Đại số - Bất phương trình

Lý thuyết bất phương trình giúp các bạn học sinh lớp 10 ôn tập chuẩn bị cho các kỳ thi học kỳ, ôn luyện thi đại học, rất đầy đủ và chi tiết

Trang 1

+ D gọi là tập xác định của bất phương trình

II Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

- Nếu bất phương trình f1(x) < g1(x) tương đương với bất phương trình f2(x) < g2(x) thì ta viết: (Tương tự với

+ Hai phương trình tương đương với nhau trên D, hoặc

+ Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau

Các phép biến đổi tương đương

- Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba: f(x) < g(x)  [f(x)]3 < [g(x)]3

- Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: f(x), g(x) ≥ 0, x ϵ D

f(x) < g(x)  [f(x)]2 < [g(x)]2Chú ý:

- Nếu hai phương trình tương đương thì mỗi phương trình đều là hệ quả của phương trình còn lại

*Quy tắc hệ phương trình:

Trang 2

- Nếu hệ phương có n ẩn (x, y, z,…) thì trong hệ phương trình đó phải có ít nhất n phương trình (tương tự với bất phương trình)

- Nếu phương trình có bậc n thì phương trình có nhiều nhất n nghiệm (không dùng cho bất phương trình)

IV Dấu của nhị thức bậc nhất

g(x)f(x)

- Dạng chứa nhiều trị tuyệt đối:

Lập bảng, phân khoảng, phá trị tuyệt đối, giải trong từng khoảng

VII Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Trang 3

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện về nghiệm

Xét bất phương trình dạng ax + b < 0, kí hiệu S là ập nghệm của bất phương trình này

- Điều kiện cần để bất phương trình vô nghiệm hay vô số nghiệm: Cho a = 0, tìm m

- Điều kiện đủ: Với m vừa tìm được, ta sẽ nhận được giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

y)(x,gy)(x,f

2 2

1 1

- Tập xác định: D

- h(x,y): Một hàm số xác định trên D, h(x,y) có thể là một hằng số

* Khi đó trên D, hệ bất phương trình đã cho tương đương với mỗi hệ sau:

y)

(x,

f

y)h(x,y)(x,gy)h(x,

Dx0y)h(x, y)

gy)y).h(x,

gy)(x,gy)y).h(x,(x,

Bx

Ax

Bx

Ax

|BAB}

|BA

|BAB}

Có thể kết hợp khi giải, minh họa trục số Bài toán điều kiện có nghiệm, vô nghiệm thì xem xét đủ các trường hợp có thể xảy ra

Giải và biện luận hệ bất phương trình một ẩn

0bax

- Xét: a = 0, c = 0

Trang 4

d theo tham số+ Tùy theo các giá trị của tham số mà lập bảng xét dấu các nhị thức ax + b và cx + d trên cùng một bảng rồi chọn giá trị thích hợp

0bax

Gọi S1, S2 theo thứ tự là tập nghiệm của bất phương trình ax + b > 0 và cx + d > 0

1SI

SI

0ca

X Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình có dạng:

ax + by + c < 0 ; ax + by + c ≤ 0 ; ax + by + c > 0 ; ax + by + c ≥ 0 (a2 + b2 ≠ 0)

Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của bất phương trình trên được biểu diễn bởi một tập hợp điểm của mặt phẳng tọa độ Tập hợpđiểm đó được gọi là miền nghiệm của bất phương trình

- Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng Miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao các miền nghiệm của bất phương trình trong hệ

Phương pháp:

- Vẽ đường thẳng (d) ax + by + c = 0

- Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d) (x0; y0 là nghiệm đúng bất phương trình)

+ Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0

+ Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0

Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ

Ta có thể dùng dấu gạch sọc để gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm

- Áp dụng vào bài toán tối ưu: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức dạng F = ax + by, trong đó x, y nghiệm

đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho:

+ Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Trang 5

+ Miền nghiệm nhận được thường là một đa giác Tính giá trị của F tương ứng với (x;y) là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra GTLN và GTNN của biểu thức

Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế: Trang 190/TLCT Đại số 10 - Đoàn Quỳnh

XI Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Xác định miền nghiệm của hệ bằng phương pháp biểu diễn hình học:

+ Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ phần còn lại

+ Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Một số dạng hệ bất phương trình khác

Xem Trang 192/ Tài liệu chuyên Toán Đại số 10/ Đoàn Quỳnh (chủ biên)

XII Bất phương trình bậc hai

Tam thức bậc hai và dấu của tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

- Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Δ = b2 - 4ac

• Δ < 0: f(x) cùng dấu với hệ số a [af(x) > 0] với  xϵ R

• Δ = 0: f(x) cùng dấu với hệ số a [af(x) > 0] với  xϵ R\ 

b

+(a)Cùng dấu a

- Dấu của đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0x0 (a ≠ 0) có n nghiệm thì ta áp dụng quy tắc: “Mút phải cùng dấu hệ số a, qua nghiệm đơn thì đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu”

- Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng

ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c ≤ 0 ; ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c ≥ 0

Chứng minh dấu tam thức bậc hai: Xem Tài liệu chuyên Toán Đại số 10 Đoàn Quỳnh/Trang 127)

Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nếu tồn tại số α sao cho a.f(a) < 0 thì phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < α < x2

Nếu tồn tại hai số α và β sao cho f(α).f(β) < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nếu af(α) ≤ 0 hoặc f(α).f(β) ≤ 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm

So sánh nghiệm: x1 < α < x2  af(α) < 0

Trang 6

0 ) af(

0 Δ

0)af(

0Δ

- Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm

Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R

0 a

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0)

Tam thức bậc hai f(x) không đổi dấu trên một khoảng, một đoạn, hợp các nửa khoảng, đoạn,… Ta chuyển qua bài toán về đồ thị đường thẳng, đồ thị parabol; sử dụng các nghiệm đặc biệt của tam thức; đánh giá tham

số với một biểu thức, hàm số dạng: m ≥ g(x), m > g(x), m ≤ g(x), m < g(x)…; chuyển điều kiện x > a, x ≥ a,

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai:

Cho bất phương trình dạng: ax2 + bx + c ≥ 0

- a = 0: Đưa về bài toán giải và biện luận bất phương trình bx + c ≥ 0

- a > 0: Đặt Δ = b2 - 4ac

• Δ > 0: Bất phương trình có nghiệm x ≤ x1 hoặc x ≥ x2, trong đó

a2

Δb

x1 

2a

Δbx2

Trang 7

- a < 0: Đặt Δ = b2 - 4ac

• Δ ≥ 0: Bất phương trình có nghiệm x2 ≤ x ≤ x1, trong đó:

a2

Δbx1

x2  

• Δ < 0: Bất phương trình vô nghiệm S = Ø

XIII Giải hệ bất phương trình bậc hai

- Giải từng bất phương trình một

- Kết hợp nghiệm lại ta được nghiệm của hệ (Giao các tập nghiệm của các bất phương trình)

Chú ý:

- Có thể kết hợp gọn

- Bài toán biện luận, tìm điều kiện hệ có nghiệm, vô nghiệm, cần phải xem xét đủ các trường hợp

- Tam thức bậc hai f(x) có 2 nghiệm x1, x2:

0P

0Δ

0P

0Δ0

x

0Px

- Một số bài toán phương trình, bất phương trình có điều kiện được chuyển về hệ bất phương trình

XIV Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

0g(x)(x)

g(x)f

0g(x)

2 2

- |f(x)| = |g(x)|  f2(x) = g2(x)  f(x) = ± g(x)

Dạng chứa nhiều trị tuyệt đối

Lập bảng, phân khoảng, phá trị tuyệt đối, giải trong từng khoảng

0g(x)g(x)

f(x)

g(x)f(x)

2 2

- Gặp dạng bất phương trình chứa nhiều trị tuyệt đối

Lập bảng, phân khoảng, phá trị tuyệt đối, giải trong từng khoảng

- |A ± B| ≤ |A| + |B|

• |A + B| = |A| + |B|  AB ≥ 0

Trang 8

• |A - B| = |A| + |B|  AB ≤ 0

Phương trình chứa căn thức

- Tìm điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình và nêu điều kiện của nghiệm (nếu có)

- Chỉ bình phương hai vế của phương trình hoặc bất phương trình khi cả hai vế đều không âm

0g(x)g(x)

0f(x)g(x)

cvuk n

bayxn n

* Đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối a a

* Nhân lượng liên hợp

Trang 9

m , với mọi A, B lớn hơn 0 và A khác B.

