LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC: KIẾN THỨC ĐỂ DẠY HỌC HÀM SỐ CỦA GIÁO VIÊN TOÁN TƯƠNG LAI

Trong đó, các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm số được phân tích dựa trên mô hình về kiến thức toán để dạy học của Ball và cộng sự, năng lực nghiệp vụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -    -

LÊ THỊ THANH HẰNG

GIÁO VIÊN TOÁN TƯƠNG LAI

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các

số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, và đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy

và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quí báu trong hai năm học vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên khoa Toán khóa 2013-2017; các anh/chị và các bạn học viên cao học lớp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

và Toán giải tích khóa XXIII trường Đại học sư phạm Huế đã giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm

Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và tất cả bạn bè của tôi đã luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này

Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn!

Huế, tháng 10 năm 2016

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CÁM ƠN iii

MỤC LỤC 1

DANH MỤC BẢNG 3

LỜI GIỚI THIỆU 4

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 8

1.1 Các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán 8

1.2 Tổng quan các nghiên cứu về kiến thức để dạy học của giáo viên toán 10

1.3 Chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay 14

1.4 Kết luận chương 1 15

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 17

2.1 Kiến thức toán để dạy học 17

2.1.1 Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học 17

2.1.2 Các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDS-M 19

2.2 Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số 22

2.2.1 Đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số 22

2.2.2 Tính linh hoạt trong quá trình học về hàm số 23

2.2.3 Kiến thức của giáo viên về tính linh hoạt trong lựa chọn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn và các quan niệm khác nhau 25

2.2.4 Các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm số 26

2.3 Câu hỏi nghiên cứu 33

2.4 Kết luận chương 2 34

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 35

3.1 Ngữ cảnh 35

3.2 Công cụ nghiên cứu (phiếu thực nghiệm) 35

3.2.1 Nội dung phiếu thực nghiệm 35

3.2.2 Phân tích tiên nghiệm 37

3.3 Phát triển một khung nội dung để đánh giá các kiểu kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số 57

3.4 Kết luận chương 3 66

Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 67

4.1 Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu 67

4.2 Phân tích định lượng 67

4.3 Phân tích kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK) của giáo viên toán tương lai về chủ đề hàm số 71

4.4 Phân tích kiến thức về nội dung và học sinh (KCS) của giáo viên toán tương lai về chủ đề hàm số 88

4.5 Phân tích kiến thức về nội dung và giảng dạy (KCT) của giáo viên toán tương lai về chủ đề hàm số 95

4.6 Một số nhận xét về kiến thức của giáo viên toán tương lai 101

4.7 Kết luận chương 4 102

Chương 5 KẾT LUẬN 104

5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 104

5.2 Vận dụng vào việc phát triển các năng lực nghiệp vụ cho giáo viên toán 107

5.3 Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 PHỤ LỤC P1

DANH MỤC BẢNG

3.1 Tóm tắt nội dung các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm 35

4.1 Bảng thống kê kết quả các câu trả lời của 32 giáo viên tương lai

(câu hỏi 1 và câu hỏi 2)

68

4.2 Bảng thống kê kết quả định lượng, dựa vào khung nội dung đánh

giá, các câu trả lời của 32 giáo viên tương lai (câu hỏi 3 đến câu hỏi

12)

69

4.3 Quan niệm của giáo viên về khái niệm hàm số 71

4.4 Chiến lược mà các giáo viên dự đoán học sinh sẽ trả lời ở bài tập 2.a) 73

4.5 Chiến lược mà giáo viên dự đoán học sinh sẽ trả lời ở bài tập 2.b) 75

4.6 Các chiến lược được sử dụng trong câu hỏi 7.i) 78

4.7 Các chiến lược được sử dụng để xác định hàm số bậc hai 81

4.8 Các chiến lược được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc

hai

81

4.9 Các quan niệm sai lầm của học sinh khi học khái niệm hàm số 88

LỜI GIỚI THIỆU

Chuẩn bị cho các giáo viên toán tương lai với các kiến thức toán học thích hợp cần thiết cho việc dạy học là một vấn đề quan trọng trong đào tạo giáo viên toán Ball, Bass và các đồng nghiệp của họ (Ball, Thames, & Phelps, 2008, [6]) cho rằng những gì giáo viên cần biết không chỉ là những nội dung toán học được giảng dạy một cách đặc thù trong các môn học toán cao cấp ở đại học, mà còn là một kiểu kiến thức đặc biệt cần có để thực hiện công việc dạy học, họ gọi là Kiến thức toán để dạy học (Mathematical Knowledge for Teaching, MKT)

Nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm tìm hiểu những kiểu kiến thức gì mà một giáo viên cần biết để dạy học sinh một cách hiệu quả Nghiên cứu về kiến thức của giáo viên là một hướng nghiên cứu quan trọng trong giáo dục toán và đã đạt được nhiều kết quả Shulman (Shulman, 1986, [44]) phân chia kiến thức nội dung của giáo viên thành ba lĩnh vực: kiến thức nội dung môn học (subject matter knowledge) gọi tắt là kiến thức nội dung, kiến thức nội dung-sư phạm (pedagogical content knowledge, PCK) và kiến thức

chương trình (curricular knowledge) Kiến thức nội dung bao gồm kiến thức về các chủ đề

dạy học và việc tổ chức sắp xếp chúng Kiến thức chương trình được thể hiện qua các

hướng dẫn thực hiện chương trình được thiết kế cho việc dạy học các môn học hay chủ đề đặc biệt đối với một mức độ cho trước Kiến thức nội dung-sư phạm là một kiểu kiến thức

về các cách thức biểu đạt được đòi hỏi để hiểu được nội dung môn học; các ví dụ tốt nhất, những minh họa và giải thích cho các khái niệm theo những cách tốt nhất Theo Shulman,

có hai thành tố chính của kiến thức nội dung-sư phạm: kiến thức về học sinh và kiến thức

về các chiến lược dạy học Kiến thức về học sinh liên quan đến việc hiểu các kiến thức đã

có trước đó của học sinh đối với một chủ đề cho trước, những lỗi sai thường gặp, những khó khăn học tập của học sinh về chủ đề đó, cũng như những lý do cơ bản của những vấn

đề đó Kiến thức về các chiến lược dạy học liên quan đến các phương pháp và kỹ thuật dạy học một vấn đề môn học Kiến thức về các chiến lược dạy học được xác định như là các cách thức trình bày và mô tả cho việc hiểu các khái niệm và ý tưởng Theo nghĩa này, kỹ năng nhận biết các lỗi sai của học sinh và dẫn dắt học sinh đi đến những lời giải đúng là một trong những phần tử có thể được sử dụng để xác định kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên Điều này cũng nói lên rằng, kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên có ảnh hưởng quan trọng đến việc học của học sinh

Kể từ công trình có tính chất khởi đầu của Shulman về PCK, nhiều nhà nghiên cứu

đã cố gắng minh họa và làm sáng tỏ bản chất của PCK cũng như những liên hệ của kiểu kiến thức này đến công tác đào tạo giáo viên tương lai (Ma, 1999; Niess, 2005; Watson, 2001; [30], [35], [51]) Trong lĩnh vực dạy học toán, nhóm các nhà nghiên cứu từ Đại học Michigan (Ball, Thames, & Phelps, 2008 ; Hill, Schilling & Ball, 2008; Hill, Rowan & Ball, 2005; Hill, Sleep, Lewis et al., 2008; [6], [22], [23], [24]) đã có những đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu kiến thức toán của giáo viên để dạy học Các nhà nghiên cứu

đã cố gắng tìm hiểu các kiểu kiến thức toán nào được đòi hỏi khi dạy học, làm thế nào để đánh giá được những kiểu kiến thức đó và làm thế nào phát triển những cách thức để thúc đẩy một cách hiệu quả những kiến thức toán để dạy học trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán

Dựa trên công trình của Shulman (Shulman, 1986, [44]), Ball và cộng sự (Ball &

Hill, 2008, [5]) đã phát triển một khuôn khổ nội dung lý thuyết về Kiến thức toán để dạy

học (Mathematical Knowledge for Teaching, MKT) để nghiên cứu và đánh giá các kiểu

kiến thức khác nhau mà giáo viên toán cần có để thực hiện việc dạy học hiệu quả Mô hình của Ball và cộng sự về các lĩnh vực khác nhau của kiến thức toán để dạy học đã và đang được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối với các nhà nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán (Callingham, Carmichael & Watson, 2015; Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Fauskanger, 2015; Huang, 2014; Wilkie, 2014; [9], [11], [17], [25], [52]) Các nghiên cứu này đã vận dụng

và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một lĩnh vực nội dung toán học phổ thông nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014, [52]), đại số (Huang, 2014, [25]), thống

kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán (Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012, [11])

Hàm số vừa là một chủ đề vừa là một mạch kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán cấp trung học phổ thông Tuy nhiên, hiện tại có khá ít nghiên cứu tập trung vào phân tích và đánh giá kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số của các giáo viên toán tương lai Ở Việt Nam, hầu như chưa có nghiên cứu nào đề cập đến việc phân tích, đánh giá kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số của giáo viên toán tương lai, đặc biệt là các nghiên cứu dựa trên mô hình của Ball và cộng sự (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Hill et

al., 2008; [6], [24]) Vì vậy, nghiên cứu tìm hiểu về kiến thức toán để dạy học hàm số của các giáo viên toán tương lai là vấn đề quan trọng, cần thiết và có ý nghĩa

Luận văn này bao gồm 5 chương:

Trong chương 1, chúng tôi bắt đầu bằng việc phân tích các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán và tổng quan các nghiên cứu về kiến thức của giáo viên Sau đó, chúng tôi giới thiệu chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện hành tại trường Đại học Sư phạm Huế Các phân tích này cho phép chúng tôi đặt ra một

số vấn đề cần nghiên cứu về kiến thức để dạy học hàm số trong luận văn

Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày “Kiến thức toán để dạy học” bao gồm: “Mô hình của Ball và các cộng sự về các lĩnh vực kiến thức toán để dạy học” và “Các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDS-M” Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích “Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số” bao gồm: đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số, tính linh hoạt trong quá trình học

về hàm số, và các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm

số Trong đó, các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm

số được phân tích dựa trên mô hình về kiến thức toán để dạy học của Ball và cộng sự, năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDS-M và các kiến thức về chủ đề hàm số đã phân tích ở trên Chương này cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ liệu thực nghiệm trong các chương sau Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài

Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm Tiếp theo, chúng tôi trình bày nội dung của phiếu thực nghiệm Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích tiên nghiệm các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm Cuối cùng, chúng tôi phát triển khung nội dung để đánh giá các kiểu kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số Các phân tích này cung cấp cái nhìn tổng quan về các câu hỏi được đặt ra trong phiếu thực nghiệm, cũng như làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4

Trong chương 4, chúng tôi tiến hành phân tích các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở Chương 2 và khung nội dung để đánh giá các kiểu kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số đã được xây dựng ở Chương 3, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: phân tích định lượng các câu hỏi kết thúc mở, phân tích

định tính chọn lọc các câu hỏi kết thúc mở liên quan đến kiến thức nội dung và kiến thức nôi dung - sư phạm của giáo viên toán tương lai về chủ đề hàm số Cuối cùng, dựa trên các kết quả phân tích được, chúng tôi sẽ làm rõ mức độ kiến thức nội dung và kiến thức nôi dung - sư phạm để dạy học chủ đề hàm số của giáo viên toán tương lai cũng như những thế mạnh và hạn chế riêng của họ

Cuối cùng, trong chương 5, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra, đồng thời làm rõ các nguyên nhân dẫn đến những thế mạnh và hạn chế riêng của giáo viên toán tương lai về kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm để dạy học chủ đề hàm số Từ đó, chúng tôi đưa ra các ý tưởng vận dụng vào việc đào tạo và phát triển các năng lực chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên toán Bên cạnh đó, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như kiến thức toán để dạy học của giáo viên toán tương lai

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán

Trong khi kiến thức của giáo viên là hết sức quan trọng để cải thiện việc dạy và việc học, thì việc nghiên cứu và phát triển nó đã không được chú trọng Vào giữa những năm 1980, các nhà nghiên cứu giáo dục toán, khởi xướng là Shulman (Shulman, 1986, [44]) đã bắt đầu quan tâm đến những loại kiến thức nào mà giáo viên cần phải biết để dạy học sinh một cách hiệu quả Shulman đề cập đến một lĩnh vực đặc biệt của kiến thức của giáo viên, mà ông gọi là kiến thức nội dung-sư phạm, đó là sự “kết hợp đặc biệt của nội dung và sư phạm” cần thiết cho việc giảng dạy môn học Một đóng góp chính của Shulman

và các đồng nghiệp của ông là điều chỉnh lại việc nghiên cứu kiến thức của giáo viên, bao gồm sự quan tâm trực tiếp đến vai trò của kiến thức nội dung trong giảng dạy Đây là một

sự khởi đầu căn bản làm thay đổi xu hướng nghiên cứu hiện nay Ngay lập tức các nhà nghiên cứu tập trung sự chú ý vào tầm quan trọng của kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm nói riêng trong giảng dạy

Trong tác phẩm chuyên đề của mình, Shulman (Shulman, 1987, [45]) quy định bảy kiểu kiến thức chuyên môn cần thiết cho việc giảng dạy Cụ thể là:

(1) kiến thức sư phạm nói chung, với những nguyên tắc và chiến lược tổ chức và quản lí lớp học để hoàn thành các chủ đề nội dung môn học;

(2) Kiến thức về học sinh và các đặc điểm của họ (tính cách, nhận thức, động lực thúc đẩy và sự phát triển của họ);

(3) kiến thức về bối cảnh giáo dục;

(4) kiến thức về mục đích, yêu cầu và kết quả giáo dục;

(5) kiến thức nội dung;

(6) kiến thức về chương trình giảng dạy, trong đó đặc biệt chú trọng đến việc nắm bắt các tài liệu và phương tiện hỗ trợ như là “công cụ của nghề” cho giáo viên;

(7) Kiến thức nội dung-sư phạm

Trong chuyên đề của Shulman về kiến thức của giáo viên, ông đã xác định ba loại kiến thức của giáo viên, cụ thể là, kiến thức nội dung, kiến thức về chương trình giảng dạy

và kiến thức nội dung-sư phạm Đầu tiên, kiến thức nội dung bao gồm kiến thức về các chủ đề dạy học và sự tổ chức sắp xếp chúng (Grossman, Wilson, & Shulman, 1989; Shulman, 1986, 1987; Wilson, Shulman & Richert, 1987; [20], [44], [45], [53]) Giáo viên không chỉ cần hiểu một điều gì đó là như thế nào mà cần phải hiểu rõ thêm về lý do tại sao

nó là như vậy Thứ hai, kiến thức chương trình giảng dạy, bao gồm kiến thức về các chương trình khác nhau và các tài liệu tương ứng cho việc giảng dạy một nội dung nhất định Nó bao gồm nhận thức về các chương trình và các tài liệu khác nhau cũng như kiến thức về hiệu quả và tác động của các chương trình và tài liệu đó trong những bối cảnh nhất định

Nó đòi hỏi kiến thức về nội dung và các tài liệu tương ứng trong các lĩnh vực chủ đề khác nhau và bao gồm các kiến thức về cách các chủ đề được phát triển qua một chương trình nhất định (Shulman, 1986, [44]) Thứ ba, kiến thức nội dung-sư phạm (PCK), là một loại kiến thức được xây dựng ở trên, nhưng không giống như kiến thức chủ đề môn học hoặc kiến thức về các nguyên tắc chung của phương pháp sư phạm, các ý tưởng nhận thức luận của PCK có thể được mô tả như một liên kết giữa kiến thức nội dung nền tảng và kiến thức

sư phạm với một lĩnh vực cần thiết thứ ba là bối cảnh Người ta có thể mô tả PCK như một kiến thức thực hành giảng dạy và hướng dẫn học tập thông qua bối cảnh trong phạm vi lớp học cụ thể PCK được mô tả như sau:

PCK bao gồm các cách thức biểu đạt những ý tưởng, sự tương tự, minh họa, ví dụ, giải thích, và các biểu diễn tốt nhất, những cách biểu đạt và trình bày các chủ đề sao cho dễ hiểu đối với người khác PCK cũng bao gồm sự hiểu biết về những gì làm cho việc học các chủ đề cụ thể trở nên dễ hay khó: những quan niệm và nhận thức mà học sinh ở các lứa tuổi và trình độ khác nhau đã có trước đó sẽ tác động đến việc học các bài học và chủ đề được dạy như thế nào (Shulman, 1986, [44])

Kể từ khi Shulman (Shulman, 1986, [44]) đưa ra thuật ngữ PCK, nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng để minh họa và làm rõ bản chất của PCK và những tác động của nó đối với đào tạo giáo viên Tuy nhiên, kiến thức nội dung-sư phạm thường không được phân biệt

rõ ràng với các loại khác của kiến thức giáo viên Ví dụ, kiến thức nội dung-sư phạm đã được định nghĩa là “sự giao nhau của kiến thức môn học với kiến thức về giảng dạy và học tập” (Niess, 2005, p 510, [35]) hoặc “là lĩnh vực kiến thức của giáo viên mà có sự kết hợp giữa kiến thức môn học và kiến thức sư phạm” (Lowery, 2002, p.69, [29]) Thậm chí có một mô tả chính xác hơn về PCK, tuy nhiên vẫn chưa được rõ ràng:

Kiến thức nội dung-sư phạm là sự hiểu biết của giáo viên về cách để giúp học sinh hiểu một chủ đề môn học cụ thể Nó bao gồm kiến thức về các vấn đề, chủ đề môn học, và cách thức tổ chức, biểu đạt và sửa đổi các vấn đề sao cho phù hợp với sự hứng thú và năng lực của những học sinh khác nhau, và sau đó trình bày hướng dẫn cho học sinh Đặc trưng của kiến thức nội dung-sư phạm: nó là kết quả của sự chuyển đổi kiến thức từ các lĩnh vực khác (Magnusson, Krajcik, & Borko, 1999, p

96, [31])

Có nhiều tài liệu cho thấy rằng nhiều giáo viên bộc lộ điểm yếu và sự thiếu hiểu biết toán học một cách sâu sắc (Ball, Hill & Bass, 2005; Hill et al, 2008; Ma, 1999; [4], [24], [30]) Hiện nay cũng đã có nhiều nghiên cứu khẳng định rằng “nhiều giáo viên thiếu

tự tin và thiếu kiến thức nội dung-sư phạm khi giảng dạy toán học” (Hill et al, 2008, [24]) Đây là một phát hiện đáng lo ngại Người ta đã chứng minh được rằng thái độ tích cực của giáo viên đối với việc giảng dạy toán học có ảnh hưởng trực tiếp đến mức độ thành công

mà học sinh của họ đạt được (Kulm, 1980; Sullivan, 1987; [28], [47])

Khái niệm về PCK của Shulman đã bị thử thách bất kể tính ưu việt của nó (Graeber

& Tirosh, 2008, [19]) Khái niệm đã được mở rộng và sửa đổi bởi một số tác giả Ball, Thames và Phelps (2008, [6]) lập luận rằng mặc dù thuật ngữ PCK được sử dụng rất rộng rãi, nhưng thực sự thiếu định nghĩa rõ ràng, và tiềm năng của nó đã không được nhận thức một cách đầy đủ Cải tiến của họ về khái niệm PCK và nỗ lực của họ để điều chỉnh lại việc nghiên cứu các kiến thức giảng dạy được khẳng định theo chiều hướng nhấn mạnh vào việc sử dụng “kiến thức trong và cho giảng dạy hơn là trên bản thân giáo viên” (tr 394) Dựa trên cấu trúc PCK của Shulman, các nhóm nghiên cứu (Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Ball & Schilling, 2008; [6], [22]) tập trung nhấn mạnh các lĩnh vực kiến thức nội dung để giảng dạy vào hai loại PCK của Shulman, kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm Hill et al (2008, [24]) đã đưa ra mô hình Kiến thức toán để dạy học (MKT), phát triển từ công trình của Shulman về PCK, mà chúng tôi sẽ trình bày chi tiết trong chương 2 của luận văn

1.2 Tổng quan các nghiên cứu về kiến thức để dạy học của giáo viên toán

Kể từ khi Shulman (Shulman, 1986, [44]) đưa ra những nỗ lực nhằm xác định những kiến thức cần thiết cho giảng dạy, thuật ngữ “kiến thức nội dung-sư phạm” (PCK)

