ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn TOÁN – Khối A-B-A1 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI pot

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.. PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh chỉ được làm một trong

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI Môn TOÁN – Khối A-B-A 1

Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề

I PHẦN CHUNG ( Cho tất cả thí sinh )

Câu I ( 2 điểm ) Cho hàm số : y x = 3− 3 x − 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A=2và MN=2 2

Câu II ( 2 điểm )

1) Giải phương trình : tan2x+ +(1 tan2x) (2 3sin− x) − =1 0

2) Giải hệ phương trình với ,x y∈¡







Câu III ( 1 điểm )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 2 1

( ) 1

x

x

−

=

− , trục hoành và tiếp tuyến của (C) tại

giao điểm (C) với trục tung

Câu IV ( 1 điểm ).

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu V ( 1 điểm )

Chứng mimh rằng vớia>0,b>0,c>0thì 1 1 1 1 1 1

3

II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B )

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa ( 2 điểm )

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( − 2;1 , ) điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox

( x C ≥0) góc ·BAC=30o; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 Xác định toạ độ điểm

A và C

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) P x : + 2 y z − + = 1 0 và điểm A(1;1;2) Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz) lập phương trình mặt phẳng ( )α .qua d và cách A một khoảng bằng 1.

Câu VIIa ( 1 điểm )

z i

− −

= + là một số thực.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb ( 2 điểm )

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) C x : 2+ y2− 6 x + 2 y + = 6 0 và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C) Lập phương trình của d sao cho

AB AC+ nhỏ nhất

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+y2+ −z2 2x−4y−2z=0 cắt các tia

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu VIIb ( 1 điểm ).

Tìm tất các số thưcα để bất phương trình :log2x+log 2 2 osx + c α≤0 có nghiệm x > 1

Hết

Họ và Tên : Số báo danh

CÂU ĐÁP ÁN ( GỒM 4 TRANG) ĐIỂM

Câu I

3 3 1

y x = − x −

Tập xác định: D = ¡

Đạo hàm: y ¢ = 3 x2- 3 Cho y ¢ = 0 Û 3 x2- 3 = 0 Û x = 1 , x = - 1 Giới hạn: lim ; lim

Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ -; 1); (1;+ ¥ , NB trên khoảng ) ( 1;1)

-Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1tại xCD = - 1, đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT = 1

BBT

Điểm uốn: I ( 0; 1 - ) vì:

Giao điểm với trục hoành:không có

nghiệm nguyên Bảng giá trị

x - 1 0 1 2

y 1 - 1 -3 1

Đồ thị hàm số: hình vẽ bên

0,25

0,25

0,25

0,25

.2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A=2và MN=2 2

Nhận xét: nếu đường thẳng d qua A không có hệ số góc tức x = 2 cắt (C) nhiếu nhất 1 điểm

không thỏa yêu cầu bài toán Do đó d phải có hệ số góc

Vì x A=2nên y A=1suy ra phương trình d có dạng y k x= ( − +2) 1

Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:

3

2

2

2

x

=





Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N ⇔(*)có 2 nghiệm phân biệt, x x1, 2 ≠2 ;MN=2 2 Theo vi ét x1,+x2= −2; x x1 2= −1 k Ta có :

2 1 2 1

8 MN= = x −x + x −x k ( 2 ) ( )2 ( 2 ) ( )2

Hay 8=(k2+1 4 4 1) ( − ( −k) ) ⇔k3+ − =k 2 0⇔ =k 1 (thoả yêu càu bài toán )

Vậy d có pt là : y x= −1

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu II

Điều kiện cosx≠0 Phương trình viết lại

2 2

1 tan

2 3sin

1 tan

x x

x

−

+

0,25 0,25

⇔ −2 3sinx c= os2x ⇔2sin2x−3sinx+ =1 0 sin 1 ;sin 1

2

so sánh đ/k chọn sin 1

2

0,25 0,25

2) Giải hệ phương trình với ,x y∈¡

( ) ( )







Từ phương trình (2) ta có đ/k : x y y≥ , ≥0

Xét hàm số f t( ) = t2+ −1 t t− 2liên tuc [0;+∞)

có /( )

2

1 2 2 1

t

t t

2 1

t t

=  − ÷− < ∀ >

+

Suy ra hàm số nghịch biến ( 0; +∞ ) nên f y ( ) = f x y ( − ⇔ = ) x 2 y

Thay vào (1) ta có (y−2) (x2− + = ⇔ =x 1) 0 y 2 ⇒ =x 4 Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2)

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu III

( ) 1

x

x

−

=

− , trục hoành, và tiếp tuyến của (C)

tại giao điểm (C) với trục tung

vết được pt tt : y= − +x 1

nêu được miếng lấy diện tích

1

1 2

1 0

2

2 1

1

x

x

−

=  − + −  + − +

−

1 0

2

ln 1

= − − − −  + − + 

= ln 2 1

2

−

0,25 0,25

0,25

0,25

Câu IV

(1 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Ta có diện tích đáy hình vuông ABCD : S =4 a 2

Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam giác SAB đều nên đường cao

2 3

3 2

a

Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao

SF = a

Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì EF2=SE2+SF2)

Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H

Ta có SH vuông góc mp(ABCD)

SH = SE +SF = a +a = a

2

a SH

0,25

0,25

0,25

0,25

CMR với a > 0; b> 0; c > 0 thì

3

+ Với a > 0, b > 0, c >0 ta có: a 2 b + = a + 2 2b ≤ ( 1 2 a 2b + ) ( + ) = 3 a 2b ( + ) (1)

a + b ≥ a 2 b

+ (2) Từ (1) và (2) ta có:

a + b ≥ a 2b

+ (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0)

3

dấu " "= xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

0,25 0,25 0,25 0,25

1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( − 2;1 , ) điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc trục hoành ( x C ≥0) góc ·BAC=30o; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 Xác định toạ độ

A và C

Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có BC=2 sin 30R o = 5

⇒ = ⇔ + + − = ⇔ = c 0 , c = − 4 ( loai )

Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều Nên BA =2 BH do đó HA = 2 3 ⇒A(0;1 2 3)+ hoặc (0;1 2 3)A −

Vậy có (0;1 2 3)A − , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc (0;1 2 3) A + , B(-2 ;1) , C(0 ;0)

0,25 0,25 0,25 0,25

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) P x : + 2 y z − + = 1 0 và điểm A(1;1;2) Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz) Lập phương trình mặt phẳng ( )α .qua d và cách A một khoảng bằng 1.

Câu VIa

(2 điểm)

Phương trình mp(Oyz): x = 0 ; và ) (0;0;1), B C(0, 1; 1)− − thuộc d , phương trình mặt phẳng ( )α

có dạng : ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2≠0) Do ( )α đi qua B, C nên :

0

− − + =  = −

  pt ( )α là ax + (- 2c)y +cz - c = 0

0,25 0,25

2 2 2

2 2

4

d A

2 2 2

5

⇔ − = + ⇔ − =ac 2c2

Nếu c = 0, chọn a = 1 ⇒ =b 0,d =0 ⇒( )α ⇒ pt( )α x = 0 Nếu a= - 2c chọn c = 1 thì a= - 2d = -1 , b= - 2 khi đó pt( )α : - 2x - 2y + z - 1 = 0

0,25 0,25

z i

− −

= + là một số thưc

2 ( 3) w

− + −

( 2) ( 3)( 1) ( 3) ( 2)( 1)

( 1)

=

+ + là số thưc khi và chỉ khi :

Vậy tập hợp đó là đường thẳng 2x y− − =1 0 trừ điểm M(0 ; - 1)

0,25 0,25 0,25

0,25

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2

C x + y − x + y + = và điểm A(1;3) ; Gọi B, C là giao của đường thẳng d đi qua A với (C).Lập phương trình d sao cho AB AC+ nhỏ nhất Tâm đường tròn (3; 1),I − R=2;IA=2 5=d I A( , )> =R 2 nên điểm A nằm ngoài (C)

Ta có P A C/( ) =AB.AC = d 2- - R 2 = 16 ; và AB AC+ ≥2 AB AC =2.4 8= dấu “=”xẩy ra ⇔AB

= AC = 4 Khi đó d là tiếp tuyến của (C), d có dạng (a x− +1) b y( − =3) 0

3 0

Từ đó ta có

2 2

( , ) 2 a b a a 2

d I d

− − −

+

4 3

b

=



⇔ = ⇔  = chọn 0

1

b a

=



 =



4 3

b a

=



∨  =

 Vậy phương trình d : x=1 , 3x+4y− =15 0

0,25 0,25 0,25 0,25

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+y2+ −z2 2x−4y−2z=0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(S) : ( ) (2 ) (2 )2

x− + y− + −z = có tâm w(1;2;1) bán kính R = 6 (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) Gọi I tâm đường tròn (A,B,C) thì I

giao điểm của d đi qua w và vuông góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC)

Giải hệ 2x y+ +2z− =4 0 và

1 2 2

1 2

= +



 = +



 = +



ta được 2

9

t=− suy ra

5 16 5 ( ; ; )

9 9 9

I và r = IA =

 −  +  +  =

0,25 0,25 0,25

0,25

Câu VIIb.

với 1x > ; Bpt tương đương với 2

2

1

log

mặt khác log2x>0 nên theo Côsi ta có: 2

2

1

log

x

x

+ ≥ (2)

Từ (1) và (2) ta có ∀ x 1> : bpt ⇔VT = VP = 2

cosα 1 α π k2 (π k )

⇔ = − ⇔ = + ∈¢ khi đó bất phương trình có nghiệm

2

log x = 1 ⇔ =x 2 Vậy α π= +k2 (π k∈¢)

0,25 0,25 0,25

0,25