Xác suất thống kê là bộ môn rất quan trọng đối với các khối kinh tế , kĩ thuật và công nghệ nó bao gồm các ước lượng, khả năng tư duy tính xác suất mà tất cả bài toán đều có. CHƯƠNG 1 NHỮNGĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1. ÔN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Nguyên lý Cộng và Nguyên lý Nhân 1)Nguyên lý Cộng.Giả sửđể một hiện tượng xảy ra, có k trường hợp lớn lọai trừ lẫn nhau. Biết rằngở m ỗi trường hợp lớn thứ j lại có n j trường hợp nhỏ. Khiđó, số trường hợp nhỏ nói chungđể hiện tượng trên xảy ra là: n = n 1 + n 2 + … + n k. 2)Nguyên lý Nhân.Giả sửđể hoàn thành một công việc ta phải tiến hành theo trình tự k bước có tác dụngđộc lập. Biết rằng: Có n 1 cách thực hiện buớc 1. Sau khi thực hiện bước 1 xong, dù bằng bất cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng khôngđổi n 2 cáchđể thực hiện bước 2. ...................................................................... Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k1, dù bằng bất cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng khôngđổi n k cáchđể thực hiện bước thứ k. Khiđó, số cáchđể hòan thành công việcđã cho là: n = n 1n 2… n k. Chú ý. Các bước có tác dụngđộc lập nghĩa là nếu hai cách tiến hành có lệch nhauở ít nhất một bước nàođó thì chúng sẽ cho kết quả khác nhau. 1.2. Chỉnh hợp 1)Định nghĩa. Mộtchỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự g ồm k phần tử phân biệtđược rút ra từ n phần tửđã cho. Ví dụ. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: Xaùc suaát Thoáng keâ – Chöông 1 Traàn Ngoïc Hoäi 2 (x,y); (y,x); (x,z);(z,x); (y,z); (z,y). 2) Công thức tính chỉnh hợp. GọiA n k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có công thức: ( ) .( 1)...( 1) = − − + = − k n n A n n n k n k Ví dụ. 20 6 20 27907200. 14 A= = Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nPr, ta tínhA 20 6 như sau: 2 0 nPr 6 = 1.3. Hoán vị 1)Định nghĩa. Mộthoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tửđó. Ví dụ: Các hóan vị của 3 phần tử x, y, z là: (x,y,z); (x,z,y); (y,x,z);(y,z,x); (z,x,y); (z,y,x). 2) Công thức tính hoán vị. Gọi P n là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức: P = n n 1.4. Tổ hợp 1)Định nghĩa. Mộtt ổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự g ồm k phần tử phân biệtđược rút ra từ n phần tửđã cho. Ví du. Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. Nhận xét. Ta có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con g ồm k phần tử của tập hợp g ồm n phần tửđó. 2) Công thức tính tổ hợp. GọiC n k là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có công thức: ( ) = − k n n C k nk Nhận xét. Từ kết quả trên ta suy ra số tập con g ồm k phần tử của tập hợp g ồm n phần tử làC n k . Ví dụ. 20 6 20 38760. 614 C= = Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tínhC 20 6 như sau: 2 0 nCr 6 = 3)Định lý.a)C C n n n k k− = với mọi 0≤ k≤ n; b)C C C n n n k k k + =− 1 +1 với mọi 1≤ k≤ n 4) Công thức nhị thức Newton Với x, y∈R và n là số nguyên dương ta có: 0 ( )− = + =∑ n n k k n k n k x yC xy 5) Bài tóan lựa chọn.Một lô hàng chứa N sản phẩm, trongđó có N A sản phẩm loại A và N− N Asản phẩmlọai B. Chọn ng ẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số nguyên k thỏa 0≤ k≤ N A , 0≤ n− k≤ N− N A . Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩm loại A. Giải. Để chọn ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N A sản phẩm loại A. Số cách chọn là A k N C. Bước 2: Chon n− k sản phẩm loại B từ N− N A sản phẩm loại B. Số cách chọn là− − A n k C N N. Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩm loại A là: Xaùc suaát Thoáng keâ – Chöông 1 Traàn Ngoïc Hoäi 4 − − A A k n k C C N N N. §2.Định nghĩa xác suất 2.1. Phép thử và biến c ố 1)Phép thử là một thí nghiệmđược thực hiện trong nhữngđiều kiện xácđịnh nàođó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quảđược gọi là một biến c ố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến c ố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2)Biến c ố t ất y ếu , kí hiệu làΩ (Ômêga), là biến c ố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt có s ố chấm không quá 6” là biến c ố tất yếu. 3)Biến c ố bất khả, kí hiệu là∅, là biến c ố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt có s ố chấm lớn hơn 6” là biến c ố bất khả. 4)Biến c ố ng ẫu nhiên là biến c ố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1 , A2 , B, C,…để chỉ các biến c ố ng ẫu nhiên. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến c ố ng ẫu nhiên. 5)Biến c ố bằng nhau: Hai biến c ố A và Bđược gọi là bằng nhau, kí hiệu là A = B, nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt. Gọi A là biến c ố “Xuất hiện mặt 1 chấm” và B là biến c ố “Xuất hiện mặt nhỏ hơn 2 chấm”. Ta có A = B. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A j (j = 1,2,…,6) là biến c ố “Xuất hiện mặt j chấm” . 6)Biến c ố t ổngcủa hai biến c ố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến c ốđịnh bởi: A + B xảy ra⇔ A xảy rahoặc B xảy ra. Như vậy, trong một phép thử, biến c ố tổng A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến c ố A hoặc B xảy ra trong phép thửđó.
Trang 1BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội - 2012)
CHƯƠNG 1
NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
§1 ÔN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.1 Nguyên lý Cộng và Nguyên lý Nhân
1) Nguyên lý Cộng Giả sử để một hiện tượng xảy ra, có k trường
hợp lớn lọai trừ lẫn nhau Biết rằng ở mỗi trường hợp lớn thứ j lại có nj
trường hợp nhỏ Khi đó, số trường hợp nhỏ nói chung để hiện tượng trên
xảy ra là:
n = n1 + n2 + … + nk
2) Nguyên lý Nhân Giả sử để hoàn thành một công việc ta phải
tiến hành theo trình tự k bước có tác dụng độc lập Biết rằng:
- Có n1 cách thực hiện buớc 1
- Sau khi thực hiện bước 1 xong, dù bằng bất cứ cách nào, luôn
luôn có một số lượng không đổi n2 cách để thực hiện bước 2
-
- Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k-1, dù bằng bất
cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng không đổi nk cách để thực hiện bước thứ k
Khi đó, số cách để hòan thành công việc đã cho là:
n = n1n2… nk
Chú ý Các bước có tác dụng độc lập nghĩa là nếu hai cách tiến hành
có lệch nhau ở ít nhất một bước nào đó thì chúng sẽ cho kết quả khác
(x,y); (y,x); (x,z); (z,x); (y,z); (z,y)
2) Công thức tính chỉnh hợp Gọi A n k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử Ta có công thức:
(x,y,z); (x,z,y); (y,x,z); (y,z,x); (z,x,y); (z,y,x)
2) Công thức tính hoán vị Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử Ta
n C
Trang 25) Bài tóan lựa chọn Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có
NA sản phẩm loại A và N−NA sản phẩmlọai B Chọn ngẫu nhiên ra n sản
phẩm (0 < n < N) Với mỗi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n−k ≤
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện
xác định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi
kết quả được gọi là một biến cố
Ví dụ Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt
Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…
2) Biến cố tất yếu, kí hiệu là Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải
xảy ra khi thực hiện phép thử
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có
số chấm không quá 6” là biến cố tất yếu