đã được chấp nhận rộng rãi và được sử dụng bởi các nhà nghiên cứu Có một sự đồng thuận phổ biến rằng giáo viên toán học cần phải có một sự hiểu biết sâu sắc về toán học (Grossman, Wilson, & Shulman, 1989; Ma, 1999; [20], [30]) Tuy nhiên, nếu giáo viên chỉ

có kiến thức toán học thì không đủ để cho những nỗ lực dạy toán của họ đạt hiệu quả Có rất nhiều cách để xác định PCK trong toán học Trong khi Ball (2005, [4]) phân biệt hai khía cạnh kiến thức nội dung của giáo viên: khả năng của giáo viên để thực hiện một phép toán (ví dụ phép chia phân số) và khả năng của họ để biểu đạt phép toán đó một cách chính xác cho học sinh, Ma (1999, [30]) mô tả “sự hiểu biết sâu sắc về những quy tắc toán học

cơ bản” trong điều kiện của sự liên kết nhiều quan niệm, ý tưởng cơ bản, và sự gắn kết theo chiều dọc Ngoài ra, Hội đồng nghiên cứu quốc gia ở Hoa Kỳ [NRC] cũng cho rằng giáo viên toán cần có những kiến thức chuyên môn “tích hợp kiến thức toán, kiến thức về

sự phát triển hiểu biết toán học của học sinh, và một tiết thực hành sư phạm có tính toán học đang được giảng dạy và các học sinh học tập nó” (Kilpatrick, Swafford, & Findell,

2001, p 428, [27])

Grossman, một thành viên trong nhóm nghiên cứu của Shulman đã cố gắng để khái quát về kiến thức của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy Dựa trên nghiên cứu của mình, Grossman phân chia 7 loại kiến thức đã được xác định bởi Shulman thành bốn loại chính: kiến thức nội dung, kiến thức sư phạm nói chung, kiến thức nội dung-sư phạm và kiến thức về bối cảnh Trong các công trình về sau của Shulman và các đồng nghiệp của

ông, niềm tin (beliefs) đã trở thành một phần của cơ sở kiến thức cho giảng dạy Thành

phần liên quan đến niềm tin trong mô hình của Grossman đã được liệt kê như là một phần của kiến thức nội dung-sư phạm và bao gồm “kiến thức và niềm tin về mục đích giảng dạy một môn học ở các cấp lớp khác nhau” (Grossman, 1990, tr 8, [20])

Trong Sổ tay nghiên cứu về học tập và giảng dạy Toán học, Fennema và Franke

(Fennema & Franke, 1992, [18]) đề xuất mô hình riêng của họ về kiến thức toán để giảng dạy của giáo viên Mô hình của họ bao gồm 4 loại kiến thức: kiến thức toán học, kiến thức

về bối cảnh cụ thể, kiến thức sư phạm, kiến thức về sự nhận thức toán học của học sinh Niềm tin của giáo viên cũng là một thành phần trong mô hình của họ, tương tác với các kiến thức của giáo viên Ngoài ra, mỗi loại trong 4 thành phần của kiến thức của giáo viên cũng ảnh hưởng lẫn nhau Một đặc điểm quan trọng của mô hình này là mỗi thành phần của kiến thức của giáo viên đã được đặt trong bối cảnh lớp học “Trong một bối cảnh cụ

thể, kiến thức của giáo viên về nội dung tương tác với kiến thức sư phạm và kiến thức về nhận thức của học sinh và kết hợp với niềm tin để tạo thành kiến thức” (p 162) Tuy nhiên, trong mô hình này, vai trò của yếu tố niềm tin còn chưa được xác định rõ

Một trong những chương trình nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học đã đạt được nhiều kết quả là chương trình nghiên cứu của nhóm các nhà giáo dục toán tại Đại học Michigan, tập trung vào sự hiểu biết và đo lường kiến thức toán học mà được coi là thích hợp và cần thiết cho việc giảng dạy (Ball & Bass, 2000; Ball et al, 2005; Hill, Ball, & Schilling, 2008, [3], [4], [22]) Ngoài ra, Hill và các đồng nghiệp của bà tiếp tục khám phá mối quan hệ giữa kiến thức toán học cần thiết cho việc giảng dạy (MKT) và thành tích của học sinh và sự giảng dạy trong lớp học (Hill, Ball, & Schilling, 2008, [22]) Sự quan tâm ngày càng tăng đã dẫn đến sự nghiên cứu đặc trưng kiến thức của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy các lĩnh vực nội dung cụ thể (Ball et al, 2005; Even, 1990, 1993; Ma, 1999, [4], [13], [14], [30]) Ball và cộng sự đã tiến hành nghiên cứu dựa trên thực hành (practice-based research) trên quy mô lớn về kiến thức toán để dạy học của giáo viên Dựa trên công trình có tính chất khởi điểm của Shulman về các kiểu kiến thức cần thiết để dạy học, các nhà nghiên cứu này đã phát triển một mô hình về Kiến thức toán để dạy học (MKT) và áp dụng vào việc thiết kế công cụ đo lường và đánh giá kiến thức toán để dạy học của giáo viên

Mô hình của Ball và cộng sự phân biệt hai loại chính của kiến thức nội dung môn học: kiến thức chung (CCK), có thể được phát triển trong bất cứ ai đã được học toán trong trường học phổ thông và kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK), được sử dụng chủ yếu bởi các giáo viên Trong khi đó, mô hình phân biệt hai loại chính trong kiến thức nội dung-

sư phạm: kiến thức về nội dung và học sinh (KCS) và kiến thức về nội dung và giảng dạy (KCT) Mô hình này nhấn mạnh các loại kiến thức nội dung toán học là chuyên môn của giáo viên, và công nhận rằng kiến thức toán học để giảng dạy là một phần kết quả của kiến thức nội dung tương tác với học sinh trong quá trình học tập của học sinh và với giáo viên trong quá trình thực hành giảng dạy của giáo viên

Mô hình của Ball và cộng sự về các lĩnh vực khác nhau của kiến thức toán để dạy học đã và đang được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối với các nhà nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán

(Callingham, Carmichael & Watson, 2015; Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Fauskanger, 2015 ; Huang, 2014 ; Kaiser et al 2016; Ng, 2011; Pino-Fan, Godino & Font, 2016; Wilkie, 2014; [9], [11], [17], [25], [26], [34], [39], [52]) Các nghiên cứu này đã vận dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một lĩnh vực nội dung toán học phổ thông nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014, [52]), đại số (Huang,

2014, [25]), thống kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]), hình học (Ng, 2011, [34]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán (Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Kaiser

et al., 2016; Nyikahadzoyi, 2015 ; [11], [26], [38])

Trong bài báo Kiến thức toán để dạy học hàm số của giáo viên dạy những năm cuối

tiểu học, Wilkie (Wilkie, 2014, [52]) đã phân tích và đánh giá kiến thức của giáo viên toán

để giảng dạy hàm số, các mối quan hệ và sự biến thiên - một lĩnh vực quan trọng của đại

số Nghiên cứu này cũng đã đưa ra những gợi ý cho việc học tập chuyên môn nhằm nâng cao kiến thức toán học của giáo viên để giúp học sinh phát triển tư duy hàm

Trong ngiên cứu Kiến thức đại số của giáo viên toán tương lai, Huang (Huang,

2014, [25]) đã so sánh và đánh giá sự giống nhau và khác nhau về kiến thức toán để giảng dạy đại số của giáo viên toán tương lai của Trung Quốc và Mỹ Ngoài ra, Huang cũng so sánh và đánh giá sự giống nhau và khác nhau về kiến thức toán để giảng dạy hàm số của giáo viên toán tương lai của hai quốc gia này Huang chú trọng đến việc so sánh và đánh giá sự linh hoạt của giáo viên trong việc lựa chọn sử dụng dạng biểu diễn hàm số thích hợp

và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau và sự linh hoạt trong việc chuyển đổi giữa hai quan niệm khác nhau về hàm số: quan niệm quy trình và quan niệm đối tượng Từ

đó, nghiên cứu này đã cung cấp các chiến lược có ý nghĩa nhằm cải thiện chất lượng đào tạo giáo viên toán học tại Trung Quốc và Mỹ

Trong bài báo Kiến thức của giáo viên về khái niệm hàm số: một khuôn khổ lý

thuyết, Nyikahadzoyi (Nyikahadzoyi, 2015, [38]) đã đề xuất một khuôn khổ lý thuyết mô

tả các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên để giảng dạy

các khái niệm hàm số trong một môi trường học tập không sử dụng công nghệ Ngoài ra, Nyikahadzoyi cho rằng sự chuyển hướng tích hợp công nghệ trong lớp học có nghĩa là

giáo viên cần phải có cơ hội để có kiến thức nội dung-sư phạm công nghệ cần thiết để dạy

các khái niệm hàm số trong môi trường học tập giàu công nghệ

1.3 Chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay

Qua phân tích khung Chương trình giáo dục đại học sư phạm Toán học hiện hành theo hệ thống tín chỉ của trường Đại học Sư phạm Huế (Trường Đại học Sư phạm Huế,

2015, [2]), chúng tôi nhận thấy rằng các giáo viên toán học tương lai đã được yêu cầu hoàn thành tổng số 135 tín chỉ, bao gồm:

 21 tín chỉ về kiến thức chung (chiếm 15,56%);

 34 tín chỉ về kiến thức đào tạo và rèn luyên năng lực sư phạm (chiếm 25,18%), bao gồm 14 tín chỉ về kiến thức sư phạm nói chung, 8 tín chỉ về kiến thức, kỹ năng và năng lực dạy học môn Toán, 12 tín chỉ về thực hành sư phạm bao gồm rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thường xuyên, thực hành dạy học tại trường sư phạm, kiến tập sư phạm và thực tập

sư phạm;

 75 tín chỉ về kiến thức cơ sở ngành và chuyên ngành (chiếm 55,56%), bao gồm 9 tín chỉ về kiến thức cơ sở ngành và 66 tín chỉ về kiến thức chuyên sâu của ngành bao gồm các môn toán cao cấp;

 5 tín chỉ về khóa luận tốt nghiệp hoặc các học phần thay thế (chiếm 3,70%) Chúng tôi đã nhận thấy rằng chương trình đào tạo giáo viên toán trung học có các đặc điểm sau:

1 Đào tạo cho giáo viên tương lai với một nền tảng vững chắc về kiến thức toán học cao cấp, chương trình đã bước đầu thay đổi theo hướng chú trọng đến việc đào tạo kiến thức sư phạm nói chung và kiến thức sư phạm toán nói riêng

2 Chương trình đào tạo ưu tiên về kiến thức lý thuyết, chưa chú trọng đúng mức đến yếu tố thực hành, ngay cả đối với những học phần liên quan đến năng lực nghiệp vụ cho giáo viên tương lai

