ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN TOÁN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN TOÁN

oxmath.vn

BOXMATH

http://boxmath.vn

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN

NGÀY 20.10.2012

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = x3+ 3mx2+ 3(m + 1)x + 1 (Cm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = −1.

b) Tìm tất cả các giá trị thực cuả tham số m để đường thẳng d : y = x − 2 cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho

AB= BC, trong đó A có hoành độ bằng −1

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình √2 2 cos2x− 3 sin 2x
= 4 cos x sin 2x + 2(sin x − cos x)

b) Giải hệ phương trình

( 3x2− 2x − 5 + 2x√x2+ 1 = 2(y + 1)py2+ 2y + 2

Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân I=

Z e 1

2 ln x − ln2x x(x + ln x) dx.

Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a, SB = a√3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P= xp1 − y2+ y√

1 − x2

PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ (y − 3)2= 25 có tâm I Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(6; 1) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10

b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1:x+ 2

y+ 1

z− 3

2 , d2:

x− 2

y+ 3

z− 1

2 . Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2và có bán kính nhỏ nhất

Câu 7a (1 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x2trong khai triển nhị thức Niu-tơn của



x2+2 x

n

, biết:

3Cn+13 − 3A2= 52(n − 1)

B Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy viết phương trình elip (E) đi qua M(2√3; 1) và phương trình tiếp tuyến tại M

là√3x + 2y − 8 = 0

b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1:x+ 3

y− 1

z+ 3

1 , d2:

x− 1

y+ 1

z− 3

1 .

và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 7 = 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d1, tiếp xúc với đường thẳng d2và mặt phẳng (P)

Câu 7b (1 điểm) Giải phương trình: log3(2x − 3) = log5(3x + 7)

———————————————–Hết—————————————————-Cảm ơn ( hynagacu@gmail.com ) đã gửi tới  www.laisac.page.tl

oxmath.vn

TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN

Câu 1.a Cho hàm số y = x3+ 3mx2+ 3(m + 1)x + 1 (Cm)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = −1

Lời giải: ()

Khi m = −1ta có : y = f (x) = x3− 3x2+ 1 Tập xác định D = R

y0= 3x2− 6x ⇒ y0= 0 ⇔

"

x= 0

x= 2 ⇒

"

y= 1

y= −3 lim

x→+∞f(x) = +∞; lim

x→−∞f(x) = −∞

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f(x)

−∞

1

−2

+∞

Hàm số đông biến trên (−∞; 0); (2; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (0; 2)

Điểm cực đại (0; 1), Điểm cực tiểu (2; −3)

Đồ thị

−2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1 2 0

Câu 1.b Cho hàm số y = x3+ 3mx2+ 3(m + 1)x + 1 (Cm) Tìm tất cả các giá trị thực cuả tham số m để đường thẳng

d: y = x − 2cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho AB = BC, trong đó A có hoành độ bằng −1

Lời giải: (l94)

Phương trình hoành độ giao điểm:

(x + 1)[x2+ (3m − 1)x + 3] = 0 (d) cắt C tại 3 điểm phân biệt ⇔ x2+ (3m − 1)x + 3 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2khác −1 ⇔ m <1 − 2

√ 3

3 hoặc 1 + 2

√ 3

3 < m A(−1; −3); B(x1; x1− 2);C(x2; x2− 2) AB= BC ⇔ 2x1= x2− 1

Mặt khác x1+ x2= 1 − 3m x1x2= 3 Giải hệ tìm được m = −1; m =3

2 Thử lại cả hai đề thỏa yêu cầu bài toán Vậy m = −1; m =3

2

Câu 2.a Giải phương trình √2 2 cos2x− 3 sin 2x
= 4 cos x sin 2x + 2(sin x − cos x)

Lời giải: (thienlonghoangde)

Ta viết lại biểu thức bài toán về

2√

2 cos2x+ 2 cos x − 2 sin x[3√2 cos x + 4 cos2x+ 1] = 0

⇔ (√2 cos x + 1)(2 cos x − 2 sin x − 4√

2 sin x cos x) = 0 (1)