3) Biến cố bất khả, kí hiệu là ∅, là biến cố không bao giờ xảy ra khi
thực hiện phép thử
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có
số chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả
4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy
ra khi thực hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1
chấm” là một biến cố ngẫu nhiên
5) Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, kí
hiệu là A = B, nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt Gọi A là biến cố “Xuất hiện
mặt 1 chấm” và B là biến cố “Xuất hiện mặt nhỏ hơn 2 chấm” Ta có A
A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra
Như vậy, trong một phép thử, biến cố tổng A + B xảy ra khi và chỉ khi có
ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra trong phép thử đó
Minh họa:
Trang 3Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như
sau:
A1+ A2 +…+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy
ra
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt
có số chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra
Như vậy, trong một phép thử, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai
biến cố A và B cùng xảy ra trong phép thử đó
Minh họa:
Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1A2…An xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đều xảy ra
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5
Ta có: AB = A6 và ABC = ∅
8) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân
tích dưới dạng tổng của hai biến cố ngẫu nhiên khác
Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất
không thể phân chia đươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một
số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho
biến cố A Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu,
trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, có tất cả 6 biến cố sơ cấp là
Aj (j = 1,2,…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ, ta có:
A = A1 + A3 + A5
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5
9) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅, nghĩa là
A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử
Minh họa:
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt 1 chấm
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2
Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2)
10) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A, là biến cố định bởi
A xảy ra ⇔ A không xảy ra
Minh họa:
Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω , nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra trong phép thử
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ
Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A
11) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra
như nhau khi thực hiện phép thử
Trang 4Ví dụ Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các
biến cố sơ cấp Aj (j = 1, 2,…, 6) là đồng khả năng
2.2 Định nghĩa cổ điển của xác suất
1) Định nghĩa Giả sử khi tiến hành phép thử, cĩ tất cả n biến cố sơ
cấp đồng khả năng cĩ thể xảy ra, trong đĩ cĩ mA biến cố sơ cấp thuận lợi
cho biến cố A Tỉ số
n
mA
được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là
P(A) Như vậy,
S P(A) = ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe åxảy ra
Ví dụ Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Khi đĩ cĩ tất cả 6
E tất yếu nên P(E) = 6/6 = 1
2) Cơng thức xác suất lựa chọn
Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dĩ cĩ NA sản phẩm loại A,
cịn lại là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0< n < N)
Với mỗi 0 ≤ k ≤ NA thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − NA, xác suất để trong n sản
phẩm chọn ra cĩ đúng k sản phẩm loại A là:
k n k
N N N n n
Chứng minh Ta xem mỗi cách chọn là một biến cố sơ cấp Khi đĩ cĩ tất
cả CnN biến cố sơ cấp đồng khả năng cĩ thể xảy ra
Gọi A là biến cố cĩ đúng k sản phẩm loại A trong n sản phẩm chọn
ra Theo kết quả của Bài tốn lựa chọn, ta cĩ số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là
Trên máy tính cĩ phím chức năng nCr ta bấm:
1 2 nCr 3 8 nCr 2 : 2 0 nCr 5 = ×
3) Hạn chế của định nghĩa cổ điển
Định nghĩa cổ điển như trên chỉ áp dụng đuợc khi tổng số biến cố sơ cấp cĩ thể xảy ra là hữu hạn Hơn nữa, các biến cố đĩ đều phải đồng khả năng Các điều kiện này khơng dễ cĩ trong thực tế Vì vậy người ta cịn đưa ra định nghĩa xác suất bằng thống kê như sau:
2.3 Định nghĩa xác suất bằng thống kê 1) Định nghĩa Giả sử khi tiến hành n phép thử độc lập trong những
điều kiện như nhau, biến cố A xảy ra mA lần Tỉ số
n
mA
được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A Thực nghiệm thống kê chứng minh được
rằng khi số phép thử n khá lớn, tần suất của biến cố A luơn dao động quanh một giá trị khơng đổi p (0 ≤ p ≤ 1) Giá trị p đĩ được gọi là xác
suất của biến cố A, kí hiệu P(A) Như vậy,
P(A) =
n
mA
n→ ∞lim
Trang 52) Ví dụ a) Trong thống kê dân số ở một địa phương, người ta tổng
kết được xác suất để một em bé sơ sinh là trai (hay gái) xấp xỉ bằng 1/2
b) Khi tung một đồng xu đồng chất 2 mặt nhiều lần, người ta thấy
rằng xác suất xuất hiện mặt sấp = Xác suất xuất hiện mặt ngữa = 1/2
2.4 Định nghĩa xác suất bằng hình học
1) Biến cố tất yếu Ω được biểu diễn bởi các điểm bên trong một
đường cong khép kín:
2) Mỗi điểm trong Ω biểu diễn một biến cố sơ cấp
3) Mỗi tập con A của Ω biểu diễn một biến cố
Ta hình dung như sau: Dùng đầu bút chấm ngẫu nhiên vào một điểm
bên trong Ω, nếu chấm trúng điểm nào thì xem như biến cố sơ cấp đó xảy
ra, nếu điểm đó thuộc A thì biến cố A xảy ra Với cách nhìn đó, khả năng
một biến cố A xảy ra tùy thuộc vào độ lớn của diện tích của A so với diện
tích của Ω Từ đây, ta định nghĩa xác suất của A như sau:
S(A)
S( )
=Ωtrong đó S(A), S(Ω) lần lượt là diện tích của A và của Ω
2.5 Tính chất của xác suất
Định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa xác suất bằng thống
kê là tương thích nhau, ngoài ra người ta còn định nghĩa xác suất bằng
tiên đề, nhưng định nghĩa này mang đậm tính toán học nên chúng tôi
không đề cập đến trong tài liệu này Chúng ta thấy rằng dù được định
nghĩa bằng phương pháp nào thì xác suất cũng có các tính chất sau:
1) Với mọi biến cố A ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(Ω) = 1
3) P(∅) = 0
2.6 Ý nghĩa của xác suất
Từ các định nghĩa của xác suất ta thấy xác suất chính là một số đo
mức độ thường xuyên xảy ra của một biến cố trong phép thử Nói nôm na
là xác suất đo khả năng khách quan để biến cố xảy ra Giả sử biến cố A
§3 Công thức cộng xác suất
3.1 Công thức cộng xác suất thứ nhất
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có
P(A + B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
3.2 Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
P(A) 1 P(A)= −
3.3 Công thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
3.4 Nhận xét
a) Công thức cộng xác suất thứ nhất là trường hợp đặc biệt của Công thức cộng xác suất thứ hai vì với A, B là hai biến cố xung khắc ta
có AB = Φ nên P(AB) = 0 và công thức thứ hai cho ta:
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) b) Hệ quả 3.2 được suy trực tiếp từ công thức cộng xác suất thứ nhất vì với A là biến cố bất kỳ ta có hai biến cố A và A là xung khắc và A + A = Ω nên công thức thứ nhất cho ta:
).
( ) ( ) ( ) (
Từ đó suy ra P ( A ) = 1 − P ( A ).
