Dàn và đại số boole

Khóa luận tốt nghiệp lời cảm ơn Trong thời gian học tập tại khoa Toán trường ĐHSPHN 2 được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Trang 2

lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán trường ĐHSPHN 2 được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy, cô và các bạn trong khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn

sâu sắc tới cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người đã hướng dẫn tận tình để giúp

em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Vũ Thị Lịch

Trang 3

lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô, thạc sĩ Hà

Thị Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bản thân.Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (có nêu trong mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Vũ Thị Lịch

Trang 4

mục lục Phần 1 mở đầu Trang

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Cấu trúc khóa luận 6

phần 2 nội dung 7

Chương 1 Quan hệ thứ tự 7

1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự 7

1.2 Trội và trội trực tiếp 8

1.3 Biểu đồ Hasse 8

1.4 Các phần tử cực trị 10

1.5 Chặn trên và chặn dưới 12

1.6 Quan hệ thứ tự toàn phần 12

1.7 Bài tập về quan hệ thứ tự 13

Chương 2 Dàn 17

2.1 Định nghĩa dàn và quan hệ thứ tự trên dàn 17

2.2 Bài tập về dàn 19

2.3 Dàn con 21

2.4 Bài tập về dàn con 24

2.5 Đồng cấu 25

2.6 Bài tập về đồng cấu 28

Trang 5

Chương 3 Đại số Boole 30

3.1 Định nghĩa Đại số Boole và các ví dụ 30 3.2 Đại số Boole và dàn 31

3.3 Đại số Boole con 33

3.4 Bài tập về Đại số Boole 34

Chương 4 Đồng cấu và Đại số Boole hữu hạn 35

4.1 Đồng cấu 35

4.2 Đại số Boole hữu hạn 36

4.3 Ma trận 39

4.4 Bài tập về đồng cấu và Đại số Boole hữu hạn 40

Chương 5 Hàm Boole 41

5.1 Định nghĩa hàm Boole và các ví dụ 41

5.2 Đại số Boole các hàm Boole 42

5.3 Dạng thu gọn và dạng tối tiểu 45

5.4 Bài tập về hàm Boole 45

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Trang 6

phần 1 mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số học là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong KH Toán học Nó

góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán học hiện đại Ngày nay nhu cầu học

hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác

quan tâm đến Toán học nói chung và môn Đại Số nói riêng, ngày càng gia

tăng nhằm nâng cao hiểu biết của mình.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về

bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm vi của

một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của cô giáo, thạc sĩ Hà Thị Thu

Hiền, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài : “Dàn

và Đại số Boole’’

George Boole (1815-1864) và De Morgan (1806-1871) đã sáng lập ngành

Logic Toán độc lập với Triết học Sau đó Boole đã dành nhiều công sức cho

tác phẩm chủ yếu của mình “ Các định luật của tư duy ’’ xuất bản năm 1854,

đó chính là nguồn gốc của đại số Boole ngày nay

Trong đề tài này, em chỉ tập trung vào trình bày những vấn đề cơ bản về:

Quan hệ thứ tự, Dàn (một tiền cấu trúc của đại số Boole), và đại số Boole

2 Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên

cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về đại số học, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn

về Dàn và đại số Boole

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc

trưng của Dàn và đại số Boole

Trang 7

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp :

- Nghiên cứu lý luận

- Phân tích

-Tổng hợp

- Đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 5 chương:

Trong suốt quá trình nghiên cứu được cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền chỉ

bảo giúp đỡ tận tình em đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Em rất mong các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Vũ Thị Lịch

Trang 8

phần 2 nội dung Chương 1 Quan hệ thứ tự 1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1 Cho tập A, một quan hệ hai ngôi trong A được gọi là một

quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

i)Tính phản xạ : xx với mọi xA

Kí hiệu quan hệ thứ tự bởi dấu  hay A nếu muốn nhấn mạnh tập A.Tập

A với quan hệ thứ tự  thì người ta viết là (A,) hay (A,A)

