Chuyên đề bất đẳng thức

Công thức, bất đẳng thức giúp các bạn nắm chắc kiến thức chuyên sâu bất đẳng thức, ôn luyện kỳ thi học sinh giỏi, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và chuyên sâu ngành toán học

Trang 1

LHTN - Tr ườ ng THPT Chyên ND - Tài li u lý thuy t b t đ ng th c ệ ế ấ ẳ ứ Giáo trình chuyên sâu - B i d ồ ưỡ ng HSG

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC & CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phần I: Kiến thức cần nhớ:

A Vấn đề chung:

Khái niệm – Định nghĩa – Lý thuyết:

- Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng

+ Ký hiệu a < b có nghĩa là a nhỏ hơn b

+ Ký hiệu a > b có nghĩa là a lớn hơn b

+ Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

a ≤ b có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b

a ≥ b có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b

≥

a a có nghĩa là |a| lớn hơn hoặc bằng a

- Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác

+ Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều

- Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến Sau đây

ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó

- Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai

vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm

- Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là

- Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức

Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng Đó là bài toán giải bất phương trình Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến Đó gọi là tìm cực trị

Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức

- Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng

- Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng

- Điều đó có nghĩa là:

+ Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và

f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều)

f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều)

+ Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b) và

f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) < f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)

f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo chiều)

Kiểu ký hiệu ghép nối (Bất đẳng thức kép)

Trang 2

- Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c và do tính chất bắc cầu ta suy ra a < c Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia

đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không Nhưng cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e

- Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1 ≤a2 ≤ ≤an có nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1,2, ,n-1 Theo tính chất bắc cầu, điều này tương đương với ai≤aj với mọi 1≤i≤j≤n

- Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau Cho ví dụ, a < b > c ≤ d có nghĩa là a < b, b > c và c ≤d Thường trong toán học, người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ

như Python cho phép dùng ký hiệu này

I Định nghĩa:







≤

−

⇔

≥

0 B A

B

A

0 B A

B

A

II Tính chất:

1 a > b và b > c ⇒ a > c (Tính chất bắc cầu)

2 a > b ⇔ a + c > b + c (Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)

3 a > b 





<

>

⇔

bc ac

0) (c

<

>

và ⇔ (Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)

4 a > b ⇔ b < a

III Hệ quả:

1 a > b và c > d ⇒ a + c > b + d

2 a + c > b ⇔ a > b - c

3 a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ac > bd

4 a > b ≥ 0 và n∈N* ⇒ an > bn

5 a > b ⇒ an > bn (n: lẻ)

6 a > b ⇒an > bn (n: chẵn)

7 m > n > 0 và A > 1 ⇒ Am > An

8 m > n > 0 và 0 < A < 1 ⇒ Am < An

9 a > b ≥ 0 ⇔ a > b

10 a > b ⇔ 3a >3 b

11 a < b và a.b > 0 ⇒

b

1 a

1>

12 a+ab>a+ab+c

13

c b

c a b

a 1

b

a

+

>

⇒

>

Trang 3

14

d

c d b

c a b

a d

c

b

+

>

⇒

>

15

c b

c a b

a 1

b

a

+

<

⇒

<

16 0 < a < b và 0 < c < d ⇒0 < ac < bd

IV Một số hằng bất đẳng thức:

1 a2 ≥ 0 với mọi a (Dấu = xảy ra khi a = 0)

2 an ≥ 0 với mọi a ( Dấu = xảy ra khi a = 0 )

3 a ≥ 0 với mọi a (dấu = xảy ra khi a = 0 )

4 -a ≤ a ≤ a

5 a+b ≥ a +b ( dấu = xảy ra khi a.b > 0)

6 a−b ≤ a − b( dấu = xảy ra khi a.b < 0)

V Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

1 - a ≤ a ≤ a a∈R

2 x < a ⇔ -a < x < a (a > 0)

3 x > a ⇔ 





>−

<

a x

(a > 0)

4 a −b ≤ a+b ≤ a + b (a,b∈R)

* Một số bất đẳng thức nhỏ khác:

1 Bất đẳng thức tam giác:

|b-c| < a < b + c

|a-c| < b < a + c

|a-b| < c < b + a

a ≥ b ≥ c ↔ A ≥ B ≥ C ↔ sinA ≥ sinB ≥ sinC ↔ cosA ≤ cosB ≤ cosC

2 Bất đẳng thức vector:

b a

b

a + ≥ + Dấu “=” xảy ra khi a↑↑ b

b

a

b

a ≥ Dấu “=” xảy ra khi a||b

VI Bất đẳng thức AM - DM (Trung bình cộng & Trung bình nhân):

1 Đối với hai số không âm:

- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có: a + b≥ 2 ab

- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b

2 Đối với ba số không âm:

- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:

3

c b

abc

≥

- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b = c

3 Hệ quả:

- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Trang 4

- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất và chỉ khi hai

số đó bằng nhau

4 Ứng dụng:

- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Phần II: Chứng minh bất đẳng thức:

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

1 Để chứng minh bất đẳng thức f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k) đối với tập các giá trị của các chữa

a, b,…, k bằng các định nghĩa ta tực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập hiệu f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k)

Bước 2: Chứng minh hiệu trên tương đương với các giá trị đã cho của a, b,…, k.