c) Mở rộng tổng quát của Công thức cộng xác suất thứ hai khá phức tạp Chẳng hạn, với A, B, C là ba biến cố bất kỳ, ta có:
Trang 6P(A+B+C) = P((A + B) + C) = P(A + B) + P(C) − P((A+B)C)
= P(A) + P(B) – P(AB) + P(C) – P(AC + BC)
= P(A) + P(B) – P(AB) + P(C) – P(AC) – P(BC) + P(ACBC)
= P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) – P(AC)+ P(ABC)
3.5 Chứng minh công thức cộng thứ hai
Giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó:
- Có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A
- Có mB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B
- Có mAB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB, nghĩa là thuận lợi
Giải Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và 4 − j sản
phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đó A0, A1,…,A4 xung khắc
từng đôi và theo công thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n
= 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có:
−
=
Từ đó ta tính được:
1365
210 ) (
; 1365
600 ) (
1365
450 ) (
; 1365
100 ) (
; 1365
5 ) (
4 3
2 1
P
A P A
P A
P
a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu Ta có
A xảy ra khi và chỉ khi số sản phẩm tốt, xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra lần lượt là: 4, 0 hoặc 3, 1 hoặc 2, 2 Do đó
8462 , 0 1365
210 1 ) ( 1 ) ( 1 )
Ví dụ 2 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi
Toán, 70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn
Giải Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn
Khi đó
- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn
- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn
Trang 7Do đó theo công thức cộng thứ hai ta có xác suất để sinh viên được chọn
giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn là:
9 , 0 100
40 100
70 100
60 ) ( ) ( ) ( )
P
§4 Xác suất có điều kiện và Công thức nhân xác suất
4.1 Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu
P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến
- Xác suất có điều kiện P(A / B) S(AB)
S(B)
=
Ví dụ Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:
a) A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn
b) B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ
c) C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4
d) D là biến cố xuat hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4
Khi đó
- P(A/B) = 0 vì khi B đã xảy ra thì chỉ có 3 biến cố sơ cấp đồng khả
năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 1, 3, 5 chấm, trong đó không có
biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho A
- P(A/C) = 2/4 = 0,5 vì khi C đã xảy ra thì chỉ có 4 biến cố sơ cấp
đồng khả năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4 chấm, trong đó
chỉ có 2 biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là các mặt 2, 4 chấm
- P(A/D) = 2/3 vì khi D đã xảy ra thì chỉ có 3 biến cố sơ cấp đồng
khả năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 4, 5, 6 chấm, trong đó chỉ có
2 biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là xuất hiện các mặt 4, 6 chấm
Nhận xét Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) =
4.2 Tính độc lập
Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh
hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B
4.3 Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)
4.4 Công thức nhân xác suất thứ hai
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có
P(ABCD) = P(A)P(B/A)P(C/AB) P(D/ABC),
4.5 Nhận xét Công thức nhân thứ nhất là trường hợp đặc biệt của
công thức nhân thứ hai vì khi A độc lập với B, ta có P(A/B) = P(A) và
công thức nhân thứ hai cho ta:
P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(B)P(A)
Suy ra B độc lập với A và P(AB) = P(A)P(B)
4.6 Chứng minh công thức nhân xác suất thứ hai
Giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó:
Trang 8- Có mB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B
- Có mAB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB, nghĩa là thuận lợi
cho cả A lẫn B
Xét trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi Khi đó:
- Tổng số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra trong trường
hợp này là mB vì không tính đến các biến cố sơ cấp không thuận lợi cho
B
- Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A trong hợp này là mAB vì
chỉ tính các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A trong số các biến cố thuận lợi
cho B
Minh họa:
Suy ra xác suất có điều kiện của A khi biết B xảy ra là
) (
) ( :
) / (
B P
AB P n
m n
m m
m B A
B
=
Từ đây ta suy ra P(AB) = P(B)P(A/B)
Cuối cùng, thay đổi vai trò của A và B, chú ý rằng AB = BA, ta có:
P(AB) = P(BA) = P(A)P(B/A)
Ví dụ Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm
10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm
xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm
a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2
sản phẩm xấu
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I
Giải
Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2
- i) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II Khi
đó
- A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có:
105
45 )
(
; 105
50 )
(
; 105
10 )
(
2 15
0 5
2 10 2
2 15
1 5
1 10 1
2 15
2 5
0 10 0
C C
C
A P
A P
A P
- B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có:
105
28 )
(
; 105
56 )
(
; 105
21 )
(
2 15
0 7
2 8 2
2 15
1 7
1 8 1
2 15
2 7
0 8 0
C C C
C C
B P
B P
B P
- Ai và Bj độc lập
a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu
Ta thấy A xảy ra khi và chỉ khi, số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm lấy
từ lô I, II lần lượt là: 0, 2 hoặc 1, 1 hoặc 2, 0 như trong bảng sau:
B0 B1 B2
Trang 9Do tính xung khắc từng đôi, công thức cộng xác suất cho ta:
P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0)
Từ đây, do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Khi đó
biến cố A đã xảy ra Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu từ lô I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện
P(A1/A)
Theo công thức nhân xác suất thứ hai, ta có
/A) P(A)P(A A)
Suy ra
P(A)
A) P(A /A)
56 105
50 ) ( ) ( ) ( )
A) P(A /A)
§5 Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes
5.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và
xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:
1) A1 + A2 +… + An = Ω;
2) ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = ∅,
nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải
có một và chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ
- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy
từ hộp II
Khi đó ta có các hệ sau đây đều là đầy đủ, xung khắc từng đôi: a) A0 , A1 , A2
b) B0 , B1 , B2 c) A0B0, A0B1, A0B2, A1B0, A1 B1, A1B2, A2 B0, A2B1 , A2B2 d) A0B0, A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0, A1B2+ A2B1, A2B2
5.2 Công thức xác suất đầy đủ
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:
Trang 105.4 Chứng minh Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes
Vì A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi nên ta có:
Ω = A1 + A2 +… + An Suy ra A = AΩ = A(A1 + A2 +… + An) = AA1 + AA2 +… + AAn
Minh họa:
Chu ý rằng do tính xung khắc từng đôi của A1, A2, …, An, ta suy ra các
biến cố AA1, AA2,… , AAn cũng xung khắc từng đôi và công thức cộng
xác suất cho ta:
P(A) = P(AA1 + AA2 +… + AAn) = P(AA1) + P(AA2 )+… + P(AAn)
Mặt khác, theo công thức nhân xác suất ta có
P(AAj) = P(Aj)P(A/Aj) với j = 1,2,…,n, nên
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + …+ P(An)P(A/An)
Ta đã chứng minh công thức xác suất đầy đủ
Cuối cùng, theo công thức nhân xác suất ta có với mỗi 1 ≤ k≤ n,
P(AAk) = P(A)P(Ak/A) = P(Ak)P(A/Ak) nên
P(A)
) )P(A/A P(A
k
) )P(A/A P(A
) )P(A/A P(A
/A) P(A
Công thức Bayes được chứng minh
Ví dụ.Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm
10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô
có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I
Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
105
45 )
(
; 105
50 )
(
; 105
10 )
(
2 15
0 5
2 10 2
2 15
1 5
1 10 1
2 15
2 5
0 10 0
C C C
C C
A P
A P
A P
a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A)
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)
Trang 11Xét P(A/A0) Khi A0 đã xảy ra, ta đã chọn được 2 sản phẩm xấu từ lô I
để bỏ sang lô II và như vậy trong lô II lúc đó có 17 sản phẩm, trong đó có
8 sản phẩm tốt và 9 sản phẩm xấu Do đó theo Công thức tính xác suất
lựa chọn, ta có xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu
từ lô II trong trường hợp này là:
136
72 )
/
17
1 9
1 8
C
C C A A P
Tương tự, ta có:
136
70 )
/ (
136
72 )
/ (
2 17
1 7
1 10 2
2 17
1 8
1 9 1
A A P
Suy ra xác suất của biến cố A là
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II
Khi đó biến cố A đã xảy ra Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt
và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường hợp này chính là xác suất có điều
kiện P(A1/A)
Ap dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu
a) ta có:
1
50 72.P(A )P(A/A ) 105 136
§6 Công thức Bernoulli
6.1 Công thức Bernoulli.Tiến hành n phép thử độc lập trong những