3 Các học phần phát triển năng lực nghiệp vụ cho giáo viên vẫn chưa có nhiều đổi mới và cập nhật Nội dung các học phần này chưa chú trọng đề cập đến các kiểu kiến thức cần thiết của một giáo viên toán tương lai để giảng dạy toán hiệu quả, một yếu tố quan trọng cấu thành năng lực dạy học của giáo viên

Nhìn chung, chương trình đào tạo giáo viên toán hiện hành ở Trường Đại học Sư phạm Huế đã có những thay đổi theo hướng tăng cường đào tạo nghiệp vụ sư phạm cho giáo viên Tuy nhiên, nội dung những học phần phát triển nghiệp vụ sư phạm vẫn còn hạn chế, chưa cập nhật những xu hướng và kết quả nghiên cứu về phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích sơ khởi chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay tại Trường Đại học Sư pham Huế Phân tích ban đầu cho thấy tuy đã có những đổi mới trong phát triển chương trình đào tạo theo hướng tăng cường phát triển năng lực nghề nghiệp cho giáo viên, chương trình vẫn còn nhiều hạn chế Đặc biệt, lĩnh vực phân tích các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán hiệu quả của giáo viên toán chưa được đề cập một cách rõ ràng trong các học phần phát triển năng lực nghiệp vụ

Ở cấp độ nghiên cứu, chúng tôi đã điểm bình tổng quan các nghiên cứu về lĩnh vực các kiểu kiến thức của giáo viên toán cần thiết cho việc dạy học Phân tích cho thấy đây là một lĩnh vực nghiên cứu tương đối mới và được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Trong các nghiên cứu này, có nhiều nghiên cứu đặc biệt chú trọng đến việc điều chỉnh, vận dụng

mô hình Kiến thức toán để dạy học (MKT) phát triển bởi Ball và các đồng nghiệp Các

nghiên cứu này đã vận dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một lĩnh vực nội dung toán học phổ thông nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014, [52]), đại số (Huang, 2014, [25]), thống kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]), hình học (Ng, 2011, [34]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán (Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Kaiser et al., 2016; Nyikahadzoyi, 2015 ; [11], [26], [38]) Tuy nhiên, có khá ít các nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học hàm số của giáo viên toán tương lai Đặc biệt, ở Việt Nam, hầu như chưa có nghiên cứu nào về chủ đề này

Hiện tại có rất ít những nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học các chủ đề của đại

số và giải tích (hàm số, giới hạn, đạo hàm) của giáo viên toán tương lai cũng như vấn đề phát triển năng lực nghiệp vụ cho giáo viên toán tương lai để dạy học các chủ đề này

Những phân tích trên cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cần quan tâm tìm hiểu trong khuôn khổ nghiên cứu này là: làm thế nào để phân tích và đánh giá kiểu kiến thức nội dung, cụ thể là kiến thức nội dung chuyên ngành, của các giáo viên toán trung học tương lai về chủ đề hàm số? Phân tích và đánh giá kiểu kiến thức nội-dung sư phạm, cụ thể là kiến thức về nội dung và học sinh và kiến thức về nội dung và giảng dạy, của các giáo viên toán trung học tương lai về chủ đề hàm số như thế nào? Trong chương 2, chúng tôi sẽ giới thiệu và phân tích rõ hơn mô hình về các lĩnh vực kiến thức toán để dạy học của Ball và công sự (2008, [5]) như một khuôn khổ lý luận làm nền tảng cho việc thiết kế công

cụ đo và phân tích dữ liệu Chúng tôi cũng sẽ phân tích các đặc trưng tri thức luận và đặc điểm nội dung chủ đề hàm số để làm rõ các lĩnh vực kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hàm số ở lớp 10 phổ thông

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Kiến thức toán để dạy học

2.1.1 Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học

Dựa trên công trình của Shulman (Shulman, 1986, [44]), Ball và cộng sự (Ball et

al., 2008, p 403, [5]) đã phát triển một khuôn khổ nội dung lý thuyết về Kiến thức toán để

dạy học (MKT) để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến thức khác nhau mà giáo viên toán

cần có để thực hiện việc dạy học hiệu quả Mô hình này bao gồm hai lĩnh vực kiến thức: kiến thức nội dung môn học và kiến thức nội dung-sư phạm (PCK) Trong mỗi lĩnh vực này, các tác giả chia thành ba kiểu kiến thức khác nhau

Hình 2.1 Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học (Ball, Thames, &

Phelps, 2008, [5])

 Kiến thức nội dung môn học (Subject Matter Knowledge): bao gồm ba kiểu kiến

thức sau:

o Kiến thức chung (Common Content Knowledge, CCK): liên quan đến các

kiến thức toán tổng quát được sử dụng trong cuộc sống hằng ngày, hay được sử dụng trong công việc giảng dạy theo những cách thức giống như trong các ngành

Kiến thức nội dung môn học Kiến thức nội dung-sư phạm

Kiến thức chung

thức nội dung chuyên ngành (SCK)

Kiến thức về nội dung và học sinh (KCS)

Kiến thức

về nội dung và giảng dạy (KCT)

Kiến thức chương trình (KC)

Kiến thức theo chiều ngang

nghề khác có sử dụng toán học Kiến thức này không phải là kiến thức duy nhất để giảng dạy Ví dụ, giáo viên có khả năng để: đưa ra một câu trả lời hay giải quyết các vấn đề toán học một cách chính xác, hiểu được nội dung toán học mà mình giảng dạy, nhận ra khi học sinh đưa ra một câu trả lời sai, nhận ra khi sách giáo khoa không chính xác, sử dụng thuật ngữ và ký hiệu một cách chính xác

o Kiến thức nội dung chuyên ngành (Specialized Content Knowledge, SCK):

là một kiểu kiến thức toán đặc thù cho phép giáo viên tham gia vào các nhiệm vụ dạy học cụ thể, chẳng hạn như làm thế nào để biểu đạt một cách chính xác các ý tưởng toán học, đưa ra các giải thích cho các các quy tắc và quy trình toán học, xem xét và hiểu các phương pháp giải quyết các vấn đề toán học, đáp ứng được các câu hỏi tại sao của học sinh, tìm một ví dụ để minh họa cho một quan niệm toán học cụ thể, nhận biết những gì liên quan đến việc sử dụng một biểu diễn cụ thể, kết nối chủ

đề đang được giảng dạy với các chủ đề đã học hoặc sẽ học, thẩm định và thích ứng với các nội dung toán học trong sách giáo khoa, sửa đổi nhiệm vụ trở nên dễ hơn hay khó hơn, đánh giá tính hợp lý các yêu cầu của học sinh, cung cấp hoặc đánh giá các lời giải toán học, lựa chọn và phát triển các định nghĩa có thể sử dụng, sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học và phê bình cách sử dụng nó, đặt câu hỏi toán học hiệu quả, lựa chọn các biểu diễn cho các mục đích cụ thể Cả hai kiểu kiến thức CCK và SCK vẫn đều là những kiến thức toán học, chứ không phải là những kiến thức về học sinh hay về việc giảng dạy

o Kiến thức theo chiều ngang (Knowledge at the mathematical horizon): là

việc hiểu biết về các chủ đề toán và mạch kiến thức toán trong chương trình có mối liên hệ với nhau như thế nào Đó cũng là sự hiểu biết về các ngữ cảnh toán học rộng hơn trong đó chứa đựng các chủ đề toán học được giảng dạy

 Kiến thức nội dung-sư phạm (Pedagogical Content Knowledge) : bao gồm ba

kiểu kiến thức sau :

o Kiến thức về nội dung và học sinh (Knowledge of Content and Students,

KCS): được Hill và cộng sự (Hill et al, 2008, [24]) định nghĩa như là kiến thức về một nội dung toán cụ thể kết hợp với kiến thức về cách thức học sinh tư duy, nhận thức hay học chủ đề nội dung đó Những giáo viên có kiểu kiến thức này thì thường

có khả năng xem xét được cách thức học sinh học một khái niệm toán học như thế

nào, hoặc quan tâm đến những lỗi sai hay quan niệm sai lầm thường có của học sinh Điều này dẫn đến một sự hiểu biết về tư duy của học sinh và những gì khiến việc học các khái niệm cụ thể dễ hay khó

o Kiến thức về nội dung và giảng dạy (Knowledge of Content and Teaching,

KCT): là kiểu kiến thức kết hợp giữa hiểu biết về việc giảng dạy và hiểu biết về nội dung toán học Nhiều nhiệm vụ toán trong dạy học đòi hỏi một sự tương tác kết hợp giữa kiến thức toán và việc thiết kế, tổ chức dạy học Giáo viên cần phải biết chọn ví dụ nào để bắt đầu bài học, ví dụ nào để giúp học sinh hiểu sâu hơn nội dung toán học đang đề cập Trong quá trình dạy học trên lớp, giáo viên cũng cần phải biết khi nào thì cần đặt câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề hơn, khi nào thì đặt ra một câu hỏi hay nhiệm vụ mới để thúc đẩy học sinh đào sâu suy nghĩ hơn Mỗi một vấn

đề trên đều đòi hỏi một sự tương tác giữa hiểu biết về kiến thức toán của một nội dung cụ thể và hiểu biết về các vấn đề sư phạm

o Kiến thức chương trình (Knowledge of Curriculum, KC): là hiểu biết về nội

dung chương trình liên quan đến vấn đề dạy học Ball và cộng sự (Ball et al, 2005, [4]) nhấn mạnh rằng giáo viên không chỉ biết về nội dung chương trình, mà còn phải biết sử dụng nội dung chương trình như thế nào để trình bày, nhấn mạnh, phối hợp khi giảng dạy

Mô hình về các lĩnh vực của kiến thức toán để dạy học của Ball và cộng sự đã và đang được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối với các nhà nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán Các nghiên cứu này

đã vận dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một số lĩnh vực nội dung toán học phổ thông

2.1.2 Các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDS-M

TEDS-M (The IEA Teacher Education and Development Study in Mathematics) là một chương trình nghiên cứu so sánh quốc tế về đào tạo giáo viên toán tiểu học và trung học Để đo lường hiệu quả đào tạo giáo viên toán học, TEDS-M đã phát triển một mô hình

về năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán Dựa trên phương pháp tiếp cận của Shulman

(Shulman, 1986, [44]) và Bromme (1992, [7]), TEDS-M mô tả ba lĩnh vực kiến thức như

là các thành phần nhận thức chủ yếu của năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán : kiến thức nội dung môn toán (Mathematics Content Knowledge, MCK), kiến thức nội dung-sư phạm toán học (Mathematics Pedagogical Content Knowledge, MPCK) và kiến thức sư phạm tổng quát (General Pedagogical Knowledge, GPK) Ngoài ra, niềm tin và các yếu tố như tình cảm-động lực, ý thức tự điều chỉnh… cũng là một phần không thể thiếu của các năng lực nghiệp vụ của giáo viên