1 Phương pháp liên hợp trực tiếp:

* Phương pháp chung: Ta phát hiện trong phương trình có ngay dấu hiệu liên hợp

2 Phương pháp nhân liên hợp không trực tiếp:

Phương pháp chung là ta phải tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình, rồi từ đó mới tìm được biểu thứcliên hợp Phương pháp nhẩm nghiệm sử dụng máy tính cầm tay Casio fx-570ES PLUS:

a) Dạng 1: Phương trình có 1 môt nghiệm đẹp:

Phương pháp:

- Bước 1: Sử dung SHIFT + SOLVE để tìm nghiệm x = a

- Bước 2: Kiểm tra còn nghiệm nào khác nữa không bằng cách sử dụng

SHIFT + SOLVE

( )0

- Bước 2: Tìm x = b bằng cách sử dụng SHIFT + SOLVE

( )0

- Bước 4: Tìm đại lượng liên hợp

- Bước 5: Liên hợp

- Bước 6: Chứng minh phần trong dấu ngoặc vô nghiệm

c) Dạng 3: Phương trình có một nghiệm xấu:

* Phương pháp:

- Bước 1: SHIFT + SOLVE để tìm x = a

- Bước 2: Tìm biểu thức liên hợp bằng cách thay x vào các biểu thức chứa căn

- Bước 3: Nhân liên hợp

- Bước 4: Chứng minh phần trong ngoặc vô nghiệm

Trang 10

d) Dạng 4: Phương trình có hai nghiệm xấu:

Ngoài phương pháp nêu trên ta còn có thể giải phương trình vô tỉ có 2 nghiệm xấu theo cách sau đây:

* Phương pháp:

- Bước 1: SHIFT + SOLVE để tìm x = a, lưu x vào biến A

- Bước 2: Tìm biểu thức liên hợp bằng cách thay giá trị của A vào biểu thức có chứa căn

* Bình luận: Tuy nhiên cách này không hoàn toàn khả dụng trong trường hợp chỉ có một nghiệm thỏa mãn

TXĐ, tức là ta phải loại đi một nghiệm Để khắc phục được tình trạng trên ta sẽ thực hiện cách số 2 sau đây:

+ Cách 2: Chỉ cần tìm một nghiệm (khác với cách 1 ta phải tìm 2 nghiệm)

* Gặp phương trình chứa nhiều căn thức

Đặt điều kiện cho biểu thức trong căn có nghĩa, sau đó chuyển vế, bình phương

Bất phương trình chứa căn thức

0 f(x) g(x)

0 g(x)

0 f(x) g(x)

0g(x)

0f(x)g(x)

f(x)

2

Trang 11

- 3 f(x) 3 g(x)  f(x)  g(x)

* Dạng khác:

Sử dụng như phương pháp phương trình căn thức

XV Bất phương trình chứa tham số:

- Tập nghiệm của một bất phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số đó

- Khi giải gọi là giải và biện luận bất phương trình

XVI Điều kiện về nghiệm của phương trình:

Cho y = f(x) trên D, f đạt GTLN = M, đạt GTNN = m

- Phương trình f(x) = k có nghiệm  m ≤ k ≤ M của hệ:

Bất phương trình f(x) ≥ k  k ≤ M

Bất phương trình f(x) ≤ k  k ≥ m

Bất phương trình f(x) ≥ k có nghiệm mọi x ϵ D  k ≤ m

Bất phương trình f(x) ≤ k có nghiệm mọi x ϵ D  k ≥ M

Phân tích chi tiết phương pháp liên hợp

II NỘI DUNG:

1 Phương pháp liên hợp trực tiếp:

* Phương pháp chung: Ta phát hiện trong phương trình có ngay dấu hiệu liên hợp

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2x2  3x 5 2x23x 5 3x (1)

* Phân tích: Ta để ý hiệu của hai biểu thức trong căn bằng 6x, do đó ta sẽ nghĩ ngay đến nhân liên hợp.