Từ (2) ta đặt t = (sin x − cos x) với |t| ≤√2 Ta có : sin x cos x =1 − t

2

2 Từ đó thế vào (1) ta được phương trình:

t+√

2 −√ 2t2= 0

Ta tìm được nghiệm phương trình trên là: t =√2vt =−√2

2 Đến đây ta dễ tìm ra được nghiệm bài toán

Lời giải: (akashi_95)

2√

2 cos2x− 6√2 cos x sin x = 8 cos2x sin x + 2 sin x − 2 cos x

⇔ cos2x(8 sin x − 2√2) + 2 cos x(3√

2 sin x − 1) + 2 sin x = 0

∆0= (√

2 sin x − 1)2mà 8 sin x − 2√2 6= 0

(+) cos x = 2 − 4

√ 2

8 sin x − 2√

2=

−√2 2 (+) cos x = −

√ 2

4 sin x −√

2 ⇔ 4 sin x cos x +√2(sin x − cos x) = 0 Đến đây ta giải tương tự cách (1)

Câu 2.b Giải hệ phương trình

( 3x2− 2x − 5 + 2x√x2+ 1 = 2(y + 1)py2+ 2y + 2

oxmath.vn

Lời giải: (thienlonghoangde & Huyền Đức)

Hệ đã cho trở thành

⇐⇒

( 3x2− 2x − 5 + 2x√x2+ 1 − 2(y + 1)py2+ 2y + 2 = 0 (1)

Hay

3x2− 2x − 5 + 2xpx2+ 1 − 2(y + 1)py2+ 2y + 2 = x2+ 2y2− 2x + 4y − 3

⇐⇒ x2+ xpx2+ 1 = (y + 1)2+ (y + 1)

q (y + 1)2+ 1

Từ đó ta xét hàm số : f (t) = t2+ t√

t2+ 1 Mà f0(t) = 2t +√t2+ 1 + t

2

√

t2+ 1 > |2t| + 2t > 0 > 0 Suy ra f (t) là hàm đồng biến nên ta có x = y + 1

Từ hệ thứ hai ta có: 3y2+ 4y − 4 = 0 ⇒ (x; y) = (−1; −2); 2

3;

5 3



Câu 3. Tính tích phân I=

Z e 1

2 ln x − ln2x x(x + ln x) dx.

Lời giải: (thienlonghoangde)

Đặt t = ln x Suy ra được t = 1 khi x = e, t= 0 khi x = 1 Và dt =1

xdx ; x = et Khi đó

I=

1

Z

0

2t − t2

et+ t2 dt =

1

Z

0

2t − t2− et+ et

et+ t2 dt =

1

Z

0

 et+ 2t

et+ t2− 1

 dt

Đến đây ta dễ dàng suy ra :

I= (ln(et+ t2) − t)

1 0

= ln(e + 1) − 1

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,

SA= a, SB = a√

3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

Lời giải: (thiencuong_96)

A

B

C

D O

H

S

E

Q

P

T

Ta có : SA = a, SB =√3a, AB = 2a nên tam giác SAB vuông tại S Có mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD) và AB = (SAB) ∩ (ABCD) Vậy từ trong mặt phẳng kẻ AH vuông với AB suy ra AH ⊥ (ABCD) Dể dàng tính được SH =a

√ 3 2

VABCD=1

3SH.SABCD=

2√ 3a3 3 Trong mặt phẳng ABCD kẻ Bx//AC cắt AD tại E ⇒ ACk(SBE), d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE))

Có AH ∩ (SBE) = B ⇒ d(A; (SBE))

d(H; (SBE))=

AB

HB=

4

3 Trong mặt phẳng (ABE) kẻ HQ ⊥ EB, AT ⊥ EB

Có EB ⊥ HQ, EB ⊥ SH ⇒ EB ⊥ (SAQ) Kẻ HP ⊥ SQ suy ra HP = d(H; (SEB))