(Shulman, 1986, [44]) (Richardson 1996; Thompson 1992, [40], [50])

Sơ đồ 2.1 Mô hình khái niệm năng lực nghiệp vụ của giáo viên (Dohrmann, Kaiser &

Blomeke, 2012, [11]) Đạt được sự đồng thuận về những loại kiến thức và năng lực cần thiết mà giáo viên toán nên có trong lĩnh vực MPCK là một thách thức lớn trong TEDS-M Khái niệm MPCK được định hướng theo nhiệm vụ cốt lõi của giáo viên là giảng dạy Trong TEDS-M, hai lĩnh vực con của MPCK được phân biệt theo Shulman (Shulman, 1986, [44]) và Fan và Cheong (2002, [26]): kiến thức về chương trình và kiến thức về việc lập kế hoạch cho việc giảng dạy và học tập toán học; và kiến thức về việc thực hành toán học để giảng dạy và học tập (Tatto et al 2008 p.38, [49])

Năng lực nghiệp vụ của giáo viên

Khả năng nhận thức:

Kiến thức nghiệp vụ

Động lực nghề nghiệp

và khả năng tự điều chỉnh

Niềm tin về toán học và việc dạy học toán

Kiến thức nội dung-

sư phạm

Sự phát triển của khung kiến thức nội dung-sư phạm toán MPCK đã được cung cấp bởi các nghiên cứu khả thi cho TEDS-M và công trình của các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này (Ball & Bass, 2000; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Hill, Schilling, & Ball, 2008, [3], [22], [23]), cũng như phản hồi từ nhóm chuyên gia TEDS-M Bảng sau cho thấy khung kiến thức nội dung-sư phạm toán được sử dụng cho cả tiểu học và trung học

Bảng 2.1 Khung Kiến thức về nội dung-sư phạm toán (Tatto et al 2008 p.38, [49])

Xác định các ý tưởng quan trọng trong chương trình học tập Kiến thức về chương trình giảng dạy toán học

Giải thích hoặc diễn đạt các khái niệm hoặc quy trình toán học

Đặt ra các câu hỏi hiệu quả Phản ứng với các vấn đề toán học bất ngờ Cung cấp thông tin phản hồi thích hợp

Khung lý thuyết này cung cấp cơ sở để thiết kế các câu hỏi liên quan đến kiến thức nội dung-sư phạm toán Trong lĩnh vực kiến thức chương trình và lập kế hoạch, nhiệm vụ đặc biệt liên quan đến việc xác định ý tưởng toán học chính; những quan niệm trong các vấn đề và nhiệm vụ toán học; phân tích các nội dung toán học và độ khó của nhiệm vụ về những hiểu biết đã có trước đó Ngoài ra, hệ quả do sự thay đổi chủ đề trong chương trình giảng dạy đối với việc lập kế hoạch giảng dạy cần được xác định trong quá trình này Và đòi hỏi năng lực để đưa ra các phương pháp thích hợp cho những ý tưởng toán học và lựa chọn phương pháp thích hợp để diễn đạt các tình huống toán học

2.2 Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số

2.2.1 Đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số

Các nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã cho thấy có hai khía

cạnh chủ đạo trong quá trình hình thành khái niệm quan trọng này là khía cạnh tương ứng

và khía cạnh đồng biến thiên phụ thuộc (Ngô Thị Nhật Anh, 2013, [1]) Khía cạnh “tương

ứng” được thể hiện ở chỗ hai đại lượng biến thiên được liên kết với nhau bởi một tương ứng duy nhất: mỗi giá trị của đại lượng thứ nhất được liên kết với một giá trị duy nhất của đại lượng thứ hai, nhưng sự liên kết không đòi hỏi phải có một sự biểu diễn mối liên hệ

đó Thậm chí trong trường hợp tồn tại một biểu diễn mối liên hệ đó, khía cạnh “tương ứng” chỉ đề cập đến một quan hệ có tính riêng biệt (rời rạc) giữa một giá trị của đại lượng thứ nhất với một giá trị của đại lượng thứ hai Một bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng

là một thể hiện rõ nhất của khía cạnh tương ứng này

Khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” đòi hỏi rằng hai đại lượng biến thiên liên kết với

nhau trong một hệ thống quan sát được, chẳng hạn các đại lượng như độ dài, diện tích trong một hình hình học động Khía cạnh biến thiên phụ thuộc nhấn mạnh sự đồng thời thay đổi, phụ thuộc của 2 đại lượng và cả cách thức thay đổi đồng thời như thế nào của 2 đại lượng đó

Về việc nhận thức khái niệm hàm số của học sinh, nhiều nghiên cứu đã cho thấy học sinh thường nhận thức khái niệm hàm số theo hai cách nhìn (quan niệm) sau: quan

niệm quy trình và quan niệm đối tượng Khi học về hàm số, học sinh thường có xu hướng

nhận thức hàm số từ cách nhìn có tính hành động hay quy trình trước, sau đó dần dần mới đạt đến quan niệm đối tượng về hàm số (Briedenbach et al 1992; Sfard, 1992; [8], [41])

Quan niệm quy trình thường gắn liền với các hoạt động tính toán đơn lẻ tương ứng các giá trị đầu vào/đầu ra Một hàm số được nhận thức như là một quy trình thực hiện các hành động tính toán các giá trị đầu vào của biến và giá trị đầu ra của hàm số Chẳng hạn, hàm

số f x ( )   x2 3 có thể được xem như là một quy trình để tính toán các giá trị f(x) tương ứng với các giá trị của x Quan niệm này không đòi hỏi học sinh phải nhận thức được một quy luật hay tính chính quy có thể có giữa các giá trị vào/ra liên tiếp, cũng không đòi hỏi phải chú ý đến mối liên hệ phụ thuộc giữa các giá trị vào/ra Quan niệm đối tượng về hàm

số xem xét hàm số như là một đối tượng toán học tổng thể với các thuộc tính của nó, phân biệt với các đối tượng toán học khác Thông qua các trải nghiệm với các kiểu hàm số khác nhau và ghi nhận các tính chất của chúng, học sinh có thể nhận thức được hàm số như là các đối tượng có hoặc không có các tính chất đó

Các nhà nghiên cứu cho rằng có một ngắt quãng về nhận thức chia tách quan niệm động (hành động, quy trình) và quan niệm tĩnh (đối tượng) ở học sinh khi học các khái niệm giải tích nói chung và khái niệm hàm số nói riêng, và học sinh cần vượt qua được ngắt quãng nhận thức đó để đạt được cách hiểu sâu sắc khái niệm đó như là một đối tượng toán học Các nghiên cứu cũng thừa nhận rằng khi học về hàm số, quan niệm quy trình thường đến trước quan niệm đối tượng và việc đạt đến quan niệm đối tượng về hàm số là không dễ dàng đối với học sinh

2.2.2 Tính linh hoạt trong quá trình học về hàm số

Trong phần này, chúng tôi xem xét ý nghĩa của tính linh hoạt (flexibility) trong việc chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau và chuyển đổi giữa hai quan niệm về hàm

số: quy trình và đối tượng Chứng tôi cũng trình bày một số kết quả trong các nghiên cứu

về kiến thức của giáo viên về tính linh hoạt trong quá trình học về hàm số

Liên quan đến khái niệm hàm số, cần thiết phải xem xét tính linh hoạt ở hai khía

cạnh Một là sự linh hoạt trong việc lựa chọn quan niệm về hàm số: quy trình và đối tượng,

và chuyển đổi giữa hai quan niệm này (Breidenbach et al, 1992; Sfard, 1992, [8], [41]) Hai là sự linh hoạt trong việc lựa chọn sử dụng biểu diễn hàm số thích hợp: bảng giá trị, biểu thức, đồ thị, ngôn ngữ (diễn đạt bằng lời) và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn này (Moschkovich et al., 1993, [32])

Mặc dù hàm số được biểu thị dưới nhiều dạng biểu diễn khác nhau như biểu thức đại số, đồ thị, số học (bảng giá trị), và ngôn ngữ nhưng việc hàm số được biểu thị dưới nhiều dạng biểu thức đại số khác nhau thường không được nhấn mạnh và trình bày một cách đầy đủ Những cách viết dưới các dạng biểu thức đại số khác nhau nhưng tương đương với nhau của cùng một hàm số có thể tiết lộ các tính chất khác nhau của hàm số Sự thành thạo trong suy luận và thực hành trên các biểu thức đại số sẽ đảm bảo cho “học sinh

có thể linh hoạt áp dụng các công cụ đại số trong một loạt các bối cảnh cả bên trong và bên ngoài toán học” (NCTM, 2009, p 37, [33])

Hàm số là một trong những công cụ quan trọng nhất để giúp học sinh tìm hiểu thế giới xung quanh họ cũng như chuẩn bị cho họ để có thể nghiên cứu toán học xa hơn Sự phát triển tiếp theo của học sinh về khái niệm hàm số phải bắt nguồn từ suy luận, và ngược lại, hàm số được dùng như là một công cụ quan trọng cho suy luận Các yếu tố chính của suy luận và thực hành trên hàm số bao gồm: (NCTM, 2009, p 41., [33])

1 Sử dụng đa biểu diễn hàm số Biểu thị hàm số theo nhiều cách biểu diễn khác

nhau, bao gồm bảng, biểu đồ, đồ thị, biểu thức, các cặp số có thứ tự, các hình hình học và ngôn ngữ; đưa ra quyết định về hình thức biểu diễn thích hợp nhất trong tình huống giải quyết vấn đề cụ thể và chuyển đổi linh hoạt giữa các loại biểu diễn khác nhau

2 Mô hình hóa bằng cách sử dụng họ các hàm số Làm việc để phát triển một mô

hình toán học hợp lý cho một tình huống bối cảnh cụ thể bằng cách áp dụng kiến thức về các tính chất đặc trưng của các họ hàm số khác nhau

3 Phân tích ảnh hưởng của các tham số Sử dụng dạng biểu diễn tổng quát của

hàm số trong một họ hàm số nhất định (ví dụ, dạng đỉnh của một phương trình bậc hai,

f(x) = a(x-h) 2 + k) để phân tích những ảnh hưởng của các hệ số hoặc tham số khác nhau;

chuyển đổi giữa các hình thức khác nhau của hàm số (ví dụ, hình thức tiêu chuẩn của một phương trình bậc hai và hình thức thừa số của nó) theo yêu cầu của tình huống giải quyết vấn đề