Ví dụ:

i) Với nN*, gọi Unlà tập các ước nguyên dương của n Quan hệ  trên Un

được cho bởi a  b nếu a là ước của b thì (Un,  ) là một quan hệ thứ tự

Trang 9

ii) E là một tập cho trước, P(E) là tập luỹ thừa bao tất cả các tập con của E

với quan hệ , ,   , tức là A,BP(E) thì AB nếu AB Khi đó (P(E),) là

một quan hệ thứ tự

1.2.Trội và trội trực tiếp

Định nghĩa 2 (A, ) là một quan hệ thứ tự cho trước

i)Nếu xy thì ta nói rằng y là một trội của x còn x được trội bởi y

ii) Nếu yx và y là một trội của x, đồng thời không tồn tại một phần

tử z khác x và y nào để xzy thì y được gọi là một trội của x

Ví dụ :

i) (Q, ) một quan hệ thứ tự thì mọi số hữu tỉ đều không có trội trực tiếp

Tính chất này gọi là tính trù mật của Q

ii) (Un, u) thì trội trực tiếp của 1 là toàn bộ các ước nguyên tố của n

iii) ( Z, ) là một quan hệ thứ tự thì trội trực tiếp của n là n+1

iv) (P(E),) thì trội trực tiếp của  là tất cả các tập con của E chỉ có 1 phần

tử Còn trội trực tiếp của tập AP(E) là các tập con của E có dạng

A b ,  b A

1.3 Biểu đồ Hasse

Định nghĩa 3 Cho A là một tập hữu hạn phần tử còn (A,) là một quan hệ

thứ tự trên A Một biểu đồ Hasse của (A,) là một đồ thị hữu hạn định hướng

trong mặt phẳng (V,C) được xác định như sau:

i)Tập các đỉnh V có tương ứng 1-1 với các phần tử của A

ii) x,yA tương ứng với a,bV thì a và b được nối bởi một cung đi khỏi a

và đi tới b nếu y là một trội trực tiếp của x

Trang 10

Ví dụ:

i) A=  8, 7, , 1, 0   với quan hệ  thông thường, thì (A) có biểu đồ Hasse là:

| | | | | | | | | -8 -3 -2 -1 0 1 2 3 8

ii) Biểu đồ Hasse của (U15, u) như sau:

Trang 11

1.4 Các phần tử cực trị

Định nghĩa 4.Với một quan hệ thứ tự (A,) cho trước, ta nói rằng:

i) Nếu a A và a không có một trội thực sự nào thì a là một phần tử tối

đại của A

ii) Nếu bA và b không là một thực sự của một phần tử nào thì b là một phần tử tối tiểu của A

iii) Nếu m A và x m, với mọi x A hay m là trội của tất cả các phần

tử của A thì m được gọi là một phần tử lớn nhất của A

iv) Nếu n A và n x, với mọi x  A hay mỗi phần tử của A đều là một trội của n thì n là một phần tử nhỏ nhất của A

v) Các phần tử tối đại hay tối tiểu của A được gọi chung là phần tử cực trị

Ví dụ:

i) ( R, ) không có phần tử cực trị nào

ii) (U9, u) có phần tử tối tiểu và là phần tử nhỏ nhất chính là số 1, có phần

tử tối đại đồng thời là phần tử lớn nhất đó là số 9

iii) E={2,4,6} thì (P(E),) có phần tử tối đại và là phần tử lớn nhất E, có phần tử tối tiểu và là phần tử nhỏ nhất .Với tập E bất kỳ cũng như vậy Định lý 1.Với (A,) là một quan hệ thứ tự cho trước, khi đó ta có:

i) Phần tử lớn nhất nếu tồn tại, thì đó cũng là phần tử tối đại duy nhất

ii) Phần tử nhỏ nhất nếu tồn tại, thì đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất

Chứng minh:

i) Giả sử m là phần tử lớn nhất của (A,) Khi đó theo định nghĩa ta có

x m, x A

Trang 12

ii) Giả sử n là phần tử nhỏ nhất của (A,)

Theo định nghĩa ta có n x,  x A

Nếu x n thì theo trên ta có : n=x ii)

