Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7.. Kẻ AH vuông góc với BC H thuộc BC.. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH.. Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc v
Trang 1UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán lớp 7 Năm học: 2015 – 2016
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2, 5 điểm)
1) Tìm x, y biết: 4 4
x y
và x + y = 11 2) Tính giá trị của biểu thức: a3(a + b)(a5 – b5)(a2 – b) tại a = 5, b = 25
3) Tính A =
12 5 6 2 10 3 5 2
2 3 4 9 5 7 25 49
125.7 5 14
2 3 8 3
Câu 2 (1,5 điểm)
1) Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x2 - 9
2) Cho đa thức f(x) ax2bxc víi a, b, c lµ c¸c sè nguyên, và a khác 0 Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7
Câu 3 (2, 0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên a,b sao cho: 2a + 37 = | b – 45 | + b - 45
2) Cho a, b, c thoả mãn: a b c
2014 2015 2016 Chứng tỏ: 4(a - b)(b - c) = (c – a)2
Câu 4 (3,0 điểm)
1)Cho tam giác ABC có �B < 900 và �B2C� Kẻ AH vuông góc với BC( H
thuộc BC) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt
AC tại D
a) Chứng minh DH = DC = DA
b) Chứng minh AE = HC
2) Cho tam ABC cân tại A có góc A bằng 1000 Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác ABC sao cho góc MCB bằng 200, góc MBC bằng 100 Tính số đo góc AMB
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: 2x 2y 2z 2336, với x < y < z
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 3 trang)
Điểm thành phần
Tổng điểm
1
1
Từ 4 4
x y
�7(x + 4) = 4(7 + y) �7x = 4y � 4 7
x y
4 7
x y = 11 1
11 11
x y
�x = 4 và y =7
0,5
0,5
1,0
2
Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được:
= 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25)
= 53(5 + 25)(55 – 255).(25 – 25)
= 53(5 + 25)(55 – 255).0 = 0
0,25 0,25 0,25
0,75
3
10
12 6 12 5 9 3 9 3 3
10 3
12 4
2 3 4 9 5 7 25 49
125.7 5 14
2 3 8 3
2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 2 7
2 3 3 1 5 7 1 7
2 3 3 1 5 7 1 2
5 7 6
2 3 4 5 7 9 6 3 2
0,25
0,25
0,25
0,75
2
2 – 9 = 0 �x2 = 9 �x�3 Vậy đa thức có hai nghiệm là 3; - 3
0,25 0,25 0,5
2
f(0) = c M 7 c M7
f(1) = a + b + cM7 ; f(-1) = a – b +c M 7
2( a + c ) M7; cM7 aM7
a + b + cM7, c M7, aM7 b M7
0,25 0,25 0,25 0,25
1,0
3 1 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) là số chẵn với mọi số tự nhiên b
2a + 37 là số chẵn
2a là số lẻ a = 0 Với a = 0 ta tìm được b = 64
0,25
0,25 0,5
1,0
Trang 3Từ
2014 2015 2016
= a b b c c a1 1 2
(a - b)(b – c) = 2
4
c a
4 (a – b) (b - c) = (c - a)2
0,5 0,25 0,25
1,0
1
BEH cân tại B nên � �E H (1)1
Ta có �B2C�2E��E C� � (2)
Mà �H1H�2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra �H2 � HDC cân tại DC� �DH =
DC (4) Khẳng định �HAD DHA� vì cùng phụ �H2
� HDA cân tại D �DH = DA (5)
Từ (4) và (5) �DH = DA = DC
0,25
0,25 0,25 0,25
1
2 Lấy B’thuộc BC sao cho H là trung điểm của BB’
'
ABB
cân tại A � �ABB AB B'� ' 2C�
Mà � ' � �
1
AB B A C Vậy � �A C1 '
AB C
� cân tại B’
�AB’ = B’C
AB = AB’ = CB’
BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE
0,25
0,25
0,25
0,25
1
A
B
C H
E
D
B’
1
Trang 4Vẽ tam giác đều BEM +) Chứng minh: ∆MCB = ∆MCE (c-g-c)
Góc MCA = Góc MCE = 200
C,A,E thẳng hàng