2 Tương tự, kĩ thật này áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức:

f ≥ g, f < g, f ≤ g

I Phương pháp dùng định nghĩa:

1 Để chứng minh a > b Ta chứng minh a - b > 0

2 Tương tự, kĩ thuật này áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức:

a < b ; a ≤ b ; a > b

3 Chú ý đến bất đẳng thức x2 > 0, x∈R

*Bước làm:

Bước 1: Ta xét hiệu: H = a - b

Bước 2: Biến đổi: H = (c + d)2 hoặc H = (c + d)2 + + (e + f)2

Bước 3: Kết luận a > b

II

P h ư ơng pháp d ùng phép biến đổi t ư ơng đ ư ơng :

1

L ư u ý:

- Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng

III Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc:

*Giới thiệu một số bất đẳng thức:

1 Bất đẳng thức Bunyakovsky

2 Bất đẳng thức Azuma

3 Bất đẳng thức Bernoulli

4 Bất đằng thức Boole

5 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

6 Bất đẳng thức cộng Chebyshev

7 Bất đẳng thức Chernoff

8 Bất đẳng thức Cramer-Rao

9 Bất đẳng thức Hoeffding

10 Bất đẳng thức Holder

11 Bất đẳng thức Jensen

12 Bất đẳng thức Markov

13 Bất đẳng thức Minkowski

14 Bất đẳng thức Nesbitt

Trang 5

15 Bất đẳng thức Pedoe

16 Bất đẳng thức tam giác

17 Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

1 Một số bất đẳng thức hay dùng:

a Các bất đẳng thức phụ:

x2 + y2 ≥ 2xy

x2 + y2 ≥ xy (dấu “=” xảy ra khi x = y = 0)

(x + y)2 ≥ 4xy

2

a

b

a + ≥

b Bất đẳng thức Cô-si (Bất đẳng thức AM - GM):

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

*Đối với hai số không âm:

- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có: a + b ≥ 2 ab

- Dấu bằng xảy ra khi a = b

*Đối với ba số không âm:

- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:

3

c b

abc

≥

- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b = c

*Đối với n số không âm:

na a a n

a

n 2 1

n 2

- Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = a3 = … = an

Chú ý:

* Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2, , xn ≥ 0 và các hệ số α1, α2, , αn > 0

- Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ

số, như sau:

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

- Với các loại trung bình khác

Đẳng thức khi và chỉ khi

c Bất đẳng thức Bunhiacopski:

*Đối với hai cặp số thực:

- Với hai cặp số thực: (a,b) và (x,y) ta có:

(ax + by)2 ≥ (a2 + b2)(x2 + y2)

- Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ay - bx)² ≥ 0

Trang 6

- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: ay = bx

Chú ý:

- Khi xy khác 0, điều kiện ay = bx còn được viết dưới dạng xa = yb

*Đối với hai bộ ba số thực:

- Với hai bộ ba số thực: (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) ta có:

(a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≤ (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32)

- Nếu b1b2b3 khác 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

3

3 2

2 1

1

b

a b

a

=

*Đối với n bộ số thực, mỗi bộ số có n số không âm:

(a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn)2 ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2)(b12 + b22 + b32 + + bn2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số bi nào đó (i = 1, 2, 3, , n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0

d Bất đẳng thức Trê-bư-sép:

*Đối với 2 dãy số, mỗi dãy có 3 số:

- Nếu

3

C B A 3

c b a 3

cC bB aA C

B A

c b

≤

≤ ≤

≤







- Nếu Aa bB cC⇒ aA+bB3 +cC ≤a+3b+c.A+3B+C

≥

≥ ≤

≤







- Dấu “=” xảy ra khi







=

= =

=

C B A

c b a

*Đối với 2 dãy số, mỗi dãy có n số:

- Nếu









≤

n 2

1

n 2

1

b

b b

a

thì

n

b

b b n

a

a a n

b a

b a b

≥ +

+ +

- Nếu









≥

≤

n 2

1

n 2

1

b

b b

a

thì

n

b

b b n

a

a a n

b a

b a b

≤ +

+ +

- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi:







=

n 2

1

n 2

1

b

b b

a

a a

e B ất đẳng thức Bernouli

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x

1 Dạng nguyên thủy:

- Cho a ≥ -1 , 1 < n∈Z thì (1 + a)n ≥ 1 +na

- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi: 





