BÀI TẬP XÁC SUẤT THÔNG KÊ THPT docx

BÀI GI NG XÁC SU T Dành cho HS THPT Biên so n : TS... c Không có viên nào trúng.

BÀI GI NG XÁC SU T (Dành cho HS THPT)

Biên so n : TS Nguy n Vi t ông, Khoa Toán –Tin h c, HKHTN, HQG TP.HCM

I TÓM T T LÝ THUY T

1 Qui t c đ m

a) Qui t c c ng : Gi s đ i t ng X có m cách ch n khác nhau, đ i t ng Y có n cách ch n khác nhau và không có cách ch n đ i t ng X nào trùng v i m i cách ch n đ i t ng

Y Khi đó có m + n cách ch n m t trong hai đ i t ng y

b) Qui t c nhân : Gi s có hai hành đ ng đ c th c hi n liên ti p Hành đ ng th nh t có m

k t qu ng v i m i k t qu c a hành đ ng th nh t, hành đ ng th hai có n k t qu

Khi đó có m.n k t qu c a hai hành đ ng liên ti p đó

2 Hoán v , ch nh h p, t h p

Cho A là t p h p g m n ph n t (n 1)

a) M i cách s p đ t t t c n ph n t c a A theo m t th t nào đó đ c g i là m t hoán v

c a n ph n t S các hoán v c a n ph n t đ oc ký hi u là Pn

Công th c : Pn = n !

b) M i cách l y ra k ph n t t t p A (1 k n) và x p chúng theo m t th t nh t đ nh đ c

g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t S các ch nh h p ch p k c a n ph n t đ c

kí hi u là k

n

A

Công th c ( 1)( 2) ( 1) !

( )!

k n

n

n k

 c) M i t p con g m k ph n t c a t p h p A(1 k n) đ c g i là m t t h p ch p k c a n

ph n t Qui c t h p ch p 0 c a n ph n t là t p r ng

Công th c !

!( )!

k n

n C

k n k





3 Phép th và bi n c

a) M t phép th mà k t qu c a nó không th đoán tr c đ c, nh ng có th li t kê ra t t c các k t qu có th x y ra g i là phép th ng u nhiên T p h p t t c các k t qu có th x y

ra c a phép th g i là không gian m u c a phép th đó Không gian m u đ c kí hi u b i



b) Trong m t phép th ng u nhiên, m i t p con c a không gian m u đ c g i là m t bi n c

N u k t qu c a phép th là m t ph n t c a bi n c A, thì ta nói trong phép th đó, bi n

c A x y ra

www.vietmaths.com

VD1 Gieo m t con xúc x c, g i 1, 2, …, 6 là s ch m xu t hi n thì không gian m u là

= {1,2,…, 6}

VD2 Gieo m t đ ng xu hai l n, thì không gian m u là

 = {SS, SN, NS, NN}

VD3 Gieo m t con xúc x c Bi n c B = {1, 3, 5} là bi n c s ch m xu t hi n c a xúc

x c là s l

4 M t s l ai bi n c

a) Bi n c s c p

M i t p h p con g m đúng m t ph n t c a không gian m u g i là m t bi n c s c p

VD4 Trong ví d 1 thì bi n c A = {1} là bi n c s c p

b) Bi n c ch c ch n, bi n c không th

B n thân t p  đ c g i là bi n c ch c ch n T p r ng là bi n c không th

c) Bi n c h p (t ng), bi n c giao(tích), bi n c bù

Bi n c A B (còn kí hi u là A+ B) g i là bi n c h p c a hai bi n c A và B Bi n c

A B( còn kí hi u là AB) g i là bi n c giao c a hai bi n c A và B Bi n c A \A

g i là bi n c bù c a bi n c A

VD5 Trong ví d 1, xem các bi n c A={1,3,5}, B= {3,6}

Khi đó :

- Bi n c AB là bi n c {1,3,5,6} nó ch không x y ra khi s ch m xu t hi n là 2

ho c 4

- Bi n c AB là bi n c {3}

- Bi n c bù c a bi n c A là bi n c xúc x c xu t hi n m t ch n

Nh n xét: Bi n c AB x y ra khi và ch khi có ít nh t m t trong hai bi n c A và B x y ra