Định lý 2 (A,) là một quan hệ thứ tự với tập A hữu hạn thì ta có:

i) (A,) luôn có phần tử tối đại và phần tử tối tiểu, và mọi phần tử của A đều

là trội của một phần tử tối tiểu và được trội bởi một phần tử tối đại

ii) Nếu A chỉ có duy nhất một phần tử tối đại, thì đó cũng là phần tử lớn nhất của A

iii) Nếu A chỉ có duy nhất một phần tử tối tiểu, thì đó cũng là phần tử nhỏ nhất của A

Chứng minh:

i)Với a A, nếu a không tối đại thì a có một trội thực sự là a1

+ Nếu a1 tối đại thì có nghĩa A tồn tại phần tử tối đại là trội của a (đạt yêu cầu)

+ Nếu a1 không tối đại khi đó tồn tại a2 là một trội thực sự của a1 …

+ Lặp lại lập luận này, ta sẽ được một dãy tăng: aa1a2 a n 

mà phần tử sau là một trội thực sự của phần tử trước

+ Vì A hữu hạn cho nên sau hữu hạn bước sẽ phải kết thúc Ta gọi b là phần tử cuối cùng của quá trình này thì b là một trội của a và b tối đại

+ Tương tự như vậy ta cũng chỉ ra sự tồn tại phần tử tối tiểu được trội bởi

a

ii) Giả sử m là phần tử tối đại duy nhất của A Với x A bất kỳ theo i) thì tồn tại một y tối đại là trội của x Bởi tính duy nhất của phần tử tối đại trong A, nên y=m Do đó m là một trội của x với mọi x A Vậy m là phần tử lớn nhất iii) Chứng minh tương tự ii)

Trang 13

1.5 Chặn trên và chặn dưới

Định nghĩa 5 B là 1 tập con của một tập A và  là một quan hệ thứ tự trên A Khi đó, ta nói rằng:

i) c A gọi là một chặn trên của B nếu b c với mọi b B

ii) d A gọi là một chặn dưới của B nếu d b với mọi b B

iii) Phần tử c A được gọi là phần tử lớn nhất của B và kí hiệu là maxB nếu

là nếu x,yA thì hoặc x y hoặc y x

Nhận xét: A là một tập hữu hạn và (A,) là một quan hệ thứ tự thì (A,) là một quan hệ thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu biểu đồ Hasse của nó là một đồ thị liên thông

Trang 14

Ví dụ:

i) ( R, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần

ii) Cho n là hợp số lớn hơn 2 thì (Un,  ) không phải là quan hệ thứ tự toàn phần, vì nếu gọi p,q là các ước nguyên tố khác nhau của n thì p,q không so sánh được

iii) (P(E),) với E nhiều hơn một phần tử cũng không phải là quan hệ thứ

tự toàn phần, vì với a,b là 2 phần tử khác nhau của E, thì A={a}, B={b} không

so sánh được

1.7 Bài tập

Bài 1 N là tập các số tự nhiên A=Nn

với n nguyên dương, trên A ta xây dựng một quan hệ < như sau:

a=( x x1, 2, ,x n, ) A b,  ( ,y y1 2, ,y n, ) B thì

a<b nếu như tồn tại kn để x1 y x1, 2 y2, ,x k1 y k1 và x k  y k

a) Chứng minh rằng (A,) là một quan hệ thứ tự, người ta gọi quan hệ này là quan hệ thứ tự từ điển

b) (A,) là một quan hệ thứ tự toàn phần

c) Mọi BA và khác rỗng đều tồn tại minB

d) Mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB

e) Nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn

f) Cho biết các trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất

Trang 15

Tính phản đối xứng:  a ( ,x x1 2, ,x n) A b,  ( ,y y1 2, ,y n) B thì

a<b nếu như tồn tại kn để x1 y x1, 2 y2, ,x k1 y k1,x k  y k ab (1)

b<a nếu như tồn tại kn để y1x y1, 2 x2, ,y k1x k1,y k x k ba (2)

 d là phần tử nhỏ nhất của B tức d=minB

Vậy mọi BA và khác rỗng đều tồn tại minB

d) BA B,   , B hữu hạn thì  b B,  c A b:  c c là một chặn trên của B(B hữu hạn ) và do B A c Bc=maxB

