ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN TOÁN KHỐI A,B
Trang 1
Môn: Toán; Khối A,B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHAN CHUNG CHO TAT CA THi SINH (7,0 điểm)
Cau I (2,0 điểm) Cho hàm số ¿ = #Ở — 6+2 + 3(m + 1)# +m— 3 (Ới„) , m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Œ„) khi m = 2
2 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C„„) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
tam giác O4 vuông tại Ó, trong đó Ó là gốc tọa độ
Câu TT (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 4ecos2 z(1 + sinz) + 2/3 cos + eos2z = 1 + 2sin z
#V⁄2+6+vdz? + 3= Tzụ
zvz2+3+v/2+06=2+z+2+Ÿ
3 sin x + In(1 + sina) cos? x Cau III (1,0 điểm) Tính tích phân 7 = / dz
0 Cau IV (1,0 diém) Cho lang tru ABC.A, B,C, c6 day ABC la tam gidc vuong tai A, AB = a, BC = 2a Hình chiếu vuông góc của điểm 4i trên mặt phẳng (AC) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng (BCŒ¡B)) và (ABC) bằng 60° Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thang AA; va BC theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho z,, z là các sộ thực dương Tìm giá igi ion nhất của biểu thức
z2+g2+z2+4_ (+w)v(+ 22)(w + 22)
PHAN RIENG (3,0 diém): Thi sinh chi duoc lam mét trong hai phan (phan A hodc phan B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VTIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oz, cho hai đường thẳng dị : 3z — 4 — 8 = 0,ds : 4z + 3 — 19 = 0
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thắng dị và dạ, đồng thời cắt đường thang
A : 22 —y—2=0 tai hai diém A, B sao cho AB = 25
2 Trong không gian với hệ toa d6 Oxyz, cho hai diém A(2;—2;1), B(—2;3;4) vA mat cau (9) :
x? + (y—1)?4+ z2 = 9 Tim tọa độ điểm MỸ nằm trên mặt cầu (5) sao cho tam giác MAB vuông cân tai M
Cau VIIa (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên œ thỏa mãn CY, + 2C3,, + 30%, + + (n + 1)Œ#” = 1024(n +2)
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VTIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toa dd Oxy, cho đường trdn (C;) : (x + 2)? + (y — 4)? = 25 có tâm ï¡ và đường thang A : 3a — 2y — 7 = 0 Đường tròn (Œ») có bán kính bang V/10 c&t đường tròn (C1) tại hai điểm A và
B, tâm Tạ nằm trên đường thang A sao cho diện tích tứ giác AlạB bằng 15 Viết phương trình đường tròn (C2)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Ozz, cho đường thắng A : —" = ` = ¬ và mặt cầu
(9): (z—3)2+(g—1)2+ (z+ 1) = 25 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Ä⁄(2; 1; 3) song song đường thắng A va cắt mặt cầu (9) theo một đường tròn có bán kính bằng 4
Câu VTITb (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1-+¿V3)z-+|z| = 3 Tìm môđun của số phức = I+zP+z!9,