điều kiện như nhau Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác
suất p không đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 – p Khi đó, với
mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép
thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
k k n k
6.2 Hệ quả Với các giả thiết như trong 6.1, ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là
qn 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn
6.3 Chứng minh công thức Bernoulli
Để các bạn dễ theo dõi, chúng tôi xét trường hợp n = 3 và k = 2 (Trường hợp tổng quát được lý luận hoàn toàn tương tự) Gọi
- Aj ( j = 1, 2, 3) là biến cố “Trong phép thử thứ j, A xảy ra” Khi đó
j
A là biến cố “ Trong phép thử thứ j, A không xảy ra” và ta có:
p q
A P p A
P ( j) = ; ( j) = = 1 −
- B là biến cố “ Trong n = 3 phép thử, A xảy ra đúng k = 2 lần”
Ta thấy biến cố B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra đúng k = 2 lần trong n = 3 phép thử nên có C23 3 ( Ck)
n
=
= trường hợp có thể xảy ra là: 1) A xảy ra ở phép thử 1, 2 và không xảy ra ở phép thử thứ 3 Trường hợp này ứng với biến cố A1A2A3
2) A xảy ra ở phép thử 2, 3 và không xảy ra ở phép thử thứ 1 Trường hợp này ứng với biến cố A1A2A3
3) A xảy ra ở phép thử 1, 3 và không xảy ra ở phép thử thứ 2 Trường hợp này ứng với biến cố A1A2A3
Do đó B = A1A2A3+ A1A2A3+ A1A2A3 Chú ý rằng theo công thức nhân xác suất, ta có xác suất của biến cố trong mỗi trường hợp đã phân tích ở trên đều bằng p2q (= pkqn−k ) Do đó, theo công thức cộng xác suất ta có xác suất của biến cố B là:
)
3p q B
nghĩa là
)
np q B
và ta có Công thức Bernoulli
Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là
60% Cho máy sản xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm
thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt
Giải Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5-k)
sản phẩm xấu có trong 5 sản phẩm thu được
Ta xem việc cho máy sản xuất 1 sản phẩm là thực hiện một phép thử Như vậy ta có 5 phép thử độc lập được thực hiện trong những điều kiện như nhau, trong mỗi phép thử biến cố A: “Sản phẩm thuộc loại tốt” xảy
Trang 12ra với xác suất p = 60% = 0,6 và A không xảy ra với xác suất q = 1 – p =
0,4 Do đó, áp dụng công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có:
k k
k k n k k n
A
5( 0 , 6 ) ( 0 , 4 ) )
(a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
3456 , 0 ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )
5
A P
b) Để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt thì số sản
phẩm tốt phải là 3, 4 hoặc 5 Do đó, xác suất để trong 5 sản phẩm thu
6.4 Chú ý một số trường hợp sử dụng công thức Bernoulli
1) Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt
là p Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm Khi đó ta có thể tính xác
suất để trong n sản phẩm thu được có k sản phẩm loại tốt theo công thức
Bernoulli Tuy nhiên, nếu lô hàng chứa N sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm
loại tốt là p thì trong đó sẽ có Np sản phẩm tốt, (N − Np) sản phẩm
không tốt, và khi đó để tính các xác suất trên, ta phải dùng công thức tính
xác suất lựa chọn
Ví dụ 1 Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm
loại tốt là 80% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tính xác
suất để trong 10 sản phẩm thu được có 6 sản phẩm loại tốt
Giải Dùng công thức Bernoulli với n = 10; p = 0,8 ta có xác suất
cần tìm là:
6 10
P(A ) =C (0,8) (0,2) = 0,08808
Ví dụ 2 Một lô hàng chứa 50 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt
là 80% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tính xác suất để
trong 10 sản phẩm thu được có 6 sản phẩm loại tốt
Giải Dùng công thức xác suất lựa chọn với N = 50; NA =
Ví dụ 3 Có hai lô hàng Lô I chứa 30 sản phẩm với tỉ lệ loại tốt là
60% Lô II chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ loại tốt là 70% Chọn ngẫu
nhiên từ mỗi lô 3 sản phẩm Tính xác suất để trong 6 sản phẩm thu được
số sản phẩm tốt của lô II không ít hơn số sản phẩm tốt của lô I
Giải - Gọi A là biến cố trong 6 sản phẩm thu được số sản phẩm tốt của lô II không ít hơn số sản phẩm tốt của lô I
- Gọi Aj, Bj (j = 0, 1, 2, 3) lần lượt là các biến cố có j sản phẩm tốt
và 3 – j sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm lấy từ lô I, lô II
4060 1836
4060 816
4060
C C C
C C C
C C C
C C C
Chú ý rằng các biến cố A0; A1B0; A2B2; A2B3; A3B3 xung khắc từng đôi
và các Ai, Bj độc lập nên theo công thức Cộng và công thức nhân xác suất ta có:
P(A) = P(A0) + P(A1)(B0)+ P(A2)P(B2)+ P(A2)P(B2)+ P(A2)P(B3)
Từ đó tính được xác suất cần tìm là: P(A) = 0,7624
2) Một xạ thủ bắn n viên đạn vào một mục tiêu Xác suất trúng của mỗi viên là p không đổi Khi đó ta có thể tính xác suất để trong n viên bắn ra có k viên trúng theo công thức Bernoulli
Trang 133) Thảy n lần một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Khi đó ta có thể tính
xác suất để trong n lần thảy, mặt 3 chấm xuất hiện đúng k lần theo công
thức Bernoulli (với p =1/6)
4) Thảy n lần một đồng xu đồng chất 2 mặt Khi đó ta có thể tính xác
suất để trong n lần thảy, mặt sấp xuất hiện đúng k lần theo công thức
Bernoulli (với p = 1/2)
Tóm tắt nội dung chính của chương 1
1) Công thức tính xác suất lựa chọn:
k n k
N N N n n
Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, trong đó có NA loại A và N-NA
loại B Dùng tính xác suất để trong n phần tử chọn ra có đúng k phần tử
Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc lập, được lặp đi lặp lại trong
những điều kiện như nhau; ở mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất
p không đổi và không xảy ra với xác suất q = 1 − p Dùng tính xác suất
để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần
3) Công thức Cộng và Nhân xác suất:
• Công thức Cộng xác suất:
- Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
- Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
• Công thức Nhân xác suất:
- Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)
- Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/ A1A2 …An-1)
Ta thường sử dụng các công thức trên khi có thể phân tích biến cố đã cho dưới dạng tổng của nhiều biến cố xung khắc từng đôi, mỗi biến cố là tích của một số biến cố
4) Công thức Xác suất đầy đủ và Công thức Bayes:
Với A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, ta có:
- Công thức xác suất đầy đủ:
Ta thường sử dụng các công thức trên khi có thể tính xác suất của biến cố
A đã cho nếu cho biết thêm một số điều kiện Dựa vào các điều kiện đó
để xây dựng một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi
5) Xác suất có điều kiện:
Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến
cố B đã xảy ra rồi Để tính xác suất có điều kiện P(A/B) thường có 2 cách:
Cách 1: Dùng công thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy ra
P(AB)
P(B)
=Trong trường hợp này, ta cần tính P(AB) và P(B) để tìm được P(A/B)
Cách 2: Dùng công thức Bayes bằng cách xây dựng một hệ biến cố
đầy đủ, xung khắc từng đôi sao cho A= Ak với k nào đó Khi đó
Trang 14BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1.1: a) Xếp ngẫu nhiên 3 người A, B, C ngồi vào một bàn dài có 10
chỗ ngồi Tính xác suất để hai người A và B ngồi cạnh nhau
b) Giải bài toán tương tự như trong câu a) nhưng đối với bàn tròn
Bài 1.2: Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ khác
a) 5 người lên cùng toa đầu
b) 5 người lên cùng một toa
c) 5 người lên 5 toa đầu
d) 5 người lên 5 toa khác nhau
e) An và Bình lên cùng toa đầu
f) An và Bình lên cùng một toa
g) chỉ có An và Bình lên cùng toa đầu
Bài 1.4: Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 nam, 3 nữ ngồi vào một bàn
dài 6 chỗ Tính xác suất để
a) 2 học sinh nam ngồi hai đầu bàn
b) 1 học sinh nam, 1 học sinh nữ ngồi hai đầu bàn
c) học sinh nam và nữ ngồi xen kẻ nhau
Bài 1.5: Một bình có 10 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi vàng
Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để có
a) 2 bi đó
b) 2 bi đỏ, 1 bi xanh
c) 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng
Bài 1.6: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu Mỗi
khẩu bắn 1 viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần
e) khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng
Bài 1.7: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi
đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp
Bài 1.8: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản
phẩm xấu Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu
Bài 1.9: Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ Từ
hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại Tính xác suất để
a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ
b) không có bi trắng nào được rút ra
Bài 1.10: Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân
xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại
A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A
Bài 1.11: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ
sản phẩm loại A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm
a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A
Trang 15b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người
khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?
