Câu 4

K

H P

M

N

Q

B

D O

C

I A

a) ĐKXĐ:  3 3

x  y x  y      x

Từ phương trình 4  2  3 

5x  xy  10x  y y

5x x 2y x x 2y 0 x x 2y 5x 1 0

        

Xét x0thay vào phương trình thứ nhất ta được 4 2 y  4 2 y 4

8 2 16 4y 16 4 y 2 y 0(tmdk)

        

Xét 2 y xthay vào phương trình thứ nhất ta được

2

t

x     x t x x  

t  t   t t   t

3

2

  





        

   

 Vậy phương trình có nghiệm     3

; 0;0 ; 3;

2

x y   

   

 

b) Theo nguyên lý Dirichle thì trong 3 số 2x1;2y1;2z1bao giờ cũng tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu Giả sử 2x1;2y1cùng dấu Khi đó

2x1 2 y  1 0 2x y4xy1

2

z

z x y xyz

    Từ giả thiết x2  y2 z2 2xyz  1 1 z2 x2  y2 2xyz

2

z

xy xyz xy z xy 

z z

P xy yz zx xyz 

      

Vậy GTLN của P là 1

2 Đạt được khi và chỉ khi 1

2

x  y z

Câu 5

Xét 5 số tự nhiên bất kỳ khác nhau đôi một Lấy 5 số này chia cho 3, theo nguyên lý Dirichle có ít nhất 2 số cùng có số dư Xét các khả năng sau:

- Nếu chỉ có 2 số dư giống nhau Khi đó phải có 3 số chia cho 3 có số dư lần lượt

là 0,1,2 nên tổng của chúng chia hết cho 3

- Nếu có ít nhất 3 số dư giống nhau Khi đó tổng của chúng luôn chia hết cho 3

Ta chia 17 số có trong khoảng từ 1 đến 907 thành 3 nhóm: Nhóm I gồm 5 số, nhóm II gồm 5 số và nhóm III gồm 7 số Mỗi nhóm luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 Giả sử tổng của 3 số đó ở mỗi nhóm lần lượt là 3 ,3 ,3a b c a b c , ,  *  Còn lại

17 9 8số, trong 8 số này lại chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3, đặt tổng 3 số đó

là 3d d  *  Còn lại 8 3 5  số, trong 5 số này lại chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3 và đặt tổng 3 số đó là 3e e  * Cuối cùng trong 5 số a b c d etồn tại 3 số có , , , , tổng chia hết cho 3, giả sử là 3 số x y z x y z, ,  , ,  *suy ra 3x y z 9 Do đó luôn chọn ra 9 học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9