CHỦ ĐỀ DẠY HỌC: HÀM SỐ BẬC HAI

Việc khảo sát hàm số bậc hai là đi tìm tập xác định, vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên và xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc hai, để từ đó vận dụng được kiến thức về hàm số bậc h

1

CHỦ ĐỀ DẠY HỌC: HÀM SỐ BẬC HAI Tác giả chuyên đề: Trần Quyết

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Liễn Sơn

Đối tượng: Học sinh lớp 10 – Chương trình cơ bản

Dự kiến số tiết dạy: 03 tiết

1 Xác định vấn đề cần giải quyết trong bài học

Toán học luôn gắn liền với thực tiễn, xuất phát từ thực tiễn và phục vụ đời sống thực tiễn Trong đời sống, việc thiết kế một số công trình hoặc trong sản xuất có lúc phải sử dụng đến kiến thức về hàm số bậc hai thì mới có khả năng giải quyết được vấn đề Việc khảo sát hàm số bậc hai là đi tìm tập xác định, vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên và xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc hai, để từ đó vận dụng được kiến thức về hàm số bậc hai vào giải quyết các bài tập và tình huống cụ thể

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chủ đề hàm số bậc hai trình bày tương đối khoa học, chặt chẽ và logic, tuy nhiên chưa nêu bật được ngay sự xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cần phải có kiến thức đó và các bài toán đưa ra vẫn còn thiếu tính tự nhiên, còn thuần túy tính khoa học toán học Các ví dụ đưa ra chưa có nội dung thực tế làm cho học sinh chưa thấy được sự gần gũi của toán học trong đời sống

2 Xác định chuẩn kiến thức, kĩ năng, năng lực

Về kiến thức:

- Biết công thức của hàm số bậc hai và tập xác định của nó

- Hiểu được sự biến thiên và đồ thị của hàm số bậc hai trên tập xác định của nó

Về kỹ năng:

2

- Lập được bảng biến thiên của hàm số bậc hai; xác định được tọa độ đỉnh, trục đối xứng, vẽ được đồ thị của hàm số bậc hai

- Tìm được phương trình parabol yax2 bxc khi biết một số điều kiện xác định

- Đọc được đồ thị của hàm số bậc hai; từ đồ thị xác định được trục đối xứng, đỉnh của

parabol, các giá trị của x để y 0;y và giải được bài toán về phương trình bậc hai 0 chứa tham số thỏa mãn một số điều kiện cho trước

- Dùng được bảng biến thiên của hàm số bậc hai trên , trên một khoảng, đoạn cho trước để giải bài toán có chứa tham số và tìm giá trị lớn nhất

- Giải được một số bài toán có nội dung thực tế về hàm số bậc hai

- Giải nhanh được một số bài tập trắc nghiệm về hàm số bậc hai

3 Lựa chọn nội dung xây dựng bài học

- Đồ thị hàm số yax2

- Đồ thị hàm số yax2 bxc

- Sự biến thiên của hàm số bậc hai

3

TIẾT 1 HÀM SỐ BẬC HAI TÌNH HUỐNG XUẤT PHÁT

Parabol là một đường cong đơn giản nhưng rất đẹp Bởi vậy, ta có thể thấy nó xuất

hiện trong nhiều công trình kiến trúc ở Việt Nam và trên thế giới, trong các dụng cụ sinh hoạt Ngoài ra parabol còn có nhiều tính chất đặc điểm lý thú xuất hiện trong cả đại

số và hình học

4

I ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

1 Định nghĩa

- Hàm số bậc hai là hàm số có dạng: yax2 bxc (a 0)

- Tập xác định: D  

- Khi b c 0 ta có yax2là hàm số bậc hai đã được học ở lớp 9

2 Đồ thị hàm số y ax2 (a 0)

a Dạng đồ thị

0

b Đặc điểm

- Đồ thị có dạng parabol  P

- Đỉnh I(0;0)

- Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng

- Khi a 0, đồ thị có bề lõm hướng lên trên; khi a 0, đồ thị có bề lõm hướng xuống

dưới

3 Đồ thị hàm số y ax2bxc (a0)

a Biến đổi hàm sốy ax2 bxc (a0):

Thực hiện biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có: ( )2

b



b



4

b

a

a



 







  



Suy ra ta có: Y aX2 (*)

b Đặc điểm đồ thị hàm số yax2 bxc a( 0):

* Nhận xét về đồ thị hàm số Y aX2(*) ta có các đặc điểm sau:

x

O

y

x

O

y

5

- Đồ thị hàm số (*) có dạng Parabol

- Đỉnh ( ; )

b I



- Đồ thị nhận đường thẳng

2

b x

a

  làm trục đối xứng

- Khi a 0 đồ thị có bề lõm hướng lên trên; khi a 0 đồ thị có bề lõm hướng xuống

dưới

c Dạng đồ thị hàm sốy ax2 bxc a ( 0)