Trang 16

Vậy mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB

e) BA, B đạt supB nên theo định nghĩa ta có tồn tại cA là phần tử bé nhất của tập {cA | c là một chặn trên của B}

B hữu hạn vì nếu B không hữu hạn thì không tồn tại c là chặn trên của B Khi

đó không tồn tại supB

Vậy nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn

f) Các trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất

Ta thấy phần tử nhỏ nhất của A là N

Do đó các trội trực tiếp của N là 2

N N NBài 2 Cho một quan hệ (A,) với biểu đồ Hasse như sau:

b e

a c f h k

d g

Hãy cho biết:

a) Các trội trực tiếp của a ?

b) min{b,c,d}; inf{b,c,d} ?

c) Cho biết các phần tử tối tiểu và các phần tử tối đại ?

d) (A,) có phần tử lớn nhất không ?

e) Hãy bổ sung vào đồ thị thêm hai cung để tạo thành một quan hệ mới trên A

là một quan hệ thứ tự toàn phần và có phần tử lớn nhất và nhỏ nhất ?

Trang 17

Khãa luËn tèt nghiÖp

Trang 18

Chương 2 Dàn 2.1 Định nghĩa dàn và quan hệ thứ tự trên dàn

Định nghĩa 1 Một tập A không rỗng được trang bị hai phép toán   ,

(hội, tuyển); (A,  , ) lập thành một dàn nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: i) Luật lũy đẳng: xx=x và xx=x,  x A

ii) Luật giao hoán: x y,  A thì:

Ví dụ:

i) (Un,(),[]) với (a,b) là ước chung lớn nhất còn [a,b] là bội chung nhỏ nhất của 2 số a,b cũng lập thành một dàn phân phối

Định nghĩa 2 (A,  , ) là một dàn cho trước, ta nói rằng ab nếu như a b=a

Bổ đề (A,) là một quan hệ thứ tự trên A Quan hệ thứ tự này được gọi là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn

Chứng minh

Tính phản xạ: Ta có a a a,  a Aaa,  a A

Tính phản đối xứng: a b, A

Trang 19

Vậy (A,) là một quan hệ thứ tự

Định lí 1 (A,) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn (A,  , ) thế thì ta có sup{a,b}=ab và inf{a,b}=ab với mọi a,bA

Chứng minh

Từ a  a b ab b;    a b b a nên ab là chặn trên của {a,b} Nó là chặn trên nhỏ nhất vì ac b;  c c     a c b a c (ba) c

Vậy bac.inf{a,b}=ab hoàn thành từ luật đối ngẫu

Do đó sup{a,b}=ab; inf{a,b}=ab,a b, A

Định lí 2 Cho (A,) là một tập được sắp thứ tự trong đó hai phần tử bất kì a,bA đều tồn tại inf{a,b} và sup{a,b} Khi đó nếu đặt inf{a,b}=ab, còn sup{a,b}=ab, thì (A,  , ) là một dàn nhận (A,) làm quan hệ thứ tự cảm sinh

Trang 20

Nhận xét Với một tập A cho trước, việc cho một cấu trúc dàn trên A cũng tương đương với việc thiết lập một quan hệ thứ tự trên A mà trong quan hệ này inf{a,b}, sup{a,b} luôn tồn tại với mọi a,bA Vì lí do này người ta có thể đưa

Trang 21

Tính bắc cầu của  được thỏa mãn

Vậy (A,) là quan hệ thứ tự

Bài 2 Đồ thị dưới đây có phải là biểu đồ Hasse của một dàn hay không? Vì sao ?

