Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC... Tiếp tuyến chung ngoài TT’ có tiếp điểm với đường tròn O ở T, với đường tròn O’ ở T’.. Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường thẳng TT’ ở
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR
-KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 - 2007
Môn : Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề bài :
I.Phần trắc nghiệm : (6 điểm)
Thí sinh chọn phương án trả lời đúng nhất trong các câu sau đây :
Câu 1 :
Biểu thức
+
có giá trị là số :
(A) vô tỉ (B) hữu tỉ (C) số nguyên (D) số thập phân
Câu 2 :
10 4 10 4
M = a − a+ , với 2 5
5 2
a= + thì M có giá trị là :
(A) 3 8 2 5
5 2
+
(B) 17 (C) 25 (D) 3 8 2 5
5 2
−
(E) -24
Câu 3 :
1
x
P
x
+
=
− , tất cả các giá trị nguyên cuả x để P nhận những giá trị nguyên là :
(A) x = 1; 2; 3 (B) x = 0; 4; 9 (C) x = 0; 2; 3
(D) x = 0; 4; -1 (E) Không có câu nào trong các câu trên nêu đủ các giá trị x cần tìm
Câu 4 :
Cho các đường thẳng :
2x – y + 3 = 0, x+ y + 3 = 0, ax – y – 1 = 0 Để các đường thẳng này đồng quy thì :
(A) a = 1 (B) a = 2 (C) a = 3 (D) a = 4 (E) cả A, B, C, D đều sai
Câu 5 :
Cho tam giác ABC, biết góc BCA = 1100, góc CAB = 350,
BC = 4 cm Khi đó độ dài đường cao CH (H thuộc AB) là:
(A) 3cm (B) 5,123cm (C) 3,759cm
(D) 4,123cm (E) Một kết quả khác
Câu 6 :
Cho tam giác ABC vuông cân nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có tỉ số R r bằng :
(A) 1+ 2 (B) 2 2
2
+ (C) 2 1
2
− (D) 1 2
2
+ (E) 2 2( − 2)
Trang 2II.Phần tự luận : (14 điểm)
Bài 1 :
Cho x = 310 6 3( 3 1)
6 2 5 5
Tính giá trị cuả biểu thức P = ( ( )2006)2007
3
4 1
x − x+
Bài 2 :
nguyên
Bài 3 :
Cho hai nửa đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A Tiếp tuyến chung ngoài TT’ có tiếp điểm với đường tròn (O) ở T, với đường tròn (O’) ở T’ Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường thẳng TT’ ở S Tiếp tuyến chung trong tại A cuả hai đường tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính cuả hai đường tròn (O) và (O’) b) Chứng minh rằng : SO SO’ = SM2 , ST ST’ = SA2
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp tam giác OMO’ tiếp xúc với SM tại M
Bài 4 :
Cho tam giác ABC P là điểm nằm trên đường thẳng BC, trên tia đối cuả tia AP lấy điểm D sao cho AD= BC2 Gọi E và F theo thứ tự cuả DB và DC Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố định khi P di động trên BC
Bài 5 : Giải hệ phương trình
2 2
3 3
1 3
x y xy
Trang 3
-PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR
-HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Toán lớp 9
I.Phần trắc nghiệm : (6 điểm)
Mỗi ý đúng : 1 điểm
Câu 1 : C Câu 4 : E
Câu 2 : C Câu 5 : C
Câu 3 : B Câu 6 : A
II.Phần tự luận : (14 điểm)
Bài 1 : (2 điểm)
Tính giá trị cuả biểu thức P = ( ( )2006)2007
3 4 1
x − x+
Ta có x = ( )( )
3 3
2
10 6 3 3 1
5 1 5
+ − (1 điểm)
3
10 6 3 6 3 10
8 2 1
= = (0,5 điểm)
Suy ra x3 – 4x + 1 = 1