HET
Thí sinh không được sử dung tai liéu Can b6 coi thi khéng gidi thich gi thém
Trang 2
NGUOITHAY.VN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
DE THỊ THỨ ĐẠI HỌC NĂM 2013
(Đáp án — thang điểm gềm 06 trang)
i 1 (1,0 diém)
(2,0 điểm) | Khi m=2, ta có: y=x' — 6x7 +9x-1
® Lập xác đmh: /)= Ï3,
- Chiều biến thiên: #'=3xŸ—12r+9;y'=0@©©>x =1 hoặc v=3
Các khoảng đồng biển: (—; 1) va (3;++}, khoàng nghịch biển: (1:3)
- Giới hạn; lim =—øz: và lim =+a:,
© Dé thi:
0,25
ry
2 (1,0 diém)
| Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi A'>0<m<3 Œ)_ Ỉ
Gọi A(x,:y),8(v;;x;) Do 44,6 là hai diễm cực trị nên
J, =X) — 6x, +30m+ |) + —3
=(2m—]x, + 3m — Ì Tương tự: y; — (2m —6}x + 3m — I
[Theo định lý Viel, tacé: xịt =4 =mEEL CC CC CC 7 7
= xx, +(2m—6) xx, +(2m—6)(3m-1}(.x, +x, )-(3m-1) =0
> m+1=(Im—6Y \ ra (41) 4 4(2m — 6)(3m—1)+(3m—1}” =0 i \ AX Fry }
<>4m` +13m — Tâm + 62 = Ú 025
<> (m-2)(4m* +21m-31)-0
—21 £9937
©m-—2 hoặc m— (thỏa mãn (*)),
Trang 1/6
Trang 3
1T | 1 (1,0 diém)
(2.0 điểm) | Phương trình đã cho tương đường với:
2sin x(2cos” x 1) + 2V3 cosxeos 2x + 4eos” x—L— Ú, 0,23
© 2sin xcos2x I 23cosxeos2x I 3cos2x sin°x=0
= 2c0s2x( V3 cos.x +sin x} +(v3 cosx + sin x}( V3 cos.x —sin x) =0 0,25
ewan teens Se ween cent Neweweceeeeeeeees : cẩt He nrereeeeeeeeeeeeec lo TM, -45 -
3
=— +82
® 2cos2x+V3 cosx—sinx =0 <> cos2x=cos x-—
5 Vay phirong trinh cé nghiém: x= = | kayx= = tk2a;x= | a (ke)
+
2 (1;0 điểm)
Với x=Ú;y=0 hệ phương trình không thỏa mãn
Với x,y #0, biến đôi hệ phương trình:
x Nó
utl vei
%
vx +3
| =¿ x
"wes 1 =) 1: 0,25
v=) 1 +6 5 y =2
` ý
=
- ¬ (1) ( 2vi5 220)
Vậy hệ phương trình có 2 ây hệ phương eth, nghiệm: ( x: ') ={ lị— | :—' 1
Trang 2/6
Trang 4
[u=In(1+sinx) D | ty = OS Lư 008
Dat ; ar => |+sinx Tin 1+sin x'
c= fms)
j cos x |#- cos? x |v = tanx
x
Khi đó: & — tan x.In(I +sinx)p _ | sinx
vf
dy = 3 In
`
l+sinx
a
,
0,25
0,25
Vv
(1,0 diém)
v -
(1,0 diém)
Từ gia thuyết taco AC =VBC?— AB’ =ay3
Qua 4 về Ax! /BC,vé Hi 1 Ax tail
Do (4/4,)/ (BCC,B,) nén
=.H 1L A1
=|(/4).4BC) |= 41 =6
sin TAN —sin ACB off = AB
©mr-an.48_ a3 a _ a3 \
Do BCs !( AIA) nên ¿(4⁄4.B8C) = d[ BC.(A1A,) | = d[ C414) |=2d[H.( 41A ) Ì
Vẽ /& L A1, ta có: JIK 1 (A14) d[H,( A14.) ]= TK
Tam giác 47H vuông tại , HK - 41
HAH
\1H + AHP
-Áp dụng bất đăng thức Cô - Sỉ, ta có:
VW
=> HK = =F d(44.8C)=—
xy +z +4>zr+y) +z(z+2) >2(x+y+z+2)
(x+ ¥) y(x+2z)(y-2z) <(x +#)(x+y~42)=(8+3y)(xev+ 4z)<5(xvew+z}
Suy ra; ps— SP
Trang 3/6
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5
Đặt /=x+yv+z,/>0 Khi đó: Px ——
L dip 25 -<o<eeecee.eeeeseoeeeoeesSEDS o4 K2 QQ 2E QQQQ DĐ 2Q 2222222222222 22112211122 feces
Xét hàm số f=, với (> 0