0

4 Cách vẽ đồ thị hàm số yax2 bxc

a Các bước:

Bước 1: Xác định tọa độ của đỉnh ( ; )

b I



Bước 2: Vẽ trục đối xứng

2

b x

a

 

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)) và trục

hoành (nếu có)

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn

Bước 4: Vẽ parabol

Khi vẽ parabol chú ý đến dấu của hệ số a ( a 0 bề lõm quay lên trên, a 0 bề lõm

quay xuống dưới)

x

O

y

2

b a



4a





x 4a





2

b a



O

y

6

b Ví dụ :

Ví dụ 1 : Vẽ parabol y x2 2x3

Đỉnh I1; 4 

Trục đối xứng là đường thẳng x 1

Giao điểm với Oy là A0; 3 

Điểm đối xứng với (0;-3) qua đường

thẳng x 1 là (2;-3)

Giao với trục Ox tại B  1;0 và C3;0

Đồ thị như hình vẽ

Ví dụ 2 : Vẽ đồ thị hàm số y  x2 4x3

Đỉnh (2;1)I

Trục đối xứng x 2

Giao điểm với Oy: A(0; 3) , điểm đối xứng

của A qua đường thẳng x 2 là (4; 3)

Giao điểm với Ox: (1;0);(3;0)

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y x2 2x2

Đỉnh I ( 1;1)

Trục đối xứng x  1

Giao điểm với Oy : A0; 2, điểm đối xứng

của A qua trục đối xứng là điểm A '( 2; 2)

Đồ thị không cắt Ox Đồ thị đi qua 2 điểm

1; 5 ;  3; 5

7

TIẾT 2 HÀM SỐ BẬC HAI

* TÌNH HUỐNG XUẤT PHÁT (Hoạt động chung)

Bài toán: Một doanh nghiệp bán xe gắn máy, trong đó có loại xe A bán được ít nhất, giá

mua vào mỗi chiếc xe loại A là 26 triệu đồng và bán ra 30 triệu đồng với giá bán này thì

số lượng bán ra mỗi năm là 600 chiếc Doanh nghiệp cần đẩy mạnh việc bán được xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu đồng một chiếc xe thì số lượng xe bán ra mỗi năm tăng 200 chiếc Hỏi doanh nghiệp cần bán loại xe đó với giá bao nhiêu để doanh thu loại xe đó của cửa hàng là lớn nhất ?

Gợi ý

Bài toán trên dẫn đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=ax2 +bx c a+ ,( ≠0) trên [ α β; ]

II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

* KIẾN THỨC HUY ĐỘNG (Hoạt động cá nhân)

Dạng đồ thị của hàm số y ax= 2 +bx c a+ ,( ≠0)

8

0

Câu hỏi : Dựa vào dấu hiệu đi xuống, đi lên của đồ thị hàm số y ax= 2 +bx c a+ ,( ≠0), hãy đưa ra kết luận về chiều biến thiên (tính đồng biến, nghịch biến) của nó ?

Trả lời

Với a >0: Trên khoảng ;

2

b a

−∞ − 

  đồ thị đi xuống ⇒ hàm số nghịch biến

Trên khoảng ;

2

b a

− +∞

  đồ thị đi lên ⇒ hàm số đồng biến

Với a <0: Trên khoảng ;

2

b a

−∞ − 

  đồ thị đi lên ⇒ hàm số đồng biến

Trên khoảng ;

2

b a

− +∞

  đồ thị đi xuống ⇒ hàm số nghịch biến

1 Chiều biến thiên

Với a >0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

−∞ − 

  và đồng biến trên khoảng

;

2

b

a

− +∞

Với a <0 thì hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

−∞ − 

  và nghịch biến trên khoảng

;

2

b

a

− +∞

2 Bảng biến thiên

Trường hợp : a >0

x

O

y

2

b a

−

4a

∆

−

x

4a

∆

−

2

b a

−

O

y

9

x −∞

2 b a − +∞

y +∞ +∞

4a ∆ − Trường hợp : a < 0

x −∞

2 b a − +∞

y −4a∆ −∞ −∞

Câu hỏi : Hãy xây dựng các bước để lập bảng biến thiên của một hàm số bậc hai ? Trả lời : - Kẻ bảng và ghi thông tin ban đầu

- Xác định hoành độ đỉnh của Parabol ( )

2

b a

−

- Xác định bề lõm quay lên trên hay xuống dưới (dựa vào dấu của a) để kẻ các

mũi tên

- Tính tung độ đỉnh của Parabol (

4a

∆

− , hay thay hoành độ đỉnh vào công thức của hàm số) và hoàn thiện các thông tin còn lại

III CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 : (Hoạt động nhóm)

Lập bảng biến thiên của các hàm số

2

2

2

2

Phân công nhiệm vụ nhóm : Nhóm 1 thực hành phần , nhóm 2 thực hành phần b, nhóm 3 thực hành phần c, nhóm 4 thực hành phần d

Lời giải

10

a Bảng biến thiên của hàm số y x= 2 +2x là :

x −∞ −1 +∞

y +∞ +∞

−1

b Bảng biến thiên của hàm số y= − +x2 4x−4 là :

x −∞ 2 +∞

y 0

−∞ −∞

c Bảng biến thiên của hàm số y =2x2 −3x+4 là : x −∞ 3

4 +∞

y +∞ +∞

23

8 d Bảng biến thiên của hàm số y= −3x2 +5x−2 là :

x −∞ 5

6 +∞

y 112 −∞ −∞

Ví dụ 2 : (Hoạt động cá nhân) Cho bảng biến thiên

x −∞ 1

3 +∞

y 13 −∞ −∞

11

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên nêu trên ?

A y=3x2 +2x+1 B 3 2 2 1

3

y= − x − x+

3

y = x − x+

Phân công nhiệm vụ theo hoạt động cá nhân

Trả lời : Đáp án C

Ví dụ 3 (Hoạt động nhóm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

a y= − +x2 4x+2 với x∈ −[ 1;6]

b y x= 2 +2x+3 với x∈ − − [ 7; 3]

Phân công nhiệm vụ nhóm : Nhóm 1 và 3 thực hành phần a

Nhóm 2 và 4 thực hành phần b

Lời giải

a Ta có bảng biến thiên của hàm số y= − +x2 4x+2 trên [−1;6]

x −1 2 6

y 6

3

− −10

Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = − +x2 4x+2 trên [−1;6]

lần lượt là -10 và 6

b Ta có bảng biến thiên của hàm số y x= 2 +2x+3 trên [− −7; 3]

x −7 3−

y 38

6

Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y x= 2 +2x+3 trên [− −7; 3]

lần lượt là 6 và 38

12

Ví dụ 4 (Hoạt động chung kết hợp hoạt động cá nhân)

Một doanh nghiệp bán xe gắn máy, trong đó có loại xe A bán được ít nhất, giá mua vào

mỗi chiếc xe loại A là 26 triệu đồng và bán ra 30 triệu đồng, với giá bán này thì số lượng

bán ra mỗi năm là 600 chiếc Doanh nghiệp cần đẩy mạnh việc bán được xe này nên đã

đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu

đồng một chiếc xe thì số lượng xe bán ra mỗi năm tăng 200 chiếc Hỏi doanh nghiệp cần

bán loại xe đó giá bao nhiêu để doanh thu loại xe đó của cửa hàng là lớn nhất ?

Phân công nhiệm vụ hoạt động chung và hoạt động cá nhân theo các câu hỏi phù hợp với

dạng hoạt động

Lời giải

Gọi x (triệu đồng) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc chiếc xe loại A (0≤ ≤x 4)

Số lượng xe bán ra được trong một năm sau khi giảm là : 200x +600 (chiếc)

Số lợi nhuận thu được từ việc bán xe trong một năm sau khi giảm giá là :

(200x+600 4)( −x)=200(− + +x2 x 12)

Xét hàm số f x( )=200(− + +x2 x 12) với x∈[ ]0;4

Bảng biến thiên

x 0 1

2 4 ( )

f x 2450

2400 0

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số f x trên ( ) [ ]0;4 là 2450 đạt được khi 1

2

x =

Vậy doanh nghiệp phải bán mỗi chiếc xe loại A với giá 30 0,5 29,5− = (triệu đồng)

Ví dụ 5 (Hoạt động cá nhân kết hợp hoạt động chung)

Tìm các giá trị của m để phương trình (1+x)(2−x)=2x−2x2 −m có nghiệm ?

Phân công nhiệm vụ hoạt động cá nhân và hoạt động chung theo các câu hỏi phù hợp với

dạng hoạt động

Lời giải :

13

Điều kiện xác định: 1− ≤ ≤x 2

Ta có : (1+x)(2−x) =2x−2x2 − ⇔ − + +m 2( x2 x 2)− − + + = +x2 x 2 4 m

Đặt t= − + +x2 x 2

Xét hàm số g x( )= − + +x2 x 2, x∈ −[ 1;2]