Bi n c AB x y ra khi và ch khi c hai bi n c A và B đ ng th i x y ra

Bi n c A x y ra khi và ch khi A không x y ra

d) Bi n c xung kh c

Hai bi n c g i là xung kh c n u chúng không th x y ra trong cùng m t phép th

e) Bi n c đ ng kh n ng

Các bi n c đ c g i là đ ng kh n ng n u chúng có cùng kh n ng xu t hi n khi ti n

hành phép th

f) Bi n c đ c l p

Các bi n c đ c g i là đ c l p n u vi c x y ra c a m t bi n c không nh h ng gì đ n

vi c x y ra c a nh ng bi n c còn l i www.vietmaths.com

5 nh ngh a xác su t

N u không gian m u g m n bi n c s c p đ ng kh n ng và bi n c A g m m bi n c s

c p thì xác su t c a bi n c A là P A( ) m

n

Nh n xét : 0P A( ) 1. P( ) 1.  P( ) 0

VD6 M t bình đ ng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đ L y ng u nhiên ra hai viên bi Tính xác su t đ đ c hai viên bi xanh

Gi i Có

2

5 10

C 

cách ch n 2 viên bi trong 5 bi (không gian m u g m 10 ph n t )

Có

2

3 3

C 

cách ch n 2 bi xanh trong 3 bi (đây là s ph n t c a bi n c đang xét)

Do đó xác su t đ l y đ c 2 bi xanh là 3/10

6 Công th c c ng xác su t

a) N u A và B là hai bi n c xung kh c thì P(A  B ) = P(A) + P(B)

b) N u A và B là hai bi n c tùy ý thì P (A  B ) = P(A) + P( B) – P (AB)

c) P A( ) 1 P A( )

VD7 Trong bình đ ng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đ L y ng u nhiên 3 viên Tính xác su t a) L y đ c m t ho c hai viên bi đ

b) L y đ c ít nh t m t viên bi đ

Gi i

a) t A1 là bi n c trong 3 viên l y ra có đúng m t viên đ và A2 là bi n c trong 3 viên l y

ra có đúng hai viên đ Ta ph i tính xác su t c a bi n c A là bi n c trong ba viên l y ra

có m t ho c hai viên đ Các bi n c A1 và A2 là xung kh c Do đó

P(A1A2) = P(Awww.vietmaths.com1) + P(A2)

1 2

4 6

10

2 1

4 6

10

1 ( )

2 3 ( )

10

( )

2 10 5

C C

P A

C

C C

P A

C

P A

b) G i B là bi n c l y đ c ít nh t m t viên bi đ thì

3 6 3 10 ( ) 1 ( ) 1 C

C

   

VD8 M t l p h c có 50 h c sinh, trong đó có 12 h c sinh gi i Toán, 8 h c sinh gi i V n

và 2 h c sinh gi i c V n l n Toán Ch n ng u nhiên m t h c sinh Tính xác su t ch n

đ c m t h c sinh gi i V n hay Toán (gi i c hai môn càng t t)

Gi i G i A là bi n c ch n đ c h c sinh gi i Toán , B là bi n c ch n đ c h c sinh gi i

V n Ta c n tính P(A B) Ta có

12 ( )

50 8 ( )

50 2

50

50 50 50

P A

P B

P A B

P A B





7 Công th c nhân xác su t

N u A và B là hai bi n c đ c l p thì P(AB) = P(A).P(B)

VD9 Hai ng i b n X và Y cùng đi câu cá Xác su t đ X câu đ c ít nh t m t con là 0,1 Xác su t đ Y câu đ c ít nh t m t con là 0,15 Tính xác su t đ hai b n X, Y không tr v tay không

Gi i Xác su t đ X tr v tay không là

P(A) = 1 – 0,1 = 0,9

Xác su t đ Y tr v tay không là

P(B) = 1 – 0,15 = 0,85

Các bi n c A và B là đ c l p V y xác su t đ c X và Y tr v tay không là www.vietmaths.com

P(AB) = P(A) P(B) = 0,9 0,85 = 0,765

V y sau bu i câu cá, gom s cá đã câu đ c, xác su t đ hai b n đ c ít nh t m t con là

1 – P ( A  B) = 1 – 0,765 = 0, 235

8 Bi n ng u nhiên r i r c

i l ng X đ c g i là bi n ng u nhiên r i r c n u nó nh n giá tr b ng s thu c m t t p h u

h n nào đó và giá tr y là ng u nhiên không d đoán tr c đ c

VD10 Gieo đ ng xu 5 l n liên ti p Kí hi u X là s l n xu t hi n m t ng a thì X là bi n ng u nhiên r i r c, giá tr c a X là m t s thu c t p {0, 1, 2, 3, 4, 5}