Bài 1.12: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi
đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I 3 bi
rồi bỏ sang hộp II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II 4 bi
a) Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II
b) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để
trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng
Bài 1.13: Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi
trắng, 4 bi đen; hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi
trắng, 2 bi đen
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi
1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng
2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng
3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi
trắng đó là của hộp thứ nhất
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi Tính
xác suất được cả 3 bi đen
Bài 1.14: Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản
phẩm, trong đó có 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp
của xí nghiệp III Tỉ lệ sản phẩm tốt của các xí nghiệp lần lượt là 50%,
65% và 75% Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn ngẫu nhiên ra 3 sản
phẩm từ hộp đó
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt Tính xác
suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I
Bài 1.15: Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc lọai giỏi, 4 khá và 3
trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời
được tất cả, sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình
được 10 câu Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4
câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi Tính xác suất để sinh viên đó
thuộc lọai khá
Bài 1.16: Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen;
hộp II chứa 8 bi trắng và 6 bi đen Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi,
sau đó bỏ tất cả các bi còn lại của hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu
nhiên 2 bi từ hộp III Tính xác suất để trong 2 bi lấy từ hộp III có 1 trắng,
1 đen
Bài 1.17: Có hai hộp cùng cỡ Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh,
hộp thứ hai chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2 bi trắng Tính xác suất để viên bi tiếp theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng
Bài 1.18: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được
đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng thuộc loại I
Bài 1.19: Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu,
hộp II chứa 10 viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu Ta gieo một con xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì
ta chọn hộp I; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc 3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp III Từ hộp được chọn lấy ngẫu nhiên
ra 4 viên phấn Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt
Bài 1.20: Có hai kiện hàng I và II Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó
có 4 sản phẩm loại A Lấy từ mỗi kiện 2 sản phẩm Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A
Bài 1.21: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất để 1
viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%
a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt
b) Giả sử mục tiêu đã bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng
Bài 1.22: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%
Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60% Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do máy sản xuất bằng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lô hàng b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A Tính xác suất để 2 sản phẩm loại A đó đều do máy sản xuất
Bài 1.23: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I
chứa 15 sản phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ lô I lấy ra 2 sản phẩm
Trang 16a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I
b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, trong đó sp tốt có trong
Trang 17BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(GV: Trần Ngọc Hội - 2012)
CHƯƠNG 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
§1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
1.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là một đại lượng
nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử Ta dùng
• các kí tự X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên
• các kí tự x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên
1.2 Phân loại Ta chia đại lượng ngẫu nhiên thành hai loại:
1) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm
được các giá trị
Ví dụ Tiến hành n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm thành công Khi đó X là
đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0, 1, , n
2) Loại liên tục Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm được các
giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực
Ví dụ Giả sử nhiệt độ trong năm 2010 tại một địa phương dao động từ 20o C đến
33o C T (oC) là nhiệt độ đo được tại địa phương đó, ta có T là đại lượng ngẫu nhiên
liên tục nhận các giá trị trên [20,33]
1.3 Luật phân phối
1) Trường hợp rời rạc Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá
Ta gọi bảng trên là Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X Từ luật phân phối của
X ta có thể tính xác suất để X nhận các giá trị trên một tập cho trước, chẳng hạn với
Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm
xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra Tìm luật phân phối của X
Giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Ap
dụng công thức tính xác suất lựa chọn ta được:
3
1 )
2 (
; 15
8 )
1 (
; 15
2 )
0 (
2 10
0 4
2 6 2
2 10
1 4
1 6 1
2 10
2 4
0 6 0
X P p
X P p
Vậy luật phân phối của X là
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
2) Trường hợp liên tục Trường hợp X liên tục, thay cho các xác suất p1,…, pn
ta đưa ra khái niệm hàm mật độ xác suất (gọi tắt là hàm mật độ) f(x) của X thoả các
Từ định nghĩa của hàm mật độ ta thấy với Δx khá bé ta có hệ thức xấp xỉ:
Trang 18Điều này cho thấy tại điểm x nào mà giá trị của hàm f(x) lớn hơn thì ở lân cận của
điểm đó sẽ tập trung một xác suất lớn hơn, nghĩa là X nhận nhiều giá trị trong lân cận
điểm đó hơn Chính vì thế mà hàm f(x) có tên là hàm mật độ
Ví dụ 2 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ định bởi:
2
f (x) a
x 1 x
2 / 15 0 x 1 F(x)
a) Tìm hàm phân phối xác suất của X
b) Thiết bị được xếp vào loại A nếu có tuổi thọ không ít hơn 400giờ Tính tỉ lệ thiết bị loại A
Giải a) Từ định nghĩa của hàm phân phối xác suất ta có:
Trang 19§2 Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên
2.1 Mode Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của
X được xác định như sau:
• Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số các xác
suất P(X = x)
• Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất
Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất
Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau
Ví dụ 1 Xét lại Ví dụ 1, mục 1.3, ta có
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3 nên Mod(X) = 1
1) Ví dụ minh họa Trước khi đưa ra định nghĩa về kỳ vọng, ta xét một ví dụ
minh hoạ như sau: Một lớp học 100 sinh viên thi môn Anh văn với kết quả như sau:
Số sinh viên 15 30 35 20Như vậy, nếu gọi X là điểm môn Anh văn của một sinh viên trong lớp, ta thấy X là
đại luợng ngẫu nhiên rời rạc có luật phân phối như sau:
2) Định nghĩa Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X) hay E(X), là
số thực được xác định như sau:
• Nếu X rời rạc có luật phân phối
3) Ý nghĩa của kỳ vọng Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị trung
bình (tính theo xác suất) của X Đó là tâm điểm của phân phối mà các giá trị của X được phân bố xung quanh
4) Tính chất Kỳ vọng có các tính chất sau:
4.1 Tính chất 1 Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng
số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const)
4.2 Tính chất 2 Với α là hằng số ta có M(αX) = αM(X)
Trang 204.3 Tính chất 3 Kỳ vọng của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên bằng tổng của hai
kỳ vọng thành phần, nghĩa là:
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
4.4 Tính chất 4 Kỳ vọng của tích hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích
của hai kỳ vọng thành phần (X, Y độc lập khi với mọi x, y, các biến cố “X = x” và
“Y = y” độc lập), nghĩa là:
Một cách tự nhiên, một câu hỏi được đặt ra là liệu rằng ta có thể chọn số như ý định trên là giá trị trung bình của độ lệch X − μ, tức là M(X − μ), được hay không? Tuy nhiên qua tính toán ta thấy ngay M(X − μ) = 0 và như vậy rõ ràng không thể chọn M(X − μ) để đánh giá mức độ đồng đều về điểm môn Anh văn Có thể lý giải vì sao M(X−μ) = 0 như sau: Những điểm trên trung bình và những diểm dưới trung bình của sinh viên trong lớp đã triệt tiêu lẫn nhau Để tránh điều này, ta xét bình phương độ lệch (X − μ)2 với luật phân phối như sau:
(X − μ)2 (−2,15)2 (−1,15)2 (0,85)2 (1,85)2
và chọn số đã định là giá trị trung bình của bình phương độ lệch (X − μ)2, tức là M((X − μ)2):
Trang 21M((X − μ)2) = (−2,15)20,15 + (−1,15)20,3 + (0,85)20,35 + (1,85)20,2 = 2,0275
Rõ ràng số này đặc trưng cho mức độ đồng đều về điểm môn Anh văn của sinh viên
trong lớp, ta gọi số đó là phương sai của X Ví dụ trên minh hoạ cho định nghĩa tổng
quát sau:
2) Định nghĩa Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X) hay V(X),
là số thực không âm định bởi:
D(X) = M((X − μ)2), trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch
chuẩn, kí hiệu σ (X ) Vậy
) ( ) ( X = D X
3) Công thức tính phương sai Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức
khác để tính phương sai như sau:
D(X) = M(X ) [M(X)]−
trong đó M(X2), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X Như vậy,
• Nếu X rời rạc có luật phân phối
• (X − μ)2 là bình phương độ lệch của X so với kỳ vọng
• D(X) = M((X − μ)2) giá trị trung bình của bình phương độ lệch của X so với