Mặt khác dể dàng có AT =1

2BD= a

√

2 Và HQ

AT =

BH

BA =

3

4 ⇒ HQ =3

√ 2a

4 Suy ra HP = 3

√ 5a 10 Thế lên trên suy ra d(A; SBE) =2

√ 5a

5 Vậy d(AC; SB) =2

√ 5a 5

oxmath.vn

Câu 5. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xp1 − y2+ y√

1 − x2

Lời giải: (Ntspbc)

Đầu tiên ta chứng minh BĐT:√a2+ b2+√

c2+ d2≥p(a + c)2+ (b + d)2, ∀ a, b, c, d ∈ R Bằng cách bình phương 2 vế và thu gọn, ta đưa về BĐT tương đương là:p(a2+ b2)(c2+ d2) ≥ ac + bd

BĐT đúng theo BĐT Bunhiacovsky Vậy√a2+ b2+√

c2+ d2≥p(a + c)2+ (b + d)2

Đẳng thức xảy ra khi a = kc và b = kd (k ∈ R)

Trở lại bài Toán Sử dụng điều kiện và BĐT trên ta có:

P= xp1 − y2+ yp1 − x2

= x q (x + y)2− y2+ y

q (x + y)2− x2

= xpx2+ 2xy + ypy2+ 2yx

= q (x2)2+ (xp2xy)2+

q (y2)2+ (yp2xy)2

≥ q (x2+ y2)2+ 2xy(x + y)2

Mà

(x2+ y2)2+ 2xy(x + y)2= (x2+ y2)2+ 2xy

= (x2+ y2)2+ (x + y)2− (x2+ y2)

=



x2+ y2−1

2

2

+3

4≥3 4

Nên ta suy ra P≥

r 3

4=

√ 3 2 Đẳng thức xảy ra khi x = y =1

2 Vậy GTNN của P là

√ 3

2 khi x = y =1

2

Lời giải: (thienlonghoangde)

Ta có :

P2= x2(1 − y2) + y2(1 − x2) + 2xy

q (1 − x2)(1 − y2)

= x2+ y2− 2x2y2+ 2xy

q (x2y2+ 2xy)

= 1 − 2xy − 2x2y2+ 2xy

q (x2y2+ 2xy)

Đặt t = xy.Ta có 0 < t ≤1

4 f(t) = 1 − 2t + 2t2+ 2t√t2+ 2t

f0(t) = −2 + 4t + 2pt2+ 2t +2t(t + 1)√

t2+ 2t < 0 với mọi t thoả 0 < t ≤

3

4.

Suy ra : f (t) là hàm nghịch biến f (t) ≥ f (1

4) =

3

4 Suy ra P ≥

√ 3 2

Lời giải: (cokeu14)

Ta có : x + y = 1 ⇒ x; y ∈ (0; 1) Do đó ta có :

P= x q

1 − (1 − x)2+ (1 − x)p1 − x2= xp2x − x2+ (1 − x)p1 − x2

Ta sẽ khảo sát hàm số P(x), Có P0(x) = 3x − 2x

2

√ 2x − x2−(1 − x)(1 + 2x)√

1 − x2

P0(x) = 0 ⇔3x − 2x

2

√ 2x − x2−(1 − x)(1 + 2x)√

1 − x2 = 0 ⇔ 3x − 2x

2

√ 2x − x2 =(1 − x)(1 + 2x)

√

1 − x2

⇔(3x − 2x2)p(1 − x)(1 + x) = (1 − x)(1 + 2x)px(2 − x)

⇔(3 − 2x)px(1 + x) = (1 + 2x)p(1 − x)(2 − x) ⇔ x =1

2

Lập bảng biến thiên suy ra Pmin=

√ 3

2 đạt được khi và chỉ khi x = y =1

2

oxmath.vn

Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + (y − 3) = 25 có tâm I Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(6; 1) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10