Bảng biến thiên

x −1 1

2 2 ( )

g x 94

0 0

Suy ra 0 ( ) 9

4

g x

≤ ≤ hay 0;3

2

t ∈    Phương trình đã cho trở thành 2t2 − = +t 4 m ( )* với 0;3

2

t ∈    Xét hàm số ( ) 2 2 , 0;3

2

f t = t −t t ∈    Bảng biến thiên

t 0 1

4 32 ( )

f t 0 3

1

8

− Phương trình đã cho có nghiệm x∈ −[ 1;2]⇔phương trình (*) có nghiệm 0;3

2

t ∈    Dựa vào bảng biến thiên ta được : 1 4 3 33 1

− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

Vậy giá trị m cần tìm là 33 1

− ≤ ≤ −

14

* KẾT QUẢ QUA BÀI HỌC

+ Nhớ được chiều biến thiên của hàm số bậc hai

+ Biết lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai

+ Biết sử dụng sự biến thiên của hàm số bậc hai vào các bài toán max, min; phương trình, bất phương trình; toán thực tế…

15

TIẾT 3 HÀM SỐ BẬC HAI

IV LUYỆN TẬP

Ví dụ 1: Cho hàm số y x2 4xcó đồ thị là  P

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số

b) Tìm m để phương trình x2 4x2m  có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1 0 1

Lời giải

Hàm số yx2 4xcó đồ thị là một parabol có đỉnh là I2; 4 và có trục đối xứng là đường thẳng x 2

Bảng biến thiên của hàm số

x  2 

y  

4

Hàm số đồng biến trên khoảng2; , nghịch biến trên khoảng ;2

Đồ thị hàm số cắt Oxtại các điểm (0;0), (4;0) , cắt Oy tại (0;0)

Vẽ đồ thị

b) Xét phương trình x2 4x2m  (1) 1 0

Cách 1: Sử dụng định lí viet

16

Giả sử phương trình (1) đã cho có hai nghiệm phân biệt là 1 1



Từ đó

suy ra







(*)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ' 2 3 0 3

2

       (2)

Khi đó theo viet ta có 1 2

1 2

4

1 2

x x





 



Điều kiện (*) tương đương với 4 2 0 3

4 1 2m 1 0 m

 







(3)

Từ (2) và (3) ta được kết quả là 3 3

Cách 2: Sử dụng sự tương giao của hai đồ thị

Phương trình x2 4x2m  (1) tương đương với 1 0 x2 4x 2m (4) 1

Số nghiệm của (4) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y x2 4x, x    1;  với đường thẳng y2m 1

Lập bảng biến thiên của hàm số yx24x, x    1; 

x 1 2 

y

5 

4

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1 khi

3

2

       

Nhận xét: Ở cách 2 ta chuyển bài toán phương trình về bài toán tương giao của hai đồ

thị, do đó việc giải quyết khá là đơn giản

17

Ví dụ 2: Cho hàm số yx2 mx1 có đồ thị là (P m) và đường thẳng d y: 2x 4

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng dluôn cắt đồ thị (P m)tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ( P m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x1, 2 thỏa mãn x12 x22 15

Lời giải

a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số ( P m) là nghiệm của phương

x mx    x  m x  (1)

Phương trình (1) có:  m22 120, m  do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với   m , tức là đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( P m)tại hai điểm phân biệt với

m

  

b) Với   m thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( P m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

là x x1, 2 Khi đó theo viet, ta có 1 2

1 2

2 3

x x





 



x x   x x  x x   m  

m 22 9 m 1,m 5

       Vậy m1,m 5

Ví dụ 3: Cho hàm số y x2 4xm2 với m là tham số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số trên xác định trên K    5; 

Lời giải

Hàm số xác định trên K    5;  x2 4xm 2 0, x K (1) Xét hàm số

2

f x x  xm trên K, ta thấy hàm số có đồ thị là một parabol có đỉnh

 2; 6

I  m Lập bảng biến thiên của f x trên ( ) K    5; 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, suy ra (1) tương đương với m 6 0m6 Vậy m 6

18

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2  

y  x  x x

Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm trong việc đánh giá trội yx12    5 5, x

và vội vàng đi đến kết luận

 2;6  miny  5 mà quên đi mất rằng dấu " '' không xảy ra trên đoạn x 2;6

Để không mắc sai lầm trong dạng toán này học sinh cần lập bảng biến thiên của hàm số

và dựa vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận chính xác

Lời giải

y x  x x có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là I   1; 3 Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn x 2;6 và dựa vào bảng biến thiên của hàm

số ta suy ra

 2;6  miny 4đạt được tại x 2

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số

y  x  x x 

y  x  x x 

Lời giải

y  x  x x  có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là

2; 2 

I  Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn x   1; 4và dựa vào bảng biến thiên

ta có kết luận

 1;4 

miny 2



  đạt được tại x  1;

 1;4 

maxy 7



 đạt được tại x 2

y x  x x  có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là I1;4  Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn x   4;3và dựa vào bảng biến thiên ta có kết luận

 4;3 

miny 21



  đạt được tại x  4;

 4;3 

maxy 4



 đạt được tại x 1

V VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Bài tập tự luận