Trên tia IH lấy ñiểm M sao cho IM=IK.. Dễ thấy IH.
Trang 1tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n 7
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
-Câu 1: (2.5 ñiểm)
999999
131313 636363
131313 353535
131313 151515
131313 :
11
10 70 3
2
−
=
+ +
+
−
x
b) Chứng minh rằng nếu a+ 5b chia hết cho 7 với a b; ∈Z thì 10a b+ cũng chia hết cho 7
Câu 2: (2.0 ñiểm)
a) Cho
4 3
y x
= và
6 5
z y
= Tính giá trị biểu thức 2 3 4
x y z A
x y z
+ +
= + + (giả thiết A có nghĩa)
b) Cho 3 8 15 24 2499
4 9 16 25 2500
B = + + + + + Chứng tỏ rằng B không phải là số nguyên
Câu 3: (2.0 ñiểm)
a) Cho hàm số f(x) xác ñịnh với mọi x∈R Biết rằng với mọi x ≠0 ta ñều
(x) 2.f
x
+ =
Tính f(2) b) Cho hai ña thức : f x( ) (= x−1)(x+3) và g x( )=x3−ax2+bx−3
Xác ñịnh hệ số a, b của ña thức g(x) biết nghiệm của ña thức f(x) cũng là nghiệm của ña thức g(x)
Câu 4: (2.5 ñiểm)
a) Cho tam giác ABC, gọi D là trung ñiểm của cạnh BC Chứng minh rằng D
2
AB AC
A < +
b) Tam giác HIK có HIK = HKI = 36 0 Trên tia phân giác của HIK lấy ñiểm N sao cho IKN = 12 0 Hãy so sánh ñộ dài của KN và KH
Câu 5: (1.0 ñiểm)
Cho biểu thức: C = ( )
2 2
2x+3
− +
−
x
x Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ñó
- Hết -
* Ghi chú: Học sinh không ñược sử dụng máy tính cầm tay
Trang 2tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh H−íng dÉn chÊm
§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n 7
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
ñiểm
999999
131313 636363
131313 353535
131313 151515
131313 :
11
10 70 3
2
−
=
+ +
+
−
x
2. 780: 13 13 13 13 5
3 x 11 15 35 63 99
2. 780 13: 2 2 2 2 5
3 x 11 2 3.5 5.7 7.9 9.11
2. 780 13 1 1 1 1 1 1 1: 1 5
3 x 11 2 3 5 5 7 7 9 9 11
− − + − + − + − = −
2. 780 13 1: 1 5
3 x 11 2 3 11
− − = −
2. 780: 13 8 5
3 x 11 2 33
2 45 5
3 x − = −
x =60
Vậy x=60
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
1
b) Ta thấy 5(10a+b) (a 5b) 50a 5− + = + b a− −5b=49a 7⋮
mà a 5 7+ b⋮ ⇒5(10a+b) 7⋮ (*)
Do (5;7)=1 nên từ (*) suy ra 10a +b⋮ 7 (ñpcm)
0,25 0,25 0,5 a) Ta có
20 15 4 3
y x y x
=
⇒
24 20 6 5
z y z y
=
⇒
=
24 20 15
z y x
=
=
⇒
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
2x 3 4z 3x 4 5z
15 20 24 30 60 96 45 80 120
2 3 4 30 60 96 186
3 4 5 45 80 120 245
x y z A
x y z
0,25
0,25 0,5
2 b) Ta có
3 8 15 24 2499
4 9 16 25 2500
B = + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + − + + −
49
4 9 16 25 2500
= + + + + + − + + + + +
0,25
Trang 3Đặt 12 12 12 12 12
C = + + + + +
Ta thấy 12 12 12 12 1 1 1 1 1 1 1
2 +3 +4 + +50 <1.2 2.3 3.4+ + + +49.50 = −50<
Mặt khác ta lại có
2 +3 +4 + +50 > 2.3 3.4 4.5+ + + +50.51 2 51 102 147= − = > =3
1
1
3 C
⇒ < < ⇒ 48 <B< 49 ⇒B không phải là số nguyên (ñpcm)
0,25
0,25 0,25
a) Do với mọi x ≠0 ta ñều có 1 2
(x) 2.f
x
+ =
nên + Tại x=2 ta có: ( ) 4
2
1 2
+ f
f (1)
+ Tại
2
1
=
x ta có 1 2 ( )2 1 2 1 4 (2) 1
f f f f
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có 3 ( )2 7 (2) 7
f = − ⇒ f =−
0,25 0,25 0,5
3
b) Nghiệm của ña thức f x( ) (= x−1)(x+3) là x = 1 và x = -3
Vì x = 1 và x = -3 cũng là nghiệm của ña thức g x( )=x3−ax2+bx−3
Nên b – a = 2 (1) và 3a + b = -10 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -3, b = -1
0, 5 0,25 0,25
a) Trên tia ñối của tia DA lấy ñiểm E
sao cho DA=DE
Ta có ∆ABD = ∆ECD(c.g.c) ⇒ AB CE =
Tam giác ACE có AE <CE+CA (BĐT tam giác)
⇔AE < AB+AC (Do AB=CE)
⇔2.AD AB AC< + (Do AE=2AD)
AD
2
AB+AC
⇔ < (ñpcm)
0,25
0,25 0,5
4
Trang 4Trên tia IH lấy ñiểm M sao cho IM=IK Dễ thấy IH<IK nên IH<IM
suy ra H nằm giữa I và M
IKM
∆ cân tại I có 0 1800 360 0
2
MIK = ⇒IKM =IMK = − =
Ta lại có MHK =MIK +IKH = 36 0 + 36 0 = 72 0 (T/c góc ngoài tam giác)
⇒ = = ⇒ ∆ cân tại K ⇒KH =KM (1)
Xét ∆IMN và ∆IKN có
( ) (c.g.c)
:
IN chung
⇒ = ⇒ ∆ cân tại N (*)
Lại có NKM=IKM−IKN =720−120 =600 (**)
Từ (*) và (**) suy ra ∆NKM ñều ⇒KN =KM (2)
Từ (1) và (2) suy ra KN=KH (=KM)
Vậy KN=KH
0,25 0,25 0,25
0,25 0,5
5
C = ( )
2
2
x
− + −
= −
C nhỏ nhất khi
3
x − + lớn nhất
Vì (x – 1)2 + 2 ≥ 2 nên
3
x − +
3 2
≤
⇒ 2 –
3
x − + ≥ 2 – 3
2 Hay C ≥ 1
3 Vậy, C nhỏ nhất bằng 1
3 tại x = 1
0,25 0,25
0,5
- Hết -