Trong thực tế, thông thường kỳ vọng M(X) là giá trị qui định, chẳng hạn đường kính qui định, trọng lượng qui định,… Còn thực tế sản xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên
X Do đó, trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của sản xuất Trong chăn nuôi, phương sai biểu thị mức độ đồng đều của đàn gia súc,…Trong trồng trọt, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất cây trồng,…
5) Tính chất Phương sai có các tính chất sau:
Tính chất 1 Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng 0, nghĩa là:
D(C) = 0 (C: Const)
Tính chất 2 Với α là hằng số ta có
D(αX) = α2(D(X)
Tính chất 3 Phương sai của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tổng
của hai phương sai thành phần, nghĩa là:
Trang 22D(X + Y) = M[(X+Y)2] – M[(X+Y)]2 = M(X2 + 2XY + Y2] – [M(X) + M(Y)]2
= M(X2 ) + M(2XY) + M(Y2) – ([M(X)]2 + 2M(X)M(Y)+ [M(Y)]2)
= M(X2 ) + 2M(Y)M(Y)+ M(Y2) – [M(X)]2 – 2M(X)M(Y)– [M(Y)]2
= M(X2 ) – [M(X)]2 + M(Y2) – [M(Y)]2 = D(X) + D(Y)
2.4 Trung vị Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Med(X), là giá trị
của X được xác định từ hàm phân phối xác suất F(x) của X như sau:
• Nếu X rời rạc thì Med(X) là giá trị xi mà F(xi) ≤ 0,5 < F(xi+1)
• Nếu X liên tục thì Med(X) là giá trị x0 mà F(x0) = 0,5
Như vậy, trung vị là điểm chia đôi phân phối xác suất của ĐLNN
Ví dụ 1 Xét lại Ví dụ 1, mục 1.4, X có luật phân phối
a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS:
1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần ) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD
2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)
AC
= Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa
3) Nhập số liệu: Bấm xi SHIFT , pi M+ (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;) Cụ thể, ta bấm:
Ví dụ Nhập sai 0 SHIFT , 2 ab/c 2 5 M+ Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra:
- x1 = 0 (đúng)
- Freq1 = 2/25 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm 2 ab/c 1 5 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15
Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa Chẳng hạn, nhập
dư3 SHIFT , 3 a b/c 4 M + Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (dư) Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa
Trang 23Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xĩa màn hình
và thĩat khỏi chế độ chỉnh sửa
b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES:
1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP ∇ 4 1
(Bấm ∇ bằng cách bấm nút trịn xuống)
2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 cho 500ES)
(Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT)
3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau:
1
3 2
FREQX
Vị trí con trỏ Khi nhập các x i
Bấm 0
= 2
= 1
1 2
0.1333 0.5333 0.3333
Vị trí con trỏ khi nhập các p i
= 3 1
=
=
Chú ý: - Di chuyển con trỏ bằng cách bấm nút tròn
- Các phân số 2/15, 8/15, 1/3 được thể hiện trong bảng bởi 0.1333, 0.5333, 0.3333
- Để sửa số liệu bị nhập sai, để con trỏ tại đó, nhập lại số liệu đúng và bấm =
- Muốn xoá số liệu nào, để con trỏ tại đó và bấm DEL
- Sau khi nhập xong, bấm AC
4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút trịn để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy số liệu nào
sai thì để con trỏ ngay số liệu đĩ, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho
số liệu cũ
Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đĩ và bấm DEL thì tịan bộ số
liệu đĩ (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xĩa
Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xĩa màn hình
và thĩat khỏi chế độ chỉnh sửa Trong quá trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng số liệu thì
Giải Bấm máy tính như trên ta được:
< N) sản phẩm loại A Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n (0 < n < N) sản phẩm Gọi
X là số sản phẩm loại A cĩ trong n sản phẩm chọn ra Khi đĩ X là đại lượng ngẫu
nhiên nhận các giá trị nguyên k được tính theo cơng thức tính xác suất lựa chọn:
C
C
C
n N
k n N N
k
k X P
−
−
=
= ) (
Các giá trị k của X là các số nguyên thỏa:
Ta nĩi X cĩ phân phối siêu bội theo định nghĩa tổng quát sau:
3.2 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là cĩ phân phối siêu bội, kí
hiệu X ∼ H(N, NA, n) (H: chữ cái đầu của từ Hypergeometric nghĩa là siêu bội), trong
Trang 24đĩ N, NA, n là các số nguyên dương thoả 0 < n, NA < N, nếu X rời rạc nhận các giá
trị k nguyên từ max{0; n + NA−N} đến min{n; NA} theo cơng thức tính xác suất lựa
k n k
N N N n
1
C C C
−
− =
∑
điều này phù hợp với luật phân phối của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
3.3 Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X cĩ phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Khi đĩ X cĩ các đặc số như sau:
1) Kỳ vọng:
N
N p ới = A
= np v X
2) Phương sai
p q
v N
n N npq X
Ví dụ Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra
4 bi Gọi X là số bi đỏ cĩ trong 4 bi chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X và xác định
kỳ vọng, phương sai của X
Giải Ta thấy X cĩ phân phối siêu bội:
12
4 4 8
) (
nhau Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p khơng đổi, hoặc
khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần biến cố
A xảy ra trong n phép thử Khi đĩ X nhận n + 1 giá trị k = 0, 1, …, n với các xác suất được tính theo cơng thức Bernoulli:
k k n k n
P (X k) = =Cp q −
Ta noi X cĩ phân phối nhị thức theo định nghĩa tổng quát sau:
4.2 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là cĩ phân phối nhị thức, kí
hiệu X∼ B(n,p) (B: Chữ cái đầu của từ Binomial nghiã là nhị thức), trong đĩ n là số nguyên dương và 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá trị nguyên 0, 1,…, n với các xác suất được tính theo theo cơng thức Bernoulli:
)
np q k
điều này phù hợp với luật phân phối của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.Trường hợp
n = 1, ta cịn nĩi X cĩ phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p)
4.3 Các đặc số của phân phối nhị thức
Giả sử X cĩ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Khi đĩ X cĩ các đặc số như sau:
1) Mode: Mod(X) = k, trong đĩ k là số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1
2) Kỳ vọng: M(X) = np
3) Phương sai: D(X) = npq
Ví dụ Một lơ hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đĩ tỉ lệ sản phẩm loại tốt là
60% Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt cĩ trong 5 sản phẩm chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X Xác định kỳ vọng và phương sai của
X Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
Giải Ta xem việc chọn một sản phẩm là thực hiện một phép thử Vì lơ hàng cĩ
chứa rất nhiều sản phẩm nên cĩ thể xem việc chọn ra 5 sản phẩm là 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử biến cố A: “Sản phẩm thuộc loại tốt” xảy ra với xác suất p = 60% = 0,6 và khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p = 0,4 Do đĩ X cĩ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6 Suy ra X nhận 6 giá trị nguyên 0, 1,…, 5 với các xác suất được tính theo cơng thức Bernoulli:
Trang 25) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )
5
k k
k k n k k
k X
- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6 0,4 = 1,2
- Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X) = k với k là số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5 0,6 – 0,4 + 1
⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6
⇔ k = 3
Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3
Ta cũng có thể tìm lại được các kết quả trên bằng cách tính toán trực tiếp dựa
vào luật phân phối của X
4.4 Định lý Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N,
NA, n) Giả sử rằng n rất nhỏ so với N Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu
nhiên Y có phân phối nhị thức: X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với p N A
N
= , nghĩa là:
k k n k n
P (X k)= ≈C p q − (k = 0, 1, …)
Nhận xét: Vì X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) nên xác suất P(X = k)
đúng ra phải được tính theo công thức xác suất lựa chọn:
C
C
C
n N
k n N N
k
k X P
−
−
=
= ) (
Tuy nhiên, nhờ định lý trên, ta có thể tính xác suất trên theo công thức Bernoulli gọn
hơn
Ví dụ Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và
2000 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tính xác suất chọn
được 7 sản phẩm tốt
Giải Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra Khi đó X có phân
phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; NA= 8000; n =10 Vì n = 10 rất nhỏ
§5 Phân phối Poisson
5.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson, kí
hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn đếm được các giá trị nguyên k = 0, 1,… với các xác suất định bởi:
k a
e e k
a e k
a e
Điều này phù hợp với luật phân phối của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
5.2 Ví dụ về phân phối Poisson Gọi X là số lần xuất hiện của biến cố A tại
những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t1,t2) thỏa hai điều kiện sau: 1) Số lần xuất hiện của biến cố A trong một khoảng thời gian không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A trong khoảng thời gian kế tiếp
2) Số lần xuất hiện của biến cố A trong một khoảng thời gian tỉ lệ với độ dài của khoảng đó
Khi đó X có phân phối Poisson X ∼ P(a) với a = c(t2 − t1) (c được gọi là cường độ xuất hiện của A)
Ví dụ Trung bình có 1 khách đến mua hàng tại một quầy hàng trong một siêu thị
trong 3 phút Năng lực phục vụ khách của quầy hàng như sau: Trong 5 phút phục vụ được 2 người Tính xác suất:
a) có 2 khách hàng trong 30 giây;
b) có khách không được phục vụ
Giải a) Trung bình trong 30 giây có 1/6 khách đến mua hàng Gọi X là số khách
đến mua hàng trong 30 giây thì X có phân phối Poisson X ∼ P(1/6) Do đó xác suất có
2 khách hàng trong 30 giây là
2 1
6 1 e 6
b) Trung bình trong 5 phút có 5/3 khách đến mua hàng Gọi Y là số khách đến
mua hàng trong 5 phút thì Y có phân phối Poisson Y ∼ P(5/3) Do đó xác suất có khách không được phục vụ là