(#42) †? (t+2
_Bàngbiếnthiền CC 7C 7 7 7 7 7õ
3
0,25
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P< fs Dấu bằng xảy ra khi x= y=z=2
` 4
Vậy giá trị lớn nhất cla P bằng 5 , Khi x—y=z=2
(2,0 diém) Goi I{x;+} là tọa độ tầm và # là bán kính đường tròn (C)
Do dudng thang A cat duéng tron (C) tai 4,8 voi AB= 2⁄5 nên ta có: 025
d(T Ay=VR? 5 PEAY AI ly ÍR`—5 (®)
Đường tròn (C) tiếp xúc với d.,d, khi:
3x-4y-8=4(4x-3y-19) J; mm
2
T~=
fây phương trình đường tròn (€) là:
" > v ể 2
(C):(x 13] t(y 2} =25 hoặc C):{ x L 3Ì =
2 (1,0 điểm)
Gọi 3f(x;y;z)—= AM =(vx—2;y~2;zT—l),BM =(x+~2; g—3;z— 4)
Do tam giác MAB vuông cân tại 4ƒ nên ta có:
<> > ? v3 "
|4M= 8M te 2} +(y +2) 4+ (2-1) =(44- 2) (9-3) + (2-4) x+y? tz°-y-S52-6-0 (1)
>
Mặc khác Af <(S) tacé: x +y° +2° -2y-8=0 (3)
Trang 4/6
Trang 6
Khay x=7z- Š và —Šz—2 vào Phương trình (3), ta được: 75z? —100z +25 ~0 3 z~—
`
hoặc 2-5 Vậy M(2;3;I) hoặc uf —— nh
3°73}
Vila
(1,0 diém) Xét khai triển nhị thie Niu — ton cua (1 „nh và (l—x)”” ta có: (l+x)* = = Ge Hx), 49°C? + OR"
(I—x)”=ŒŸ, T=xCŒ),—x°C§, + +x”C;"
=(I+ xì” $q - es =2(C, +xCj,~xŸCš, + © x”"Cặy )
Nhân hai về với x” ta được:
et xy" 4.7 (1 — xy? = 2(x?Œ, +3!CŒ7, + x5Cấy + + x29 2C }
Lay dao ham hai về ta được:
=4 xŒ;,+2xÌ Cổ, 3x ÌCj, + +(n +): er? | Thay x=l vào ta có:
2?"(n+2)=4| Cý, + 2C, +3Œ3, + +(m+ 1) Cây |
©2?'(n+2)= 4.1024(n+2) 2?” =2 ©n=6 Vậy n=6
0,25
VIb
(2,0 diém)
1 (1,0 điểm)
Đường tròn (C¡) có tâm /( 2:4), bản kính R, =5
cu
Do 7, nằm trên đường thằng A nên 77, >Z(7,,A)— (*)
Dat 1) Al, =© Ta cd: 25; 4 = Sy ag 4l.AI, ee
<> 5V10 sing =15 © sing =~ > 3 x1
e = V6i cos@ =——, theo dinh ly ham số côsin ta có: Ta ,
I,’ = Al) + Al, —2Al,.Al,.cosp =25 > 1,1, =5 (khéng thoa (*))
© ‘Tuong tu, voi cas@ g ? =—-——= ta có: Ff, =3v5 (thoa (*)), Tio ( )
iy
Vay (Cy): (x=1): +(y +2) =10 hoặc (C,): (x
13}
2 (1,0 điểm)
0,25
0,25
Duong thang A cé vécto chi phuong a =(2;-2;-1)
Mat cầu (S$) có tâm 11331; =l} và bản kính # = Š
Gọi J7(x;v;z) là hình chiếu vuông óc của điềm 7 trên mặt phăng (?)
_ Suy ra: /H = V5` - 4` =3;/H =(x~3;y— l;z+1Ì,MH =(x—2;w— l;z—3)
“TH La 2(x~3]~2(w#~1)~1(z +1)=0
Tack {Hi Mie (x= 3)(x-2)4(y-1) +(241)(2-3)-0
JH=3 (x 3} tÍy 1 +(z4 ly =9
Trang 5/6
0.25
Trang 7
[= 2yp-z-5=0 [2#-2¥-2-5-0
| ty? -2°-6x-2y+22+2-0 |x? = y? +28 6x-2y-22042"0
1
rea: 9)
5
[seo
Mặt phẳng (P) đi qua ă và nhận HỈ làm véctơ pháp tuyền, ta có: 0.25
a0 iss Gọi z—ø+ bi (a,bcE) Ta co: (1+i8) 2+} na (1+ 13 (eRe vo” =3
ị b+a3 =0 |b =-av/3 (2)
( 3
3-4a<0 as"
g@=—>Vqd=—-
` éẻ 7 `" h7
Suy ra: 2 = _N3 _ 4 SỈ — +isin| —"
2 ` J ` 3J
_ 1 #2 1 0â ,
Vay |w|= =2
0,25
—— HETS——
Ghi chú: Kỳ thi lần 2 sẽ được tổ chức vào ngày chủ nhật 2/12/2012
Trang 6/6