Lời giải: (thienlonghoangde)

Ta có : (C) có I(0; 3) có R = 5 Phương trình đường thẳng d : a(x − 6) + b(y − 1) = 0 với a2+ b2> 0

Ta có: d(I; d) =| − 6a + 2b|√

a2+ b2 = x Mà diện tích tam giác IAB = 10 =1

2.d(I; d).AB = 1

2.d(I; d).2√25 − x2

Theo giả thiết ta có SIAB= 10 suy ra: x.√25 − x2= 10 Ta tìm được hai giá trị x2= 5 hay x2= 20

Với x2= 5 ta được

Với x2= 20 ta được

Câu 6a.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1: x+ 2

y+ 1

z− 3

2 , d2:

x− 2

y+ 3

z− 1

2 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2và có bán kính nhỏ nhất

Lời giải: (thienlonghoangde)

Ta viết lại viết trình của hai đường thằng d1; d2dưới dạng tham số như sau:

(d1)







x= −2 + 2a

y= −1 + a

z= −3 + 2a

; (d2)







x= 2 + b

y= −3 + 2b

z= 1 + 2b

Gọi A, B lần lượt là hai điểm thuộc d1; d2 A(−2 − 2a; −1 + a; 3 + 2a); B(2 + b; −3 + 2b; 1 + 2b)

Theo yêu cầu bài toán,mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất khi nhận đoạn vuông góc chung của d1; d2làm đường kính

Vậy ta chỉ cần tìm hai điểm A, B là bài toán được giải quyết Ta có :−AB(4 + 2a + b; 2b − a − 2; 2b − 2a − 2).→

Gọi vecto chỉ phương d1; d2lần lượt là−→d1(−2; 1; 2);−→d2(1; 2; 2)

−→

AB.−→

d1= 0 ⇔ −2(4 + 2a + b) + 2b − a − 2 + 4b − 4a − 4 = 0 ⇔ −9a + 4b = 14

−→

AB.−→

d2= 0 ⇔ 4 + 2a + b + 4b − 2a − 4 + 4b − 4a − 4 = 0 ⇔ −4a + 9b = 4

Từ đó, ta có hệ sau :

(

−9a + 4b = 14

−4a + 9b = 4 ⇔

(

a= −22/13

b= −4/13

Ta được toạ độ hai điểm A, B là :A 18

13;

−35

13 ;

−5 13



;B 22

13;

−67

13 ;

5 13



Gọi I là trung điểm AB ta có :I 20

13;

−41

13 ; 0

 Gọi R là bán kính mặt cầu (S), ta có : R2=AB

2

285 169 Vậy ta có phương trình mặt cầu (S) nhận I làm tâm, R làm bán kính là :

 x−20 13

2

+

 y+41 13

2

+ z2= 0

Câu 7a. Tìm hệ số của số hạng chứa x2trong khai triển nhị thức Niu-tơn của



x2+2 x

n

, biết:

3Cn+13 − 3A2= 52(n − 1)

Lời giải: (thienlonghoangde)

Từ đẳng thức đề bài cho dễ dàng suy ra được :

(n + 1)!

3!.(n − 2)!− 3n!

(n − 2)!= 52(n − 1) Tương đương với:

n(n + 1) − 6n = 104

Từ đây suy ra n = 13 Với n = 13 thì ta có biểu thức đề bài trở thành tìm hệ số x2trong khai triển của



x2+2 x

13

Ta viết lại biểu thức



x2+2 x

13

=

13

∑

k=0

C13k x2(13−k).2k.x−k

oxmath.vn

Do hệ số cần tìm chứa x nên 2(13 − k) − k = 2 Vậy k = 8

Do đó hệ số khai triển cần tìm là: 28.C813

Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy viết phương trình elip (E) đi qua M(2√3; 1) và phương trình tiếp tuyến tại

Mlà√3x + 2y − 8 = 0

Lời giải: (thienlonghoangde)