Trang 260 1 2
5 3
P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1) P(Y 2)
5.3 Các đặc số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a) Khi đó X có các đặc số như sau:
1) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa
2) Kỳ vọng: M(X) = a
3) Phương sai: D(X) = a
5.3 Tính chất Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1),
X2 ∼ P(a2) Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2 ∼ P(a1+ a2)
5.4 Định lý Poisson Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
X ∼ B(n,p) Giả sử rằng n khá lớn va p khá bé (thông thường p < 0,1) Khi đó có thể
xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼
P(a) với a = np, nghĩa là:
! )
(
k
a e k X P
k a
−
≈
Nhận xét Vì X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) nên xác suất P(X = k) đúng ra
phải được tính theo công thức Bernoulli:
)
n p q k
X
P = = C −Tuy nhiên, nhờ Định lý Poisson, ta có thể tính xác suất trên theo công thức gọn hơn
được phát biểu trong của định lý
Ví dụ Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để trong một giờ máy hoạt động
có 1 ống sợi bị đứt là 0,2% Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị
đứt
Giải Ta xem việc quan sát một ống sợi trong khoảng thời gian một giờ máy
hoạt động là một phép thử Khi đó, do máy dệt có 1000 ống sợi, ta có 1000 phép thử
độc lập Gọi A là biến cố ống sợi bị đứt Trong mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với
xác suất p = 0,2% = 0,002 và không xảy ra với xác suất q = 1− p = 0,998 Do đó, gọi
X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị
§6 Phân phối chuẩn
6.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí
hiệu X ∼ N(μ, σ2) (N: Chữ cái đầu tiên của từ Normal nghĩa là chuẩn), trong đó μ, σ
là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật độ xác định trên R định bởi:
2 2
(x )2
μ σ =
σ π
Hiển nhiênf ,σ( x ) > 0, hơn nữa
1 2
1 )
2 2 ) (
∞
−
dx e
dx x f
x
σ μ
Điều này cho thấyf ,σ( x ) thỏa các tính chất của hàm mật độ
6.2 Các đặc số của phân phối chuẩn
Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) Khi đó X có các đặc số như sau:
1) Mode: Mod (X) = μ
2) Kỳ vọng: M(X) = μ
3) Phương sai: D(X) = σ2
6.3 Hàm Gauss Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X có
phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1):
2
1 )
2
x
e x
Trang 27Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn [0 ;
3,99] Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
1 ) (
0 2
2
dt e x
x t
=
π ϕ
Hàm Laplace y = ϕ(x) la hàm số lẻ (nghĩa là ϕ(−x) = −ϕ(x)), liên tục trên R và có đồ
thị đối xứng qua gốc tọa độ như sau:
Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trị của ϕ(x) trên đoạn [0,5] Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
6.5 Công thức tính xác suất của phân phối chuẩn
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) Khi đó, xác suất để X lấy các giá trị thuộc [a; b] là:
(x )
2 ,
Trang 28(x ) b 2 a
Qui tắc k-sigma cho thấy khi X có phân phối chuẩn thì xác suất để các giá trị của X
sai lệch với kỳ vọng μ = M(X) không quá k lần độ lệch chuẩn σ là 2ϕ(k) Chẳng hạn,
1) Với k = 1, ta có Qui tắc 1-sigma:
Ví dụ Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trọng lượng trung bình50kg và phương sai 100kg2 Một sản phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản phẩm trên
Giải Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho Từ giả thiết ta suy ra X có
phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10) Vì một sản phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nghĩa là 45 ≤ X ≤ 55 nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55) Ap dụng công thức trong 6.5, ta có
6.7 Định lý Moivre-Laplace Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
nhị thức X ∼ B(n,p) Giả sử rằng n khá lớn và p không quá gần 0 cũng không quá
gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9) Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ = npq
(q = 1 − p) nghĩa là:
σ
μ σ
−
≈
= k f k X
trong đó f(x) là hàm Gauss và ϕ(x) là hàm Laplace
Nhận xét Vì X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) nên xác suất P(X = k) đúng ra phải được tính theo công thức Bernoulli:
Trang 29)
np q k
X
P = = C −
Tuy nhiên, nhờ Định lý Moivre-Laplace, ta có thể tính xác suất trên theo công thức
gọn hơn được phát biểu trong định lý
Ví dụ Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện
gồm 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Khách hàng chọn
cách kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít
nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 140 kiện
trong rất nhiều kiện Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được nhận
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận
Giải Ta lưu ý Sơ đồ giải như sau:
Bước 1: Tính xác suất p để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện đó
Bước 2: Gọi X là số kiện được nhận trong n kiện được kiểm tra (n khá lớn, ở đây n
=140 ) Khi đó X có phối nhị thức X ∼ B(n,p) Có 2 trường hợp xảy ra:
a) p nhỏ (thông thường p < 0,1): Xấp xỉ X bằng phân phối Poisson: X ∼ P(a)
với a = np, nghĩa là
! ) (
k
a e k X P
k a
−
≈
b) p không nhỏ cũng không lớn (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9): Xấp xỉ X bằng
phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ = npq (q = 1− p), nghĩa là:
trong đó f(x) là hàm Gauss và ϕ(x) là hàm Laplace
Như vậy, để giải bài toán, trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi
khách hàng kiểm tra kiện đó Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản
phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có
ít nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn kiện, nghĩa là nếu chọn được 2 tốt, 1 xấu hoặc 3 tốt thì
mới chọn kiện Do đó theo công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một
kiện được nhận là:
3
2 )
3 ( ) 2 ( ) 3 2
10
0 4
3 6 3
10
1 4
2 6 3
k P
p
Ta xem viec kiểm tra một kiện là một phép thử Khi đó, khách hàng kiểm tra 140 kiện
nên ta có 140 phép thử độc lập Gọi A là biến cố kiện hàng được nhận Theo kết quả
trên, trong mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p = 2/3 và không xảy ra với
xác suất q = 1−p = 1/3 Do đó, gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện
26
được kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3 Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 140.2/3 = 93,3333, σ = npq = 140 2 / 3 1 / 3 = 5 , 5777
a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là:
(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ(2,99)=0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257)
6.8 Khái niệm về Định lý giới hạn trung tâm
Định lý giới hạn trung tâm là một định lý có nhiều ứng dụng trong thực tế mà
một hệ quả của định lý này là: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X là tổng của một số lớn (≥
30) các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và giá trị của mỗi đại lượng đóng vai trò rất nhỏ trong tổng đó thì X sẽ có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn, nghiã là:
Nếu X = X 1 + X 2 + + X n với n khá lớn, trong đó các X i độc lập và mỗi X i có ảnh hưởng rất ít đến X, thì có thể xem như X có phân phối chuẩn
Ý nghĩa của Định lý giới hạn trung tâm là khi có nhiều nhân tố ngẫu nhiên tác động sao cho không có nhân tố nào vượt trội lấn át các nhân tố khác thì kết quả của chúng xấp xỉ phân phối chuẩn Điều này cho thấy sự phổ biến của phân phối chuẩn trong thực tế Chẳng hạn, khi tình hình sản xuất bình thường thì sai lầm của phép đo trong vật lý thường là do tổng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên mà mỗi đại lượng ảnh hưởng không đáng kể nên sai lầm đó sẽ có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn Tương
tự, trong nông nghiệp, khi tình hình sản suất bình thường thì năng suất của một loại cây trồng trên những thửa ruộng khác nhau; trọng lượng của gia súc cùng độ tuổi trong điều kiện chăm sóc như nhau,…là những đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp
xỉ phân phối chuẩn
§7 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
7.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều hay biến ngẫu nhiên 2 chiều là
một cặp đại lượng (X,Y), trong đó X, Y là các ĐLNN Ta nói (X,Y) rời rạc (t.ư liên tục) nếu X, Y đều rời rạc (t.ư đều liên tục)
Trang 307.2 Luật phân phối của ĐLNN hai chiều rời rạc
Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc (X,Y)có dạng:
Y
X y1 yj ym
x1 P(x1,y1) P(x1,yj) P(x1,ym)
xi P(xi,y1) P(xi,yj) P(xi,ym)
xn P(xn,y1) P(xn,yj) P(xn,ym) trong đó
xi pi1 pij pim pi …
xn pn1 pnj pnm pn
PY q1 … qj … pm 1 3) Luật phân phối của X như sau:
Ví dụ Thống kê dân số của một vùng theo hai chỉ tiêu: Giới tính X và học vấn Y,
ta được kết quả sau:
Y
X
Thất học
0 Phổ thông1 Đại học2 Nam: 0 0,1 0,25 0,16
Nữ : 1 0,15 0,22 0,12 a) Lập luật phân phối xác suất của giới tính, của học vấn
b) Học vấn có độc lập với giới tính không?
c) Chọn ngẫu nhiên một người Tính xác suất người đó không bị thất học d) Lập luật phân phối xác suất học vấn của nữ Tính trung bình học vấn của nữ
Giải Ta viết lại luật phân phối của (X,Y) như sau:
PX 0,51 0,49 Luật phân phối xác suất của học vấn Y:
PY 0,25 0,47 0,28 b) Học vấn không độc lập với giới tính vì p11 = 0,1 ≠ 0,51.0,25 = p1q1 c) Xác suất một người không bị thất học là
P(Y > 0) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0,25 = 0,75
d) Luật phân phối xác suất học vấn của nữ như sau:
Trang 31PY1 0,15/0,49 0,22/0,49 0,12/0,49 hay
PY1 15/49 22/49 12/49 Trung bình học vấn của nữ là: M(Y1) = 0.15/49 + 1.22/49 + 2.12/49 = 46/49
TĨM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG 2
1 Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên
2 Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phương sai, Trung vị
3 Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, NA, n) với xác suất định bởi:
C
C
C
n N
k n N N
k
k X P
−
−
=
= ) (
Khi đĩ:
- Kỳ vọng:
N
N p ới = A
= np v X
N
n N npq X
4 Phân phối nhị thức: X ∼ B(n,p) với xác suất định bởi:
)
np q k
k
a e k X P
k a
).