Suy ra P = ( )2006 2007
1 =1 (0,5 điểm)
Bài 2 : (2 điểm)
Aùp dụng hằng đẳng thức (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a - b)
(1 điểm)
6 3
27
P = − P (0,5 điểm)
⇔ (P – 1).(P2 + P + 6) = 0
⇔ P = 1 (vì P2 + P + 6 > 0)
Vậy P là một số nguyên (0,5 điểm)
Trang 4Bài 3 : (4 điểm)
+ Hình vẽ, GT; KL : (0,5 điểm)
a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác cuả hai góc kề bù AMT và AMT’ nên góc OMO’ = 900 (0,5 điểm)
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA ⊥ OO’ nên MA2 = OA.OA’, suy ra
MA= OA OA '= R R ' (0,5 điểm)
b) + Ta có góc MOA = góc AMO’ ( vì cùng phụ với góc AMO)
góc AMO’ = góc O’MT’ ⇒ góc MOA = góc O’MT’
⇒ ∆ SO’M ∼ ∆ SMO (g – g)
⇒ SO SM'=SM SO hay SO.SO’ = SM2 (0,5 điểm)
+ ∆ MAT cân ở M nên góc MAT = góc ATM
góc MAT = góc O’AT’ (cùng phụ với góc MAT’)
⇒ góc ATS = góc SAT’
⇒ ∆ SAT ∼ ∆ ST’A (g – g)
⇒ ST SA= ST SA'hay ST.ST’ = SA2 (0,5 điểm)
c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ hơn nữa OO’ ⊥ MA tại A, do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc
với OO’ ở A (0,75 điểm)
Gọi M’ là trung điểm của OO’ ⇒ MM’ // OT
⇒ SM ⊥ MM’ ở M Mà MM’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ ⇒ đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ tiếp xúc với SM ở M (0,75 điểm)
M '
S
M
T'
A T
Trang 5Bài 4 : (3 điểm)
Hình vẽ, GT KL : 0,5 điểm
Gọi M là trung điểm cuả BC
+ Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC Suy ra DM và EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường
(0,5 điểm) Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định (0,5 điểm)
+ OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên :
OI = 12AD = 14BC (giả thiết) (1) (0,5 điểm)
+ EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF = 12 BC (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra OI = 12EF Suy ra I thuộc đường tròn (O; 14BC)
(0,5 điểm)
Vậy đường tròn đường kính EF (O; 14BC) luôn đi qua điểm cố định I khi
P thay đổi trên đường thẳng BC (0,5 điểm)
Bài 5 : (3 điểm)
Do x2 + y2 + xy = 1 nên hệ phương trình đã cho tương đương với :
2 2
1 3
x y xy
(1 điểm)
Phương trình x3+y3 = +(x 3y x) ( 2+y2+xy)
⇔ x3 + y3 = x3 + xy2 + x2y + 3x2y + 3y3 + 3xy2
⇔ 2y3 + 4xy2 + 4x2y = 0 ⇔ 2y(y2 + 2xy + 2x2) = 0
0
y
=
+ + =
(0,5 điểm)
• Với y = 0, thay vào phương trình thứ nhất cuả hệ ta được x = ±1 Hệ có hai nghiệm =x y=10 và =x y= −01 (0,5 điểm)
I
E
D
M
A
P
Trang 6• Với 2 2
y + xy+ x = ⇔ (x + y)2 + x2 = 0 Vì ( )2
2
0 0
x y x
≥
Dấu “=” xảy
ra ⇔ x = y = 0 (không thoả mãn) vì 2 2
1
x +y +xy= (0,5 điểm)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là =x y=10 và =x y= −01 (0,5 điểm)
-Ghi chú :
+ Học sinh làm bằng các cách giải khác nhưng nếu lập luận chặt chẽ và có kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa tương ứng với điểm của bài đó.
+ Trong quá trình chấm, giám khảo có thể chia nhỏ điểm thành phần cuả từng bài Điểm nhỏ nhất là 0,25.