Góc AEM = Góc AME = góc MBC = 100
Góc AMB = 700
0,25
0,25 0,25 0,25
1
5
2x 2y 2z 2336 � 2 1 2x y x 2z x 2 73
Vì 1 2 y x 2z x là số lẻ nên 2x 25 � x5
Suy ra 2y x 23 � y x 3� y x 3 5 3 8
3
1 2 z y 9 � 2z y 2 �z y 3� z y 3 8 3 11
x = 5 ; y = 8 ; z = 11 (TMĐK)
0,25
0,25 0,25
0,25
1
Trang 5UBND HUYỆN KINH MễN
MễN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 150 phỳt
( Đề này gồm 5 cõu, 01 trang)
Cõu 1: (2,0 điểm)
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức : A = 2x2 – 3x + 5 với 1
2
x b) Tỡm x, biết: x2 x 1 x2 5
Cõu 2: (2,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c khỏc 0 thỏa món điều kiện:3a b c a 3b c a b 3c
Tớnh giỏ trị biểu thức P = a b b c c a
b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x Chứng minh rằng f(x) cú ớt nhất bốn nghiệm
Cõu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x - 3y +2xy = 4 b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018
là số chính phơng
Cõu 4: (3,0 điểm)
1) Cho ABC cú gúc A nhỏ hơn 900 Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABM và ACN
a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN CM;
b) Kẻ AH BC (H � BC) Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN
2) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B Điểm M nằm bờn trong tam giỏc sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3 Tớnh số đo �AMB?
Cõu 5: (1,0 điểm)
Cho 2016 số nguyờn dương a1, a2, a3 , , a2016 thỏa món :
1 2 3 2016
Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất 2 số trong 2016 số đó cho bằng nhau
- Hết
Trang 6-Giỏm thị 1: -Giỏm thị
2:
UBND HUYỆN KINH MễN
NĂM HỌC : 2017 – 2018 MễN : TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm gồm: 5 cõu, 04 trang)
1
(2,0đ)
a (1,0đ).
Vỡ 1
2
x nờn x = 1
2 hoặc x = -
1 2
* Với x = 1
2 thỡ A = 2.(
1
2)
2 – 3.1
2 + 5 = 4
0,25 0,25
*Với x = - 1
2 thỡ A = 2.(-
1
2)
2 – 3.(-1
2) + 5 = 7
Vậy A = 4 với x = 1
2 và A = 7 với x = -
1
2.
0,25
0,25
b (1,0đ) vỡ x2 x 1 0 nờn ta cú:
x2 x 1 x25 => x2 x 1 x2 5 0,25 => x 1 5=> x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5 0,25
* Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4 0,25
* Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6
2
(2,0đ)
a (1,0đ)
Theo bài ra:
3a b c a 3b c a b 3c
(1) với a, b, c khác 0 ta có => 3a b c 2 a 3b c 2 a b 3c 2
0,25
=> 3a b c 2a a 3b c 2b a b 3c 2c
=> a b c a b c a b c
+ Nếu a+ b + c � 0 thì từ (2) ta có a = b = c
Khi đó P = a b b c c a
= 2c 2a 2b 2 2 2 6
+ Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c; b + c = - a; c + a
= - b
Khi đó P = a b b c c a
0,25
Trang 7b (1,0đ)
Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) đúng với mọi x nên
*) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9)
0 f(1) = 5 f(9) f( 9) = 0
Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
0,25
*) Với x = - 4 thì ta có : -5 f(-4) = 0 f(4) f(-4) = 0
Suy ra x = - 4 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25
*) Với x = 9 thì ta có: 8 f(9) = 13 f(17) f(17) = 0 (vì f(9) = 0)
Suy ra x = 17 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25
*) Với x = 17 thì ta có: 16 f(17) = 21 f(25) f(25) = 0 (vì f(17) = 0)
Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25
0,25
3
(2,0đ)
a (1,0đ).