Trang 12

Ta thay x = 4 vào phương trình thấy thỏa mãn.

* Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2x 3 x 2x (1)6

* Phân tích: Ta để ý hiệu của hai biểu thức trong căn bằng x - 3, còn vế phải ta đặt 2 ra ngoài khi đó trong

ngoặc còn x – 3, do đó ta sẽ nghĩ ngay đến nhân liên hợp

Lời giải:

Điều kiện:

32

x� thì mẫu luôndương, do đó ta chỉ cần chứng minh tử của nó luôn khác 0

Rõ ràng ta nhận thấy phương trình cuối vô nghiệm, vậy biểu thức (*) luôn khác 0

2 Phương pháp nhân liên hợp không trực tiếp:

Phương pháp chung là ta phải tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình, rồi từ đó mới tìm được biểu thứcliên hợp Phương pháp nhẩm nghiệm sử dụng máy tính cầm tay Casio fx-570ES PLUS:

a) Dạng 1: Phương trình có 1 môt nghiệm đẹp:

Phương pháp:

- Bước 2: Kiểm tra còn nghiệm nào khác nữa không bằng cách sử dụng

Trang 13

SHIFT + SOLVE

( )0

f x

x a 



- Bước 4: Chứng minh phần trong dấu ngoặc khác 0 (vô nghiệm)

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

� thì phươngtrình (*) luôn dương, do đó nó vô nghiệm

x  x  x  x  x x  (1)

* Phân tích: Ta tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình (1) Để nhẩm được nghiệm của phương trình (1)

ta sẽ sử dụng máy tính cẩm tay để nhẩm

Trang 14

2

2 2

Từ đó ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 5

b) Dạng 2: Phương trình có 2 nghiệm đẹp:

Phương pháp:

- Bước 2: Tìm x = b bằng cách sử dụng SHIFT + SOLVE

( )0

- Bước 4: Tìm đại lượng liên hợp

- Bước 6: Chứng minh phần trong dấu ngoặc vô nghiệm

x x  x x  x (1)

Lời giải:

Trang 15

x ��� ��

�)Dấu “=” không thể đồng thời xảy ra được vì x = 1/5 và x = 2/3 nên tổng:

Vậy biểu thức trong ngoặc vô nghiệm, nên suy ra phương trình chỉ có hai nghiệm là x = 1 và x = 2

* Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = 2

2

4 x 2 22 3 x x   (1)8 0

Trang 16

Lời giải:

TXĐ:

222;

Trang 17

Nhưng ta nhận thấy phương trình thứ 2 luôn vô nghiệm với mọi

222;

3

x ��� �� Do đó, phương trình đã chotương đương với phương trình:

* Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 2

* Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = 2

c) Dạng 3: Phương trình có một nghiệm xấu:

Trang 18

* Phương pháp:

Nhẩm nghiệm: Sử dụng SHIFT + CALC để tìm một nghiệm vô tỷ của phương trình: x = 0,618…

Thay x = 0,618… vào các biểu thức chứa căn ta được

3 0,618

1,618

x x

Trang 19

Nhẩm nghiệm: Sử dụng SHIFT + CALC để tìm một nghiệm vô tỷ của phương trình: x = 1,618…

Thay x = 1,618… vào biểu thức chứa căn thức ta được x �1 1,618

Khi đó biểu thức liên hợp là: x1 1,618 x� 

x� thì phương trình thứ 2 luôn vô nghiệm Do đó phương trình đã cho có nghiệm

d) Dạng 4: Phương trình có hai nghiệm xấu:

x    x x x  x (1)

Trang 20

Lời giải:

* Phân tích: Ở đây ta thấy phương trình không có nghiệm nguyên (nghiệm đẹp), nên ta có thể sử dụng máy

tính cầm tay để tìm biểu thức liên hợp hoặc sử dụng phương pháp hệ số bất định để giải bài toán

2 2

Trang 21

* Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm

1 2 2

x x

(Lưu ý: Ta lấy biểu thức có bậc cao hơn trừ đi biểu thức có bậc thấp hơn).

Ta có lời giải của bài toán như sau:

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	332,74 KB