( ) ( ) (
σ
μ ϕ σ
7 Xấp xỉ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p):
X cĩ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n khá lớn Cĩ 2 trường hợp:
a) Trường hợp 1: p khá nhỏ (thơng thường p < 0,1)
Khi đĩ cĩ xem X cĩ phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là:
! )
(
k
a e k X P
k a
−
≈
( Thay vì tính theo cơng thức Bernoulli P (X k)= =Ck k n knp q − )
b) Trường hợp 2: p khơng quá gần 0 cũng như 1 (thơng thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9)
Khi đĩ cĩ xem X cĩ phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np,
(Thay vì tính theo cơng thức Bernoulli P (X k)= =Ck k n knp q − )
Chú ý Ta phải tìm xác suất p trong phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Sau đĩ, tùy theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn
8 Luật phân phối của ĐLNN hai chiều rời rạc
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 2.1: Cho ĐLNN X cĩ luật phân phối xác suất như sau:
X 0 1 2 3
P 0,15 0,45 0,3 0,1a) Tìm Mod(X), M(X), D(X), σ(X)
Trang 32b) Tính P(–1 < X < 2); P(|X – M(X) | < 0,5) và P(|X – M(X) | > 0,8)
c) Tìm hàm phân phối xác suất của X và xác định Med(X)
Bài 2.2: Cho ĐLNN X có luật phân phối xác suất như sau:
X 0 1 4 6
P 1/8 4/8 1/8 2/8 Tìm kỳ vọng và phương sai của Y = 5X + σ(X)
Bài 2.3: Cho ĐLNN X liên tục có hàm mật độ như sau:
b) Tìm kỳ vọng, phương sai, Mod(X) và P(|X – M(X) | < 0,5)
c) Tìm hàm phân phối xác suất của X và xác định Med(X)
Bài 2.4: Tuổi thọ của một loại thiết bị là một ĐLNN X (đv: tháng) có hàm mật độ định bởi:
x 2
a) Tìm xác suất để một thiết bị có tuổi thọ ít nhất 5 tháng
b) Tìm xác suất để khi 6 thiết bị loại trên hoạt động độc lập thì có 2 thiết bị có tuổi thọ ít nhất
Bài 2.6: Trung bình 40 giây có 2 ô tô đi qua trạm giao thông
a) Tính xác suất có 3 đến 4 ô tô đi qua trạm trong khoảng thời gian 2 phút; có 7 ô tô đi qua
trạm trong khoảng thời gian 3 phút
b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian T có ít nhất 1 ô tô đi qua trạm Xác định T để xác
suất này bằng 95%
Bài 2.7: Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài
Gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây Xác suất để 1 chai mỗi loại bị bể trên đường
đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3% Nếu không quá 1 chai bị bể thì lái xe được thưởng
a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể
b) Tính xác suất để lái xe được thưởng
c) Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến được thưởng không
nhỏ hơn 0,9?
Bài 2.8: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2000 linh kiện C Xác suất
hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005% Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1 Các linh kiện hỏng độc lập với nhau
a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng
b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động
c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động
Bài 2.9: Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2 Những sản phẩm có trọng lượng
từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm) Tính xác suất để
a) có đúng 70 sản phẩm loại A
b) có không quá 60 sản phẩm loại A
c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A
Bài 2.10: Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản
phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện) Tính xác suất để
a) có 42 kiện được nhận
b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận
c) có ít nhất 42 kiện được nhận
Bài 2.11: Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản
phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối như sau:
X 6 8
P 0,9 0,1Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu thấy cả 2 sản phẩm đều loại A thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 144 kiện (trong rất nhiều kiện)
a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận
b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận
c) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện được nhận không nhỏ hơn 95%?
Bài 2.12: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy
khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60% Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để
a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
c) có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
Trang 33Bài 2.13: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 1% và một máy khác cũng sản
xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ phế phẩm là 2% Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất
1000 sản phẩm Tính xác suất để
a) có 14 phế phẩm
b) có từ 14 đến 20 phế phẩm
Bài 2.14: Một xí nghiệp có hai máy I và II Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự thi được
phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A không ít
hơn 70 thì công nhân đó sẽ được thưởng Giả sử đối với công nhân X, xác suất sản xuất được
1 sản phẩm loại A với các máy I và II lần lượt là 0.6 và 0,7
a) Tính xác suất để công nhân X được thưởng
b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
Bài 2.15: Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại súng và với
khẩu súng chọn được sẽ bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thì được
thưởng Giả sử đối với chiến sĩ A, xác suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng loại I là 60%
và bằng khẩu súng loại II là 50%
a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng
b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần
được thưởng không nhỏ hơn 98%?
Bài 2.16 Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến
0,122cm Có hai cửa hang cùng bán loại gioăng này với độ dày có phân phối chuẩn với các
đặc số trong bảng sau:
Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán Cửa hàng A 0,12 0,001 3USD/hộp/1000 cái
Cửa hàng B 0,12 0,0015 2,6USD/hộp/1000 cái
Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào?
Bài 2.17 Tuổi thọ của một bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
tuổi thọ trung bình là 1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ.Nếu thời gian sử dụng không quá
1251 giờ thì bảo hành miễn phí
a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành
b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ còn 1%?
Bài 2.18 Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
tuổi thọ trung bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm Bán được 1 máy thì lời 100 ngàn
đồng, nhưng nếu máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình khi bán
một máy là 30 ngàn đồng thì phải qui định thời gian bảo hành trong bao lâu?
Bài 2.19 Thời gian cần thiết để một sinh viên đi từ ký túc xá đến trường là một đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 60 phút, độ lệch chuẩn là 15 phút
a) Sinh viên xuất phát từ ký túc xá trước giờ học 72 phút Tính xác suất sinh viên đó bị trễ
a) Chọn ngẫu nhiên 450 người Tính xác suất để trong dó số nữ ít hơn số nam
b) Phải chọn ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu người để trong đó với xác suất 99% ta có số nữ không ít hơn số nam?
Bài 2.21: Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có
trong hai lô I và II lần lượt là 70% và 80% Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra Tìm kỳ vọng và phương sai của X
Bài 2.22: Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng và
hộp II gồm 7 bi đỏ, 3 bi trắng Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai bi
a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trắng
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra Tìm luật phân phối của X
Bài 2.23: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản
phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 6 sản phẩm này
a) Tìm luật phân phối của X
b) Không dùng luật phân phối của X, hãy tính M(X), D(X)
Bài 2.24: Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 2 bi trắng và
hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau đó rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi
Bài 2.26: Một người có 5 chìa khóa bề ngoài rất giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở được
cửa Người đó tìm cách mở cửa bằng cách thử từng chìa một cho đến khi mở được cửa thì thôi (tất nhiên, chìa nào không mở được thì loại ra) Gọi X là số chìa khóa người đó sử dụng Tìm luật phân phối của X Hỏi người đó thường phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa? Trung bình người đó phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa?
Trang 34Bài 2.27: Một người thợ săn có 5 viên đạn Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn trúng
mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa Biết xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bắn ra là
0,8 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng trong cuộc săn
a) Tìm luật phân phối của X
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X
Bài 2.28: Một người thợ săn có 4 viên đạn Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn 2 viên
trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa Biết xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bắn
ra là 0,8 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng trong cuộc săn
a) Tìm luật phân phối của X
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X
Bài 2.29: Cho hai ĐLNN X và Y có bảng phân phối như sau:
Y
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07 a) Lập luật phân phối xác suất của X, Y
b) Chứng minh X và Y độc lập
c) Tìm luật phân phối của Z = XY
d) Tìm kỳ vọng của Z
Bài 2.30: Thống kê về lãi suất cổ phiếu tính cho 100USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và
B trong 1 năm tương ứng là X (đv: %) và Y(đv: %) cho kết quả trong bảng sau:
b) X và Y có độc lập hay không?
c) Tính lãi suất cổ phiếu trung bình của A khi lãi suất cổ phiếu của B là 5%
ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 2.1: a) Mod(X) = 1; M(X) = 1,35; D(X) = 0,7275, σ(X) = 0,8529
b) P(–1 < X < 2) = 0,6; P(|X – M(X) | < 0,5) = 0,45; P(|X – M(X) | > 0,8) = 0,25
0,15 0 x 1 c) Med(X) 1; F(x) 0,6 1 x 2
2.18: 3,195 năm 2.19: a) 0,2119 b) 84,75 phút
2.24: a) 73/2475
b)
P 179/825 223/450 1277/4950 73/2475