Ta có: x - 3y + 2xy = 4
=> 2x+ 4xy - 6y = 8
=> 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3
=> 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5
=> (2x - 3)(1 + 2y) = 5
V× x, y � Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y �Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y �¦(5)
0,5
Ta cã b¶ng sau
2x – 3 - 1 -5 1 5
1 + 2y - 5 -1 5 1
x 1 -1 2 4
y -3 -1 2 0
0,25
V× x, y nguyªn nªn các cặp số nguyên thỏa mãn là:
(x; y) � (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0) 0,25
b (1,0đ)
Giả sử n2 + 2018 là số chính phương với n là số tự nhiên
Khi đó ta có n2 + 2018 = m2 (m�N*)
0,25
Từ đó suy ra : m2 - n2 = 2018 m2 – mn + mn - n2 = 2018
m(m - n) + n(m – n) = 2018 (m + n) (m – n) = 2018
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 0,25 Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m
2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
0,25
Trang 8Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn.
(m + n) (m – n) 4 nhưng 2018 không chia hết cho 4
Điều giả sử sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương 0,25
4
K I
H
E F
A M
a) Xét AMC và ABN, có:
AM = AB ( AMB vuông cân)
MAC BAN (= 90 0 + �BAC )
AC = AN ( ACN vuông cân) Suy ra AMC = ABN (c.g.c) => MC = BN ( 2 cạnh t ứng)
0,25 0,25
Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Vì AMC = ABN (c.g.c)
� �ANI KCI�
mà �AIN KIC� (đối đỉnh) � �KCI KIC � �ANI AIN � 90 0
do đó: MC BN
0,25
b) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: �BAH MAE� = 90 0 (vì MAB� = 90 0 ) (1)
Lại có MAE� �AME= 90 0 (2)
Từ (1) và (2) � �AME BAH�
Xét MAE và ABH, vuông tại E và H, có:
�AME BAH� (chứng minh trên)
MA = AB( AMB vuông cân)
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền - góc nhọn)
� ME = AH
0,25
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA (cạnh huyền - góc nhọn)
Ta có ME// NF (cùng vuông góc với AH)=>�EMD FND� (hai góc so le trong)
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
ME = NF (= AH)
EMD� �FND
� MED = NFD( g.c.g)
� MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D là trung điểm của MN
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25 0,25
Trang 9Theo bài ra: MA: MB: MC = 1: 2: 3
�
Đặt
MA MB MC = a ( a > 0)
=> MA = a; MB = 2a; MC = 3a
Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM)
=> BK= BM = 2a
0,25
Xét ABK và CBM có:
AB = BC (ABC vuông cân tại B)
MBC� �ABK ( cùng phụ với góc ABM)
BM = BK
Do đó ABK CBM c g c . suy ra CM = KA = 3a
0,25
Xét tam giác vuông MBK vuông tại B ta có
Xét tam giác AMK có 2 2 2 2 2 2 2
Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông tại M
��AMK 90 0
=> �AMB AMK KMB� � 90 0 45 0 135 0 Vậy �AMB 135 0
0,25 0,25
5
(1,0đ)
Giả sử trong 2016 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau, không mất
tính tổng quát ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016
Vì a1, a2, a3 , , a2016 đều là các số nguyên dương
nên: a1 � 1;a2 � 2;a3 � 3; ,a2016 � 2016
0,25
Suy ra:
1 2 3 2016
a a a a
0,25
Mâu thuẫn với giả thiết Do đó điều giả sử là sai
Trang 10Hết
-UBND HUYỆN KINH MÔN
NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)
Câu 1: ( 2,0 điểm)
1) Tính M =
4 11 13 2 3 4
4 11 13 4 6 8
2) Tính A=1 1 1 1
2 3 4 2019 ; B = 1 2 3 2017 2018
2018 2017 2016 2 1 Tính A
B
Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10
Câu 3: ( 2,0 điểm )
1) Cho các số dương a,b,c,d; c�d và a c
b d CMR
2018 2018 2019 2019
2018 2018 2019 2019
2) Cho biết 3x 2y 5z 7x (xy yz xz 500) 2018 0
Tính giá trị biểu thức A = (3x - y - z)2019
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC
1) Chứng minh rằng: DC = BE
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Tính số đo góc BIK, góc AMN 3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:
ab+bc+ca�a2 b2 c2< 2(ab+bc+ca)