f

Giải

Ta đặt A={a,b,c,d,e,f} thì A hữu hạn và (A,) là một quan hệ thứ tự trên A

Ta thấy đồ thị trên là đồ thị hữu hạn định hướng trong mặt phẳng (V, C) được xác định như sau:

i) Tập các đỉnh của V có tương ứng 1-1 với các phần tử của A

ii) x,yA tương ứng với a,bV thì a và b được nối bởi một cung đi khỏi a và

đi tới b nếu y là một trội trực tiếp của x

Vậy đồ thị trên là biểu đồ Hasse

Mặt khác (A,) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn

Thật vậy: Tính phản xạ: xx,  x A

Tính phản đối xứng: x y, A

f

e

d

c

b

a

Trang 22

Vậy (A,) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn

Vậy đồ thị trên là biểu đồ Hasse của dàn

2.3 Dàn con

Định nghĩa 5 (A,  , ) là một dàn cho trước, một tập con B của A được gọi là một dàn con của dàn A nếu như B  và B cùng với hai phép toán trong A thu hẹp trong B cũng lập thành một dàn

Định lí 3 Tập con B của một dàn (A,  , ) là một dàn con của A nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

i) B khác rỗng

ii) x y B, x y, B

iii) x y B, x y, B

Chứng minh:

() Giả sử tập con B của một dàn (A,  , ) là một dàn con của A nên theo

định nghĩa của dàn ta có i); ii);iii)

Trang 23

() Giả sử B  và   , cũng là các phép toán trong B B với hai phép toán

Điều này chứng tỏ rằng x,y luôn so sánh được với nhau

Vậy (A,) là quan hệ thứ tự toàn phần

( )( , )A là một quan hệ thứ tự toàn phần và B là tập con khác rỗng của A, x,

y B Khi đó ta có:

x y xy x B x; y yB



y x xy yB x, y x B

Tức là x y B x,  y B Vậy B là dàn con của A

Định nghĩa 6 Một dàn có tính chất mà mọi tập con khác rỗng của nó đều là một dàn con của nó được gọi là một dàn liên thông

Hệ quả Dàn (A,  , ) là một dàn liên thông khi và chỉ khi quan hệ thứ tự cảm sinh (A,) là một quan hệ thứ tự toàn phần

Trang 24

Chứng minh : Theo định lí 4 suy ra đpcm

ii) E là một tập nhiều hơn một phần tử, thì dàn (P(E),  , ) không phải là một dàn liên thông Vì lấy a,b là hai phần tử khác nhau của E , A={a}, B={b} thì {A,B} không là dàn con ; (A,  , ) là một dàn, dàn con B liên thông của A

được gọi là cực đại nếu B không thực sự chứa trong một dàn con liên thông khác của A

Thật vậy: Gọi F là tập tất cả các dàn con liên thông cực đại của A chứa a, thì

F  vì ({a},   , ) là một dàn con liên thông của A Nếu  A  I

 là một họ lồng nhau các dàn con liên thông chứa {a} thì ta thấy ngay

I

A

 cũng là một dàn con liên thông chứa {a} Vì vậy theo bổ đề Zorn thì F có một phần tử cực

Trang 25

2.4 Bài tập về dàn con

Bài 1 E là tập có n phần tử, hỏi dàn (P(E),  , ) có bao nhiêu dàn con liên thông cực đại ?

Giải

Từ một phần tử a E thì ta đều xây dựng được một dàn con liên thông cực

đại của A Vì E có n phần tử mà P(E) là tập lũy thừa bao tất cả các tập con của E nên dùng qui nạp ta có:

Với E có 1 phần tử thì ta có số các tập con khác rỗng của E là 1=C1

1 Với E có 2 phần tử thì E thì ta có các tập con khác rỗng của E là 3= 1 2

2 2

C C Với E có 3 phần tử số các tập con khác rỗng của E là 7= 1 2 3

có n phần tử nên số dàn con liên thông cực đại của dàn (P(E),  , ) là n Bài 2 Hãy liệt kê tất cả các dàn con liên thông cực đại của dàn (U24, u) ? Giải

Các dàn con của dàn (U24, u) là:

1 2 3 4 6 8 12 24

(U u, ); (U u, ); (U u, ); (U u, ); (U u, ); (U u, ); (U , ); (u U , )u và đây đều là các dàn

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	354,04 KB