Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 36

Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN.. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD... Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12M«n: To¸n... thuộc các cạnh của tứ diện.

đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán - Bảng A

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho phơng trình:

m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1

2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5

;

2 2

x    

Bài 2:

1) Giải phơng trình (Sin)x + (tg)x = ()x

(với x là tham số, 0 < x <

2



) 2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ) + 2 4 1

( 3) log

x Sina



 

0, 4

 

 

  Chứng minh:

Cos  Cos  Cos  Cosk A  Cosk B  Cosk C 













 







 





1 1

1

1

a ; 0

1

; ; voi

1 (i=1, 2 )

i

i i

i

b

a

b

Chứng minh (a2006) + + b2006) + )2 > 16) + 039

Bài 5: Cho tứ diện ABCD

1) Gọi i (i= 1, 2, …, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l, 6) + ) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lợt là các cạnh của tứ diện

Chứng minh: 







6) + 1

2

i i

2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại

M và cắt DC tại N Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và

DAMN Chứng minh:

1

9  2

V V

3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: Sa, Sb, Sc, Sd I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh:

Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12

M«n: To¸n B¶ng A

Víi m =1; Ph¬ng tr×nh   

 2

0

Cosx Cos x Cosx

1



























x=

1 2

2

k Cosx

2

Phơng trình   

 2

0

Cosx Cos x Cosx m

* Cosx =0 Có 2 nghiệm:  

 ; x=3

x

* Ycbt  4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0



 

   

(-1 1) ( ) 4 2 3

Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn:     



2

1 0 1 : (a) 0<t<1=t (b)

* Trờng hợp (b) loại (vì nếu t2=1 thì t1<0)

* Trờng hợp (a)     





( 1) (0) 0

1< m < 3 (0) (1) 0

f f

Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3

0,5

0,5

0,5

0,5

     

Chứng minh:   

   

0, 2 

u có Sinu < u < tgu

1 : 0,

2

Sin tg

Khi đó











x =0: VT =2 > VP

x >0: VT > VP

x <0; VT> VP

 Vậy phơng trình vô nghiệm

0,5 0,5

0,5

0,5

Đặt Sina -1 =m (-2 m  0)

ta luôn có: xR thì:    

 



2

x 4 6) + 2

2 x-m 2 2

x

nên TXĐ của phơng trình là R

( 3) log ( 4 6) + ) 3 log (2 2)

x m

0,5

0,25

Xét hàm số: f(t) =  3 log ( ) : 2; +  t  

là hàm số đồng biến với x[2; +)

nên phơng trình  x2 + 4x +6) + = 2 x-m +2 (*)

    

 

   



2

2

2 2 4 0 : (1) 6) + 4 2 0 : (2)

Theo yêu cầu bài toán  (*) có 3 nghiệm phân biệt 















(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x

(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x

(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau











 











3 2 5 2 2

m m m

(loại)

Vậy theo yêu cầu bài toán:































  



a=- 2 6) + 3

- ' 2 2

6) +

1 2

- "2 2

k Sina

Sina

Có 3 họ giá trị của a cần tìm

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

Mọi  ABC có       0    1

Cos (1)

mà:0    3   1 3   

nên:    3    0

Cosk B Cos B (2)

Ta có:

Chứng minh tơng tự có:

0,5

0,5

0,5

và 1

Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)

Dấu "=" khi A=B = C=

3



ABC đều

0,5

Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l.)

Thì

2 2

2 2

2

1 1

S = (a + b ) = : (i=1,2, )

1 1

a b

a b

a b

nên ta có: (a1 + b1)2 > 0

(a2 +b2)2 > 0

(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8

…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l

(a2006) + +b2006) + )2 > (a2005 + b2005)2 + 8

Cộng các bđt trên, ta có:

(a2006) + +b2006) + )2 > 8 2005 = 16) + 040 > 16) + 039

0,5 0,5

0,5 0,5

C

A

I

A1 D1

M

Hạ IA1  (BCD); ID1  (ABC)

IB1  (ACD); IC1  (ABD)

Dựng A1M  BC D M1 BC

IM BC





 





nên 

A MD   (Tơng tự với 2…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l6) + )

Ta có:

2

2

6

i i=1

0

Cos 2 : (dpcm)

IA IB IC ID

r IA IB IC ID

r r Cos Cos Cos



   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

1,0

1,0

1,0

G

A'

A

B

C

D

O M

N









DAMN

ABCD

A' lµ träng t©m BCD Gäi:

O lµ trung ®iÓm BC

§Æt: vµ

V

V

2 ( ') 2

T ong tù

DM DN DA

xy

x

dt DNA

dt DBC









 



: (b)

Tõ (a), (b) suy ra:

y(3x-1) =x: (x ) y=

1

x 0 va x

1 3

x 2 1

T ong tù, suy ra: ; 1

2 V

VËy:

y

dt DBC

xy

x

x y

 







2 1

2

1 ( ) : ;1

Cã: f'(x) = =0 x=

x

x x x

vµ:

2

2 3

1

f(x) 1

2

4 9

1 2

4 V 1 1

0,5

0,5

0,5

0,5

I

P' D

A

B

C M'

M P

N'

N

Gọi











M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)

N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)

P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)

vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l thuộc các cạnh của tứ diện

Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên:

d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]

điểm M đoạn BC; nên:                             

.

c b

S

S

( ) : (1)

Chứng minh tơng tự:

( ) : (2)

Mặt khác: I  MM' = (AMD)  (BCM')

nên các vecto   

; '; ';

Vậy gọi vecto:



       

( a b c. d )

v S IA S IB S IC S ID

thì



( a b) ( c d) ')

v S S IM S S IM song song với 

'

MM

Chứng minh tơng tự:  

// '

v NN và  v PP// '

Nhng 

'

MM ; 

'

NN ; 

';

PP không đồng phẳng nên: v0  (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

Chú ý:

1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5)

2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.