Tóm lại, các lĩnh vực sau là quan trọng cho việc học tập hàm số: (1) xây dựng sự liên kết giữa các biểu thức, phương trình/bất phương trình và các hàm số tương ứng; (2)

sử dụng linh hoạt nhiều hình thức biểu diễn của một hàm số và chuyển đổi giữa các hình thức biểu diễn khác nhau, và (3) sử dụng linh hoạt nhiều biểu thức để biểu thị một hàm số

Như Star và Rittle-Johnson (2009, [46]) lập luận, “sự hiểu biết đại số bao gồm hai năng lực bổ sung nhau, mà chúng tôi đề cập đến như giữa và trong các biểu diễn linh hoạt Mối quan tâm đầu tiên là khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa và trên nhiều biểu diễn, mối quan tâm thứ hai là về sự khéo léo trong mỗi biểu diễn riêng biệt”(p 11) Vì vậy, sử dụng linh hoạt và thích ứng với các biểu diễn và các biểu thức khác nhau là rất quan trọng

Sự linh hoạt biểu diễn phải bao gồm các khả năng sau: (1) Có kiến thức sơ đồ cần thiết để tương tác với các hình thức biểu diễn; (2) Có khả năng kết hợp việc biến đổi và chuyển đổi giữa các hình thức biểu diễn trong cùng một lĩnh vực và (3) Có kiến thức chiến lược và kỹ năng cần thiết để lựa chọn các hình thức biểu diễn thích hợp nhất cho mỗi trường hợp

Các biểu diễn khác nhau đóng các vai trò khác nhau trong việc giúp học sinh hiểu

được quan niệm về hàm số (Schwartz & Yerushalmy, 1992, [42]) Ví dụ, biểu diễn đại số

có lợi cho sự hiểu biết về hàm số như một quy trình, trong khi các biểu diễn đồ thị giúp hiểu rõ hàm số như một đối tượng Ngoài ra, những hoạt động cụ thể sẽ trở nên dễ hiểu hơn nếu được biểu thị theo những biểu diễn đặc thù riêng Ví dụ, hàm số từng đoạn được

biểu thị theo biểu diễn đại số là dễ hiểu, trong khi đó, sự tịnh tiến nếu được thực hiện trên biểu diễn đồ thị sẽ dễ hiểu hơn Vì vậy, sự lựa chọn diểu diễn thích hợp đối với những ngữ cảnh khác nhau là rất quan trọng Moschkovich et al (1993, [32]) nhấn mạnh tầm quan trọng của việc liên kết giữa hai quan niệm quy trình-đối tượng, và sự linh hoạt trong chuyển đổi từ những quan niệm khác nhau

2.2.3 Kiến thức của giáo viên về tính linh hoạt trong lựa chọn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn và các quan niệm khác nhau

Có rất nhiều nghiên cứu về kiến thức của giáo viên để giảng dạy khái niệm hàm số (Even, 1990, 1993; Norman, 1992, 1993, [13], [14], [36], [37]) Ví dụ, dựa trên một nghiên cứu về kiến thức để dạy học khái niệm hàm số lớp 10, Norman (1992, [36]) nhận thấy rằng các giáo viên trung học có xu hướng không linh hoạt về khái niệm hàm số, làm hạn chế khả năng của họ trong việc nhận ra hàm số trong các bối cảnh không quen thuộc và chuyển đổi giữa các loại biểu diễn hàm số khác nhau Các giáo viên có thể đưa ra định nghĩa chính thức về hàm số, phân biệt hàm số từ các mối quan hệ, và xác định chính xác một tình huống

cụ thể có phải là hàm số hay không Tuy nhiên, các giáo viên đã không thể hiện mối liên

kết mạnh mẽ giữa các khái niệm không chính thức của họ và định nghĩa chính thức về hàm

số, họ không thoải mái với việc tạo ra bối cảnh cho các hàm số và có khả năng hạn chế trong việc mô tả các ứng dụng của hàm số Các giáo viên gặp khó khăn trong việc xây dựng các hàm số không liên tục hoặc hàm số từng đoạn

Các nghiên cứu đã cho thấy rằng giáo viên không có kiến thức thích hợp về việc sử dụng linh hoạt các hình thức biểu diễn Như lập luận của Moschkovich et al (1993, [32]),

“Năng lực chủ đề phương trình đường thẳng bao gồm việc có thể chuyển đổi linh hoạt giữa các hình thức biểu diễn và quan niệm, đảm bảo để có thể “nhìn thấy” đường thẳng trong mặt phẳng, trong dạng đại số của chúng, hoặc ở dạng bảng, và

quan niệm đối tượng có khi là một quan niệm rất hữu ích, nhưng cũng có khi cần chuyển sang quan niệm quy trình, nếu quan niệm đó là phù hợp”(p 97)

Do tầm quan trọng của phát triển tính linh hoạt của học sinh trong việc học các khái niệm hàm số, và những điểm yếu trong kiến thức của giáo viên về giảng dạy hàm số nhằm phát huy tính linh hoạt, chúng tôi tập trung vào sự linh hoạt của giáo viên trong việc chuyển

đổi giữa các quan niệm khác nhau (quy trình và đối tượng), và lựa chọn nhiều biểu diễn

(ngôn ngữ, bảng, biểu thức đại số, và đồ thị) Ngoài ra, chúng tôi sẽ minh họa các khái niệm về sự linh hoạt trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến hàm số bậc hai trong phần phương pháp nghiên cứu

2.2.4 Các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm

số

Một sự thật hiển nhiên là giáo viên không thể giúp học sinh học những điều mà chính bản thân họ không hiểu Để việc học hàm số trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh, bản thân giáo viên cần phải có kiến thức hàm số vững chắc Những yếu tố cần thiết để giáo viên trung học hiểu biết về hàm số là gì? Trong phần sau, dựa trên mô hình kiến thức của giáo viên để giảng dạy môn Toán của Ball và các cộng sự và mô hình năng lực nghiệp vụ của giáo viên Toán của chương trình TEDS-M, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các lĩnh vực kiến thức kiến thức để giảng dạy hàm số: kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK), kiến thức về nội dung và học sinh (KCS), và kiến thức về nội dung và giảng dạy (KCT), được coi là quan trọng cho việc học tập của học sinh

a) Kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK) để giảng dạy khái niệm hàm số

Các nghiên cứu liên quan (Cooney et al, 2010; Even, 1990, [10], [13]) xác định các khía cạnh khác nhau về khái niệm hàm số rất quan trọng đối với giáo viên Cooney et al., (2010, [10]) phát biểu rằng những “ý tưởng lớn” sau đây là trung tâm của hàm số Giáo viên nên biết về các ý tưởng này và trình bày chúng trong giảng dạy của mình: khái niệm hàm số (ý tưởng lớn 1), đồng biến thiên và tốc độ biến thiên (ý tưởng lớn 2), họ các hàm

số (ý tưởng lớn 3), kết hợp và biến đổi hàm số (ý tưởng lớn 4), và đa biểu diễn hàm số (ý tưởng lớn 5)

Là một phần của SCK, giáo viên Toán trung học phổ thông phải biết các định nghĩa

và các tính chất quan trọng của hàm số Ngoài ra, họ cần biết sự kết nối giữa khái niệm hàm số và các khái niệm toán học khác như khái niệm giới hạn, các ứng dụng có liên quan của hàm số trong và ngoài bối cảnh toán học, và có thể giải quyết thành công các vấn đề của học sinh trung học phổ thông liên quan đến các khái niệm và xác định câu trả lời không chính xác hoặc các định nghĩa không chính xác của khái niệm hàm số

Các giáo viên phải biết các định nghĩa khác nhau của hàm số; lựa chọn các biểu diễn khác nhau cho các mục đích cụ thể và nhận ra những gì liên quan trong việc sử dụng một biểu diễn cụ thể; có một bộ sưu tập lớn các ví dụ ngắn gọn và rõ ràng; giáo viên phải biết tầm quan trọng của chủ đề này liên quan đến các chủ đề khác và có thể giải thích điều này cho học sinh; và cuối cùng, có thể nhận thức hàm số dưới các cách nhìn khác nhau là quan niệm quy trình và quan niệm đối tượng

Khái niệm hàm số được định nghĩa theo nhiều cách, bao gồm như là biến đầu vào thành đầu ra, như quy tắc từ x cho ra f(x), hoặc như một sự tương ứng từ một tập vào tập khác (Cooney et al., 2010, [10]) Theo Nyikahadzoyi (Nyikahadzoyi, 2015, [38]), như một phần của SCK, giáo viên nên biết những định nghĩa hàm số khác nhau và định nghĩa nào được sử dụng, tùy thuộc vào ngữ cảnh Tuy nhiên, đặc trưng thuật ngữ về hàm số là các thuật ngữ mà học sinh không quen thuộc (ví dụ miền xác định, miền giá trị) và có thể không có ích Các giáo viên có thể làm việc với các định nghĩa trong lớp học và thể hiện vai trò quan trọng của định nghĩa trong việc hiểu nội dung toán học sâu sắc hơn Ngoài việc tập trung vào quy tắc như đánh giá hoặc tìm một hằng số, giáo viên cần liên kết hàm

số với các quan niệm khác nhau, và coi nó như là một đối tượng thao tác

Theo Freudenthal (như trích dẫn ở Even, 1990, [13]) có hai đặc trưng của hàm số được coi là cần thiết: tùy ý và đơn trị Giáo viên cần biết hai đặc trưng của các hàm số và

có một kho các ví dụ minh họa rõ ràng Và giáo viên cũng cần nắm vững và phân biệt được hai khía cạnh của khái niệm hàm số: đặc trưng tương ứng và đặc trưng biến thiên phụ thuộc

để giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của khái niệm hàm số Họ cũng nên biết tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong mối quan hệ đến hàm số, có thể giải thích tầm quan trọng của

nó đối với học sinh và có thể làm rõ hàm số, không chỉ để làm cho miền xác định và miền giá trị được rõ ràng mà còn cho thấy phép gán được thực hiện từ miền xác định đến miền giá trị (Nyikahadzoyi, 2015, [38]) Hàm số có thể xuất hiện trong các biểu diễn khác nhau bao gồm các đồ thị, phương trình, mô tả bằng ngôn ngữ, bảng biểu, sơ đồ, lập biểu đồ, và tập các cặp số có thứ tự (Cooney et al., 2010, [10]) Kể từ khi sự biểu diễn đóng một vai trò quan trọng trong sự hiểu biết toán học, như một phần của SCK, giáo viên nên quen thuộc với chúng và biến đổi và liên kết hình thức giữa chúng (Even, 1993, [14]) Họ cần biết những điểm yếu vốn có của các hình thức biểu diễn khác nhau và chọn những cách biểu diễn thích hợp cho các mục đích đặc biệt và cũng tùy thuộc vào ngữ cảnh (Nyikahadzoyi, 2015, [38])