9 Phân b xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c

Cho X là đ i l ng ng u nhiên r i r c nh n các giá tr x1 , x2 , …, xn G a s P(X = xk) = pk

B ng sau đây đ c g i là b ng phân b xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c X

Chú ý : p1 + p2 + p3+ …+ pn = 1

10 Kì v ng , ph ng sai vƠ đ l ch chu n c a bi n ng u nhiên r i r c

Cho bi n ng u nhiên r i r c nh trong m c 9

a) Kì v ng c a X, kí hi u là E(X), là m t s đ c tính theo công th c:

E(X) = x1 p1 + x2p2+ … + xnpn

b) Ph ng sai c a X, kí hi u là V(X) là m t s đ c tính theo công th c

2

1

n

i



Chú ý

1

n

i i i



c) C n b c hai c a ph ng sai , kí hi u là (X) , đ c g i là đ l ch chu n c a X, ngh a là

( )X V X( )

II BÀI T P M U

BT1 Gieo hai con xúc x c Tính xác su t t ng s ch m hai m t trên b ng 5

www.vietmaths.com

Gi i Không gian m u là  = { (1,1), (1,2),…, (6, 6)} g m 36 bi n c s c p đ ng kh n ng

Bi n c “đ c t ng s ch m b ng 5” là t p con A = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } g m 4 ph n

t V y ( ) 4 1

36 9

P A   .

BT2 M t vé s s có 4 ch s Khi quay s , n u vé c a b n mua có s trùng hoàn toàn v i

k t qu thì b n đ c gi i nh t N u vé c a b n mua có đúng 3 ch s trùng v i 3 ch s c a

k t qu (k c v trí) thì b n trúng gi i nhì B n An mua m t vé x s

a) Tính xác su t đ An trúng gi i nh t

b) Tính xác su t đ An trúng gi i nhì

Gi i

a) S k t qu đ ng kh n ng là 104 và ch có m t k t qu trùng v i s vé c a An Do đó xác

su t trúng gi i nh t c a An là 1 0, 0001

b) Có 9 vé sai khác hàng đ n v ( so v i s trúng gi i nh t), t ng t c ng có 9 vé sai khác hàng ch c, hàng tr m, hàng ngàn, hàng v n Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng gi i nhì

V y xác su t trúng gi i nhì c a An là 36 0, 0036

10000 

BT3 M t l p h c có 30 h c sinh, trong đó có có 10 n Ch n ng u nhiên 3 ng i tr c l p Tính xác su t trong 3 ng i đó có đúng m t n

Gi i S tr ng h p đ ng kh n ng là 3

30

C G i A là bi n c có đúng m t n trong 3 ng i đ c

ch n thì s tr ng h p đ ng kh n ng thu n l i cho bi n c A là 1 2

10 20

C C Xác su t c a bi n c

A là

10 20

3

30

95 ( )

203

P A

C



BT4 M t c quan có 100 ng i, trong đó có 60 nam S g n c quan là 50, trong s này có

35 nam Nh ng ng i nam ho c g n c quan thì ph i tr c đêm Ch n ng u nhiên m t ng i trong c quan Tính xác su t ng i đó ph i tr c đêm

Gi i G i A là bi n c ng i đó là nam, B là bi n c ng i đó g n c quan Khi đó bi n c

A B là bi n c ng i đó ph i tr c đêm Ta có

100 100 100 100

P A B P A P Bwww.vietmaths.comP A B     

BT5 Có 3 h p ph n H p th nh t có 2 viên tr ng 3 viên màu ; h p th hai có 4 viên tr ng 7

viên màu; h p th ba có 3 viên tr ng 5 viên màu L y ng u nhiên t m i hôp ra m t viên

a) Tính xác su t c 3 viên l y ra đ u tr ng

b) Tính xác su t trong 3 viên l y ra có hai viên tr ng

Gi i G i A, B, C là bi n c viên ph n l y ra t hôp th nh t, th hai, th ba là viên tr ng Ba

bi n c này đ c l p

a) Bi n c c ba viên đ u tr ng là ABC

15 11 8 35

P A B C P A P B P C  

b) Bi n c 3 viên l y ra có 2 viên tr ng là

2 4 5 2 7 3 3 4 3 59

15 11 8 15 11 8 5 11 8 220

BT6 M t lô hàng ch a 10 s n ph m, trong đó có 6 s n ph m t t và 4 s n ph m x u Ch n ng u nhiên t lô hàng 2 s n ph m G i X là s s n ph m t t có trong hai s n ph m ch n ra

a) L p b ng phân b xác su t c a X

b) Tính kì v ng, ph ng sai và đ l ch chu n c a X

Gi i

a) Ta th y X là bi n ng u nhiên r i r c có th nh n các giá tr là 0, 1, 2 Ta có

0 2

6 4

10

1 1

6 4

10

2 0

6 4

10

2 ( 0)