=

= 1

0 a

n

Nếu số mũ n làchẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực a

2 Dạng mở rộng:

- Cho a ≥ -1 , α≥1 thì (1 + a)n ≥ 1 + na

Trang 7

- Cho a ≥ -1 , 0 < α < 1 thì (1 + a)n ≤ 1 + na

- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi: 





=

= 1

0

a α

Chú ý:

Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0

* Các bất đẳng thức liên quan:

Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác Với số thực x bất

kỳ, r > 0, chúng ta có

với e = 2.718 Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 +

1/k)k < e

f Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

- Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích

trong thực hay phức thì

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúngtrực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong

g Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty

Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

Tương tự, nếu

h Bất đẳng thức Fano

- Trong lý thuyết thông tin, bất đẳng thức Fano liên hệ lượng thông tin bị mất trên một kênh nhiễu với xác suất phân loại sai Nó được tìm ra bởi Robert Fano đầu thập niên 1950 khi đang dạy một semina tiến sĩ về lý thuyết thông tin tại MIT, và sau đó được đưa vào cuốn sách năm

1961 của ông

- Nó được dùng để tìm ra một chặn dưới cho xác suất lỗi của bất kì bộ giải mã nào

*Bất đẳng thức Fano

Đặt các biến ngẫu nhiên X và Y đại diện cho thông điệp vào và ra (trong số r+1 thông điệp có thể) với xác suất hợp Bất đẳng thức Fano là

Trang 8

trong đó

là entropy có điều kiện,

là xác suất lỗi, và

là entropy nhị phân tương ứng

i Bất đẳng thức Golden–Thompson

Trong toán học, bất đẳng thức Golden–Thompson, chứng minh độc lập bởi Golden

(1965) và Thompson (1965), khẳng định rằng với mọi ma trận Hermit A và B,

trong đó tr là vết của ma trận, và eA là lũy thừa ma trận

k Bất đẳng thức Harnack

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích

Cho là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi :

Đối với miền tổng quát bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, là một miền bị chặn với , thì sẽ có một hằng số không

l Bất đẳng thức Hölder

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Hölder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder,

là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp: giả sử S là mộtkhông gian đo, với

1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S) Khi đó fg thuộc L1(S) và

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lp là đối ngẫu với Lq

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

· Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

· Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1, ,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rn (Cn)

· Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp

Trang 9

· Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

· Trong trường hợp không gian xác suất , là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentp hữu hạn,

, trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng Bất đẳng thức Holder trở thành

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

m Bất đẳng thức Jensen

Lưu ý: là hàm lồi khi ta có > 0 trên và là hàm lõm khi ta có < 0 trên

Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata

n Bất đẳng thức Newton

Bất đẳng thức Newton được đặt theo tên của nhà toán học và vật lý học thiên tài người Anh Isaac Newton

Nếu cho a1, ,an là các số thực và cho σk là hàm đối xứng cơ bản thứ k trong các

số a1, ,an thì các giá trị trung bình đối xứng cơ bản, được tính bởi

Sk = σk/(nk)

thỏa mãn bất đẳng thức

Sk-1Sk+1 ≤ S2k

(Trường hợp xảy ra đẳng thức: khi và chỉ khi các số thực a1, ,an đều bằng nhau)

Trang 10

o Bất đẳng thức Schur

Trong toán học, bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với là các số thực không âm và một số dương , ta có bất đẳng thức sau:

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a,

b, và c

p Bất đẳng thức tam giác

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại

Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric

|b-c| < a < b + c

a ≥ b ≥ c ↔ A ≥ B ≥ C ↔ sinA ≥ sinB ≥ sinC ↔ cosA ≤ cosB ≤ cosC

q Giới hạn Singleton

Trong lý thuyết mã hóa, giới hạn Singleton, đặt theo tên của Richard Collom Singleton, là một giới hạn trên cho kích thước của mã khối với độ dài , kích thước , và khoảng cách (mỗi

mã tự có độ dài , dùng để biểu diễn một thông điệp có độ dài , và hai mã tự khác nhau có ít nhất kí hiệu khác nhau)

Phát biểu của giới hạn Singleton

Khoảng cách của một tập bao gồm các mã tự có độ dài được định nghĩa như sau:

trong đó là khoảng cách Hamming giữa và Biểu thức biểu diễn số lượng

mã tự tối đa của một mã khối có độ dài , khoảng cách , và sử dụng kí hiệu trong một bảng chữ cái kích thước

Giới hạn Singleton khẳng định rằng

s Bất đẳng thức Minkowski

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian Lp là các không gian vector định chuẩn Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng

thời f và g là các phần tử của Lp(S) Khi đó f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta có

dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính

Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong Lp(S) Có thể chứng minh nó bằng cách dùng bất đẳng thức Holder

Cũng như bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:

với mọi số thực (hay số phức) x1, , xn, y1, , yn và n là số chiều của S

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	833,1 KB