Theo Ball và các cộng sự, SCK trong toán học không chỉ bao gồm kiến thức về các định nghĩa cơ bản mà còn có kiến thức về định nghĩa và các tiêu chuẩn toán học khác nhau (hiểu biết về một định nghĩa có thể được sử dụng hoặc thao tác bởi các học sinh đang ở cấp độ cụ thể nào) sẽ cho phép một giáo viên lựa chọn các định nghĩa phù hợp với học sinh trung học phổ thông Trong trường hợp khái niệm hàm số, quen với các định nghĩa cơ bản của hàm số sẽ tạo nên CCK của giáo viên về các khái niệm, trong khi nhận thức rằng tập hợp lý thuyết về định nghĩa hàm số hiện đại, được phát triển bởi Bourbaki dành cho việc nghiên cứu Giải tích, có thể không thích hợp cho những học sinh đang học ở trường trung học sẽ thuộc SCK Do đó, giáo viên toán học cần biết sử dụng những định nghĩa phù hợp với từng bối cảnh khác nhau

Các quan điểm về SCK cho rằng kiến thức toán học để giảng dạy khác với kiến thức toán học được tổ chức bởi các chuyên gia khác, kiến thức toán học được sử dụng cho

kỹ thuật là khác với các kiến thức toán học cần thiết cho việc giảng dạy Trong khi một nhà vật lý hoặc một nhà hóa học có thể có những quan niệm hạn chế về hàm số, thì giáo viên toán học trung học phổ thông phải quen thuộc với các quan niệm hàm số khác nhau

Các thuật ngữ hành động, quy trình và đối tượng biểu thị các quan niệm khác nhau về khái

niệm hàm số trong đó mỗi quan niệm riêng tương ứng dùng để tăng mức độ hiểu biết khái niệm hàm số Trong khi quan niệm về hành động, quy trình về hàm số có thể đủ cho các nhà hóa học, một giáo viên dạy toán trung học phổ thông nên có quan niệm đối tượng về một hàm số Sơ đồ quan niệm của giáo viên toán về khái niệm hàm số nên thể hiện một cái nhìn linh hoạt hơn về quan niệm hàm số như là quy trình và đối tượng với một tập hợp các tính chất Trong khi đó, các sơ đồ quan niệm của những người sử dụng toán học trong các lĩnh vực khác có thể bộc lộ hiểu biết ít hơn bằng cách tập trung vào các hành động (tìm

độ dốc, việc tìm hằng số, giải quyết, đánh giá, vv) với ít hoặc không liên kết đến các quan niệm khác

b) Kiến thức về nội dung và học sinh (KCS)

KCS liên quan đến khái niệm hàm số bao gồm khả năng của giáo viên để dự đoán

và giải quyết các lỗi và quan niệm sai lầm của học sinh, giải thích để làm sáng tỏ những suy nghĩ chưa đầy đủ của học sinh, dự đoán cách học học sinh sẽ xử lý các nhiệm vụ cụ thể, và những gì học sinh sẽ cảm thấy thú vị và thử thách Những kiến thức này rất hữu ích trong việc sắp xếp các bài tập theo mức độ khó khăn dành cho các cá nhân và các nhóm học tập cụ thể, thiết kế một bài kiểm tra lớp học, ước tính thời gian xử lý một nhiệm vụ cho các cá nhân và các nhóm học tập cụ thể, giải thích để làm sáng tỏ những suy nghĩ chưa

đầy đủ của học sinh, dự đoán cách học học sinh sẽ xử lý các nhiệm vụ cụ thể

Kiến thức về các chướng ngại về nhận thức của học sinh, các lỗi và quan niệm sai lầm của học sinh Theo Ball (2000, [3]), một phần của KCS là khả năng của giáo viên

để dự đoán các lỗi của học sinh, quan niệm sai lầm, và những chướng ngại về nhận thức của các em Kể từ khi khái niệm hàm số có thể được biểu thị bằng các biểu diễn khác nhau trong nhiều ngữ cảnh, tùy thuộc vào ngữ cảnh, học sinh có thể sẽ phải đối mặt với những chướng ngại về nhận thức liên quan đến việc sử dụng các biểu diễn cụ thể Giáo viên toán trung học phổ thông cần phải nhận biết được những chướng ngại về nhận thức liên quan đến việc sử dụng từng biểu diễn và sự xây dựng lại liên kết với yêu cầu sau đó Để khắc phục chướng ngại về nhận thức, cần thiết phải loại bỏ các quan niệm cũ, kiến thức bị trục trặc, và thay thế bằng quan niệm mới, hoạt động tốt trong lĩnh vực mới Quá trình đào thải

và khắc phục một chướng ngại như là một phần thiết yếu của việc xây dựng kiến thức

Điều này đòi hỏi một nỗ lực rất lớn để xây dựng lại một phần nhận thức của học sinh Giáo viên cần phải quen thuộc với các quan niệm sai lầm có thể có của học sinh kết hợp với việc

sử dụng các loại biểu diễn hàm số cụ thể

Nhận thức của học sinh về hàm số chủ yếu xem xét hàm số như là một công thức hoặc một đồ thị Theo đó, mặc dù họ thành công với các biểu diễn được coi là cơ bản của hàm số, họ khó khăn khi gặp các hàm số được biểu thị dưới dạng biểu diễn không quen thuộc như bảng, sơ đồ, biểu đồ và ngôn ngữ Nhiều học sinh gặp khó khăn khi nhiều phần

tử tương ứng với một phần tử và hay các phần tử của hai tập phải tương ứng một-một Đối với nhiều học sinh, các hàm số được đưa ra bởi nhiều quy tắc không phải là hàm số và hàm

số phải bao gồm các ký hiệu đại số Tuy nhiên, nếu hàm số chỉ được xác định bằng các biểu diễn đại số, học sinh sẽ nhận thức hàm số như các quy tắc với những qui luật trong

đó sự thay đổi của các biến độc lập dẫn đến sự thay đổi của các biến phụ thuộc với kết quả

là học sinh không xem các hàm hằng là hàm số Ví dụ, nhiều học sinh cho rằng y = 4 không

phải là một hàm số vì y không phụ thuộc vào x Tuy nhiên, theo tính chất tùy ý của khái niệm hàm số, sự tương ứng giữa các phần tử trong miền xác định và miền giá trị không cần phải được xác định bởi một quy tắc Khi một ánh xạ được biểu thị bằng đồ thị, kiểm tra đường thẳng đứng luôn được sử dụng để xác định liệu một ví dụ được đưa ra có phải

là một hàm số hay không, từ đó tạo cho học sinh cảm giác rằng tất cả các hàm số có thể được biểu diễn bằng đồ thị Nhiều học sinh có quan niệm không chính xác về đồ thị của hàm số Học sinh thường tin rằng đồ thị của các hàm số cần phải liên tục và biểu thị một mẫu hình tuyến tính KCS về khái niệm hàm số của giáo viên nên bao gồm khả năng dự đoán và giải quyết những sai lầm phổ biến của học sinh Ngoài ra, giáo viên cần phải nhận thức cách tư duy của học sinh, dự đoán cách học sinh sẽ xử lý các nhiệm vụ nào đó, và biết những gì học sinh sẽ thấy thú vị (Nyikahadzoyi, 2015, [38])

Kiến thức về những gì mà học sinh sẽ cảm thấy được thử thách Học sinh đã thấy

thử thách trong việc đưa ra các liên kết giữa các hình thức biểu diễn khác nhau của một hàm số, trong việc thao tác với các biểu tượng liên quan đến hàm số, và khái quát hóa thành khái niệm Trong khi một số khó khăn trong học tập là do phương pháp giảng dạy không thích hợp và có thể tránh được, thì một số khó khăn trong học tập là do sự phức tạp vốn có của riêng các khái niệm đó và do đó không thể tránh khỏi (chướng ngại tri thức

luận)

Eisenberg (Eisenberg, 1991, [12]) lưu ý rằng học sinh gặp vấn đề trong việc thao tác với các biểu tượng liên quan đến hàm số Ví dụ, ký hiệu f(x) làm cho nhiều học sinh khó hiểu bởi vì f(x) là viết tắt cho cả tên của một hàm số và cho giá trị của hàm số tại một giá trị đầu vào cụ thể Eisenberg suy đoán rằng học sinh sẽ có ít rắc rối với hiểu biết về hàm số nếu hàm số được trình bày trong các hình thức x g g x ( ) hoặc

( ) f ( ( ))

g x  f g x (trong trường hợp hàm số hợp) Tương tự như vậy, các hàm số ở dạng tham số cũng được chứng minh là quá khó khăn, đặc biệt là khi các biểu diễn chuyển từ hai tham số đến ba tham số

Thiếu linh hoạt trong chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau và các quan niệm khác nhau Một nguyên nhân chính của những khó khăn của học sinh về hàm số là họ

thiếu sự linh hoạt trong chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau và các quan niệm khác nhau hoặc giải quyết vấn đề dựa vào mối quan hệ giữa các biểu diễn và quan niệm về hàm

số Các biểu diễn khác nhau đóng các vai trò khác nhau trong việc giúp học sinh hiểu được quan niệm về hàm số (Schwartz & Yerushalmy, 1992, [42]) Khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa các kiểu biểu diễn khác nhau sẽ giúp học sinh đạt được sự hiểu biết sâu sắc khái niệm hàm số

c) Kiến thức về nội dung và giảng dạy (KCT)

Như một phần của KCT về hàm số, giáo viên trung học phải biết những cách giới thiệu khác nhau cho một chủ đề hàm số, trình tự của các bài tập, giải thích, trình bày, định nghĩa, và các ví dụ, và áp dụng chúng trong việc xây dựng kế hoạch bài học của họ bằng cách xem xét và sắp xếp chúng dưới dạng thích hợp cho các nhóm học tập đặc biệt, và sửa lại kế hoạch bài học của họ nhằm thích ứng với những thay đổi trong thành phần lớp học Trong giảng dạy, giáo viên cần phải nhận thức được hạn chế và thế mạnh của các biểu diễn riêng biệt Ngoài ra, họ cần xác định những quan niệm đã có của học sinh về hàm số và sử dụng chúng để thực hiện điều chỉnh việc giảng dạy của họ (Nyikahadzoyi, 2015, [42])