Gọi phương trình (E) : x

2

a2+y

2

b2= 1 (E) đi qua M(2√3; 1) ⇒ a2+ 12b2− a2b2= 0 (1) Phương trình tiếp tuyến theo phương pháp phân đôi toạ độ qua M là : 2

√ 3x

a2 + y

b2= 1 (2) Theo giả thiết thì phương trình tiếp tuyến tại M là√3x + 2y − 8 = 0 (3)

Ta đồng nhất hai hệ số phương trình tiếp tuyến lạo như sau: 2b2=a

2

2 =

a2b2 8 Kết hợp với (1) ta có a2= 16; b2= 4 Vậy phương trình (E) là :x

2

16+

y2

4 = 1

Câu 6b.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1:x+ 3

y− 1

z+ 3

1 , d2:

x− 1

y+ 1

−2 =

z− 3

1 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 7 = 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d1, tiếp xúc với đường thẳng d2và mặt phẳng (P)

Lời giải: (thienlonghoangde & hungchng)

Gọi I là tâm mặt cầu (S) (d1) có vecto chỉ phương là−→n1= (2; 1; 1) và I ∈ (d1) nên I(2t − 3;t + 1;t − 3) với t ∈ R

Ta có khoảng cách từ I đến (P) là : d[I; (P)] =|2t − 3 + 2(t + 1) + 2(t − 3) + 7|√

1 + 22+ 22 = |2t|

(d2) đi qua điểm M(1; −1; 3) và có vecto chỉ phương là−→n2= (2; −2; 1).−IM→= (4 − 2t; −2 −t; 6 −t), [−IM;→ −→n

2] = (10 − 3t; 8; 6t − 4)

d[I; (d2)] =

[−→ IM;−→n

2]

|−→n2| =

p(10 − 3t)2+ 64 + (6t − 4)2

p

22+ (−2)2+ 1 =

√ 45t2− 108t + 180 3

d[I; (P)] = d[I; (d2)] ⇔ 45t2− 108t + 180 = 36t2⇔ t2− 12t + 20 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 10 Thay vào ta tìm được hai phương trình mặt cầu (S) là :

(x − 1)2+ (y − 3)2+ (z + 1)2= 16 hoặc (x − 17)2+ (y − 11)2+ (z − 7)2= 400

Câu 7b. Giải phương trình: log3(2x − 3) = log5(3x + 7)

Lời giải: (thienlonghoangde & thiencuong_96)

Ta đặt log3(2x − 3) = log5(3x + 7) = t Từ đó ta có hệ :

(

3t= 2x − 3 (1)

5t= 3x + 7 (2) Nhân 3 vào (1) và nhân 2 vào (2) và sau đó lấy hai pt mới trừ vế theo vế ta được:

3.3t+ 23 = 2.5t⇔ 3. 3

5

t

+23

5t = 2 ⇔3

2.

 3 5

t

+23

2 .

 1 5

t

= 1

Xét f (t) =3

2.

 3

5

t

+23

2 .

 1 5

t

f0(t) =3

2.

 3 5

t

ln 3 5

 +23

2 .

 1 5

t

ln 1 5



< 0 ∀t Vậy hàm số luôn nghịch biến Nhận thấy f (2) = 1 Vậy t = 2 là nghiệm của phương trình trên Suy ra x = 6

Cảm ơn ( hynagacu@gmail.com ) đã gửi tới  www.laisac.page.tl

3Cn+13 − 3A2= 52(n − 1)

Lời giải: (thienlonghoangde)

Từ đẳng thức đề cho dễ dàng suy :

(n + 1)!

3!.(n − 2)!− 3n!

(n... trình: log3(2x − 3) = log5(3x + 7)

Lời giải: (thienlonghoangde & thiencuong_96)

Ta đặt log3(2x − 3) = log5(3x + 7) = t Từ...

2 Vậy GTNN P

√

2 x = y =1

2

Lời giải: (thienlonghoangde)

Ta có :

P2= x2(1 − y2) + y2(1