15 8 ( 1)

15 1 ( 2)

3

C C

p P X

C

C C

p P X

C

C C

p P X

C

V y b ng phân b c a X là

b) Kì v ng, ph ng sai và đ l ch chu n c a X www.vietmaths.com

2 2 2 2

( ) ( ) 0, 4267 0, 6532

E X

V X



III BÀI T P T NG T

BT1 Ta vi t ng u nhiên các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các t m phi u, sau đó x p ng u nghiên thành m t hàng Tính xác su t đ c m t s ch n

S: 4/9

BT2 X p ng u nhiên 5 ng i ng i vào m t cái bàn dài có 5 ch ng i Tính xác su t :

a) A và B ng i đ u bàn

b) A và B ng i c nh nhau

C ng h i nh trên nh ng xét bàn tròn mà các v trí hoàn toàn nh nhau

S a) 0,1 b) 0,4 N u bàn tròn b) 0,5

BT3 X p ng u nhiên 5 ng i A,B, C, D, E lên 7 toa tàu Tính xác su t :

a) 5 ng i lên cùng toa đ u

b) 5 ng i lên cùng m t toa

c) 5 ng i lên 5 toa đ u

d) 5 ng i lên 5 toa khác nhau

e) A và B lên cùng toa đ u

f) A và B lên cùng m t toa

g) A và B lên cùng toa đ u , C, D, E không lên toa này

S: a) 1/75

; b) 1/74; c) 120/75; d)7.6.5.4.3/75 ; e) 1/49; f)1/7; g) 63/75

BT4 M t s n ph m ph i l n l t qua 4 công nhân gia công đ c l p Xác su t đ m i công nhân làm h ng s n ph m là 0,01.Tính xác su t đ s n ph m su t x ng không h ng

S : (0,99)4

BT5 Ba x th đ c l p b n m i ng i m t viên vào 3 t m bia Xác su t đ các x th b n trúng bia l n l t là 0,7; 0, 8; 0,5 Tính xác su t trong 3 viên có

a) M t viên trúng

b) Hai viên trúng

c) Không có viên nào trúng

d) It nh t m t viên trúng

www.vietmaths.com

S : a)0,22; b) 0,47; c)0,03; d) 0,97

BT6 G i A là t p h p các s g m hai ch s khác nhau đ c lâp thành t các ch s 1,2,3,4,5,6 L y ng u nhiên m t ph n t c a A, tính xác su t l y đ c s ch n

S: 2/15

BT7 M t bình đ ng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đ L y ng u nhiên 3 viên bi Tính xác su t đ

đ c:

a) 3 viên xanh

b) 3 viên đ

c) 3 viên cùng màu

d) Ít nh t hai viên xanh

S:a) 14/55; b)1/55; c)3/11; d) 42/55

BT8 M t bình đ ng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đ và hai viên bi vàng L y ng u nhiên 2 viên bi Tính xác su t đ đ c ;

a) 2 viên cùng màu

b) 2 viên khác màu

S: a)5/18; b) 13/18

BT9 Cho hai h p đ ng bi , m i h p đ ng 10 bi H p th nh t đ ng 6 bi đ và 4 bi tr ng H p

th hai đ ng 7 bi đ và 3 bi tr ng Rút ng u nhiên t m i h p 2 bi

a) Tính xác su t đ đ c 2 bi đ và hai bi tr ng

b) G i X là bi n ng u nhiên ch s bi đ trong 4 bi đ c l y ra L p b ng phân b xác su t

c a X

S: a) 1/3 b)

P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45

BT10 M t bình đ ng 4 viên bi đen và 6 viên bi tr ng L y ng u nhiên 3 viên G i X là s viên đen có đ c L p b ng phân b xác su t c a X

S:

BT11 Gieo 3 con xúc x c G i X là s con xúc x c xu t hi n m t 6 L p b ng phân b xác su t

c a X

S :

P 125/216 75/216 15/216 1/216

www.vietmaths.com