Kiến thức về những thuận lợi và khó khăn trong giảng dạy mỗi hình thức biểu diễn cụ thể Là một phần của kiến thức về nội dung và giảng dạy liên quan đến khái niệm

hàm số, giáo viên cần phải nhận thức được những ưu điểm và nhược điểm trong giảng dạy mỗi hình thức biểu diễn cụ thể Mỗi hình thức biểu diễn của khái niệm hàm số, như với bất kỳ hình thức biểu diễn nào khác của một khái niệm toán học, làm nảy sinh một loạt các

chướng ngại về nhận thức đòi hỏi học sinh phải tái nhận thức trong giai đoạn học tập tiếp theo (Tall, 2001, [48])

Schwartz & Dreyfus (1992, [43]) lưu ý rằng hình thức biểu diễn đại số của một hàm

số là mơ hồ vì hai lý do Đầu tiên, trong một số trường hợp, không có một biểu thức đại số duy nhất biểu thị cho một hàm số Ví dụ, các biểu thức y = 4x - 12 và y = 4(x - 3) biểu thị cùng một hàm số bậc nhất Tương tự như vậy, các biểu thức y = |x| và y = max {x, - x} biểu thị cùng một hàm số Thứ hai, sự mơ hồ phát sinh do thất bại trong việc xác định miền

xác định của một hàm số trong biểu diễn đại số Ví dụ, y = x + 3 và 2 6

2

x x y

x

 



 có biểu

diễn cho cùng một hàm số hay không phụ thuộc vào cách xác định miền xác định của hàm

số Schwartz & Dreyfus (1992, [43]) cũng lưu ý rằng vấn đề của hình thức biểu diễn đồ thị

là thông tin về một hàm số được cho dưới dạng đồ thị luôn luôn chỉ là một phần của hàm

số vì bị hạn chế bởi sự lựa chọn cửa sổ quan sát Trong thiết lập đồ thị, một sự biểu diễn của một hàm số thu được bằng cách chọn một cửa sổ quan sát đặc trưng bởi sự giới hạn của giá trị x và giá trị y Điều quan trọng cần lưu ý là biểu diễn mới của hàm số có thể thu được chỉ đơn giản bằng cách thay đổi các đơn vị của trục Biểu diễn bảng của một hàm số

là không duy nhất Biểu diễn dạng bảng của một hàm số đơn giản là tất cả các bảng có thể thu được bằng cách chọn một bộ giá trị x tương ứng với các giá trị y Tương tự trường hợp biểu diễn đồ thị, thông tin về một hàm số trong các biểu diễn bảng luôn luôn là một phần

vì chỉ có một phần của miền xác định và miền giá trị được cho (Schwartz & Dreyfus, 1992, [43]) Vì mỗi hình thức biểu diễn có những điểm mạnh và hạn chế riêng, do đó giáo viên cần có sự hiểu biết sâu sắc về các hình thức biểu diễn để lựa chọn hình thức biểu diễn thích hợp cho từng bối cảnh và mục đích sử dụng cụ thể

Kiến thức về trình tự giảng dạy Kiến thức về lý thuyết tâm lý về sự phát triển của

khái niệm hàm số là điều cần thiết trong hoạt động lập kế hoạch học tập cho các em học sinh như những lý thuyết cố gắng để giải thích cách mà khái niệm phát triển trong tâm trí của học sinh Các lý thuyết nhấn mạnh rằng bài học mới tốt nhất nên được xây dựng dựa trên bài học đã được học trước đó Ví dụ, lý thuyết APOS của Dubinsky cho rằng một khái

niệm toán học được hình thành khi một cá nhân thực hiện các hành động trên các đối tượng

đã tồn tại (các biến) mà sau đó tiếp thu vào thành quy trình, sau đó được cụ thể hóa (reification) thành đối tượng được xây dựng thành một sơ đồ nhận thức rộng lớn hơn

Tương tự như vậy, trong mô hình của Sfard, khái niệm, chẳng hạn như khái niệm hàm số, được cụ thể hóa thành sơ đồ trong giai đoạn cuối cùng của một quy trình trừu tượng ba bước Những lý thuyết này gợi ý rằng khái niệm hàm số có thể được giới thiệu với học sinh bằng cách yêu cầu học sinh phản ứng với các tình huống trong đó hàm số có thể xuất hiện (thông qua một công thức hay là một thuật toán) và tìm giá trị của hàm số ứng với một giá trị cụ thể của biến được cho, ví dụ, xác định giá trị cụ thể của y trong phương trình

y = 2x + 2 với giá trị của x đã cho Với tình huống này, học sinh có thể phản ứng bằng cách xây dựng trong tâm trí của họ một quy trình liên quan đến hàm số Do đó, quan niệm

hành động sẽ trở thành một quan niệm quy trình khi cá nhân có thể mô tả hoặc phản ánh

tất cả các bước trong việc chuyển đổi mà không nhất thiết phải thực hiện chúng Để đảm bảo rằng sau đó học sinh có khả năng nhận thức khái niệm hàm số như là một đối tượng đầy đủ chính thức, có lẽ giáo viên cần phải thiết kế các hoạt động, trong đó học sinh thực hiện một số thao tác trên hàm số như kết hợp các hàm số Giáo viên cần phải chú ý đến cách học sinh tư duy về các nhiệm vụ hay khái niệm toán học Giáo viên cần xác định những quan niệm hiện tại về hàm số của người học và sau đó sử dụng quan niệm hiện tại của người học để sắp xếp lại việc giảng dạy hàm số

2.3 Câu hỏi nghiên cứu

Các phân tích trong chương 1 đã cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho nguyên cứu này Cơ sở lý thuyết trình bày ở chương 2 giúp chúng tôi định vị cách nhìn khoa học đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

Câu hỏi 1: Kiến thức nội dung chuyên ngành của giáo viên toán trung học tương

lai về chủ đề hàm số được thể hiện như thế nào? Làm thế nào để đánh giá kiến thức nội dung chuyên ngành của giáo viên toán tương lai?

Câu hỏi 2: Kiến thức về nội dung và học sinh của giáo viên toán trung học tương

lai về chủ đề hàm số được được thể hiện như thế nào? Làm thế nào để đánh giá được kiến thức về nội dung và học sinh của giáo viên toán tương lai?

Câu hỏi 3: Kiến thức về nội dung và giảng dạy của giáo viên toán trung học tương

lai về chủ đề hàm số được được thể hiện như thế nào? Làm thế nào để đánh giá được kiến thức về nội dung và giảng dạy của giáo viên toán tương lai?

Câu hỏi 4: Mối quan hệ giữa kiến thức nội dung chuyên ngành, kiến thức về nội

dung và học sinh và kiến thức về nội dung và giảng dạy của giáo viên toán trung học tương lai về chủ đề hàm số được được thể hiện như thế nào trong khi giải quyết các câu hỏi được đặt ra trong phiếu thực nghiệm?

2.4 Kết luận chương 2

Trong chương 2, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến mô hình của Ball

và cộng sự về các kiểu kiến thức toán để dạy học và phân tích các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình đánh giá quốc tế về Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDS-M Chúng tôi phân tích các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung sư-phạm của giáo viên về chủ đề hàm số Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này cho phép chúng tôi định vị cách tiếp cận vấn đề và xác định mục tiêu nghiên cứu, từ đó chúng tôi hình thành các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài Cơ sở lý thuyết này cũng đóng vai trò như công cụ phương pháp luận để chúng tôi thiết kế phiếu thực nghiệm bao gồm các câu hỏi kết thúc mở nhằm khảo sát và phân tích, đánh giá các kiểu kiến thức toán của giáo viên

để giảng dạy hàm số được thể hiện trong phần sau của luận văn

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 Ngữ cảnh

Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kỳ 2 của năm học 2015 – 2016 trên đối tượng là các giáo viên toán trung học tương lai, bao gồm 15 sinh viên năm thứ ba của Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Huế, và 17 học viên cao học (hầu hết học viên đều tốt nghiệp đại học từ Trường Đại học Sư phạm Huế và chưa chính thức dạy học ở một trường

phổ thông)

3.2 Công cụ nghiên cứu (phiếu thực nghiệm)

3.2.1 Nội dung phiếu thực nghiệm

Bảng 3.1 Tóm tắt nội dung các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm

Câu hỏi Lĩnh vực nội dung Vấn đề nội dung cụ thể Loại kiến thức

dung và giảng dạy

2 Khái niệm hàm số Dự đoán quan niệm sai lầm của

học sinh về khái niệm hàm số

Kiến thức nội dung

và học sinh

3 Hàm số bậc hai

Đặt câu hỏi để kiểm tra kiến thức của học sinh về hàm số bậc hai

Kiến thức nội dung chuyên ngành

4.i

Đa biểu diễn hàm

số bậc hai

Cho đồ thị hàm số bậc hai, xác định dấu của các hệ số a, b, c

Kiến thức nội dung chuyên ngành

5 ii Đa biểu diễn hàm

Kiến thức nội dung chuyên ngành

Kiến thức nội dung chuyên ngành

7.ii

Kiến thức nội dung

và học sinh Kiến thức nội dung

Kiến thức nội dung chuyên ngành

8.ii

Xác định mục đích câu hỏi nhằm kiểm tra nội dung kiến thức nào của hàm số bậc hai

Kiến thức nội dung chuyên ngành

và giảng dạy

để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai khi biết tính chất của hàm số bậc hai tương ứng

Kiến thức nội dung chuyên ngành

Xác định hàm số dựa vào các điều kiện đã cho

Kiến thức nội dung chuyên ngành

Kiến thức nội dung chuyên ngành

3.2.2 Phân tích tiên nghiệm

Câu hỏi 1

a) Anh/chị hiểu như thế nào về khái niệm hàm số?

b) Cho hai ví dụ minh họa để giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm hàm số

Phân tích tiên nghiệm:

a) Đây là câu hỏi lí thuyết, chưa đi vào vấn đề cụ thể nào, giáo viên có thể tự do trình bày khái niệm hàm số theo quan niệm của mình Câu hỏi này nhằm mục đích khảo sát xem đối với giáo viên, đặc trưng nào của khái niệm hàm số được thể hiện nổi trội nhất

Vì tính khái quát của câu hỏi này mà chúng tôi dự đoán các câu trả lời sẽ rất phong phú

Các câu trả lời của giáo viên có thể là: