Chứng minh rằng fx cú ớt nhất bốn nghiệm.. Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABM và ACN.. Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN... Gọi D là giao điểm của MN và
Trang 1UBND HUYỆN KINH MễN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018
MễN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 150 phỳt
( Đề này gồm 5 cõu, 01 trang)
Cõu 1: (2,0 điểm)
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức : A = 2x2 – 3x + 5 với 1
2
x b) Tỡm x, biết: 2 2
x x x
Cõu 2: (2,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c khỏc 0 thỏa món điều kiện:3a b c a 3b c a b 3c
Tớnh giỏ trị biểu thức P = a b b c c a
b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x Chứng minh rằng f(x) cú ớt nhất bốn nghiệm
Cõu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x - 3y +2xy = 4 b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018
là số chính phơng
Cõu 4: (3,0 điểm)
1) Cho ABC cú gúc A nhỏ hơn 900 Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABM và ACN
a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN CM;
b) Kẻ AH BC (H � BC) Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN
2) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B Điểm M nằm bờn trong tam giỏc sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3 Tớnh số đo �AMB?
Cõu 5: (1,0 điểm)
Cho 2016 số nguyờn dương a1, a2, a3 , , a2016 thỏa món :
300
a a a a Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất 2 số trong 2016 số đó cho bằng nhau
- Hết
-Họ và tờn thớ sinh: SBD:
Giỏm thị 1: Giỏm thị 2:
Trang 2UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC
NĂM HỌC : 2017 – 2018 MÔN : TOÁN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 04 trang)
1
(2,0đ)
a (1,0đ).
Vì 1
2
x nên x = 1
2 hoặc x = -
1 2
* Với x = 1
2 thì A = 2.(
1
2)
2 – 3.1
2 + 5 = 4
0,25 0,25
*Với x = - 1
2 thì A = 2.(-
1
2)
2 – 3.(-1
2) + 5 = 7
Vậy A = 4 với x = 1
2 và A = 7 với x = -
1
2.
0,25
0,25
b (1,0đ) vì x2 x 1 0 nên ta có:
* Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6
2
(2,0đ)
a (1,0đ)
Theo bài ra:
(1) víi a, b, c kh¸c 0 ta cã
0,25
= 2c 2a 2b 2 2 2 6
+ NÕu a + b + c = 0 th× a + b = - c; b + c = - a; c + a
= - b
b (1,0đ)
Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) đúng với mọi x nên
*) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9)
0 f(1) = 5 f(9) f( 9) = 0
Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
0,25
Trang 3*) Với x = - 4 thì ta có : -5 f(-4) = 0 f(4) f(-4) = 0
Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25
0,25
3
(2,0đ)
a (1,0đ).
Ta có: x - 3y + 2xy = 4
=> 2x+ 4xy - 6y = 8
=> 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3
=> 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5
=> (2x - 3)(1 + 2y) = 5
0,5
Ta cã b¶ng sau
0,25
V× x, y nguyªn nªn các cặp số nguyên thỏa mãn là:
b (1,0đ)
0,25
Từ đó suy ra : m2 - n2 = 2018 m2 – mn + mn - n2 = 2018
Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m
Trang 4D
K I
H
E F
A M
N a) Xét AMC và ABN, có:
AM = AB ( AMB vuông cân)
MAC BAN (= 90 0 + �BAC )
AC = AN ( ACN vuông cân) Suy ra AMC = ABN (c.g.c) => MC = BN ( 2 cạnh t ứng)
0,25 0,25
Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Vì AMC = ABN (c.g.c)
� �ANI KCI�
mà �AIN KIC� (đối đỉnh) � �KCI KIC � �ANI AIN � 90 0
do đó: MC BN
0,25
b) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: �BAH MAE� = 90 0 (vì MAB� = 90 0 ) (1)
Lại có MAE� �AME= 90 0 (2)
Từ (1) và (2) � �AME BAH�
Xét MAE và ABH, vuông tại E và H, có:
�AME BAH� (chứng minh trên)
MA = AB( AMB vuông cân)
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền - góc nhọn)
� ME = AH
0,25
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA (cạnh huyền - góc nhọn)
Ta có ME// NF (cùng vuông góc với AH)=>�EMD FND� (hai góc so le trong)
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
ME = NF (= AH)
EMD� �FND
� MED = NFD( g.c.g)
� MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D là trung điểm của MN
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25 0,25
MA MB MC
�
Đặt
=> MA = a; MB = 2a; MC = 3a
Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM)
0,25
Trang 5Xét ABK và CBM có:
BM = BK
0,25
Xét tam giác vuông MBK vuông tại B ta có
AM MK a a a a AK
Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông tại M
��AMK 90 0
=> �AMB AMK KMB� � 90 0 45 0 135 0 Vậy �AMB 135 0
0,25 0,25
5
(1,0đ)
Giả sử trong 2016 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau, không mất
tính tổng quát ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016.
Vì a1, a2, a3 , , a2016 đều là các số nguyên dương
nên: a1 � 1;a2 � 2;a3 � 3; ,a2016 � 2016
0,25
Suy ra:
2 3 2016
a a a a
0,25
1 2 4 8 .512 993
1 2 2 2 .2 11 300
Mâu thuẫn với giả thiết Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 2016 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau 0,25
Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Hết
Trang 6-UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán lớp 7 Năm học: 2015 – 2016
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2, 5 điểm)
Trang 71) Tìm x, y biết: 4 4
x y
và x + y = 11 2) Tính giá trị của biểu thức: a3(a + b)(a5 – b5)(a2 – b) tại a = 5, b = 25
3) Tính A =
2 3 4 9 5 7 25 49
125.7 5 14
2 3 8 3
Câu 2 (1,5 điểm)
1) Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x2 - 9
2) Cho đa thức f(x) ax2bxc víi a, b, c lµ c¸c sè nguyên, và a khác 0
Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7
Câu 3 (2, 0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên a,b sao cho: 2a + 37 = | b – 45 | + b - 45
2) Cho a, b, c thoả mãn: a b c
2014 2015 2016 Chứng tỏ: 4(a - b)(b - c) = (c – a)2
Câu 4 (3,0 điểm)
1)Cho tam giác ABC có �B < 900 và �B2C� Kẻ AH vuông góc với BC( H
thuộc BC) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt
AC tại D
a) Chứng minh DH = DC = DA
b) Chứng minh AE = HC
2) Cho tam ABC cân tại A có góc A bằng 1000 Lấy điểm M thuộc miền trong
tam giác ABC sao cho góc MCB bằng 200, góc MBC bằng 100 Tính số đo góc AMB
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: 2x 2y 2z 2336, với x < y < z
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 3 trang)
Điểm thành phần
Tổng điểm
Trang 81
Từ 4 4
x y
�7(x + 4) = 4(7 + y) �7x = 4y � 4 7
x y
4 7
x y = 11 1
11 11
x y
�x = 4 và y =7
0,5 0,5
1,0
2
Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được:
= 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25)
= 53(5 + 25)(55 – 255).(25 – 25)
= 53(5 + 25)(55 – 255).0 = 0
0,25 0,25 0,25
0,75
3
10
12 5 6 2 10 3 5 2
2 4 5
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5 9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
125.7 5 14
2 3 8 3
2 3 2 3 5 7 5 2 7
2 3 3 1 5 7 1 7
2 3 3 1 5 7 1 2
5 7 6
0,25 0,25 0,25
0,75
2
2 – 9 = 0 �x2 = 9 �x�3 Vậy đa thức có hai nghiệm là 3; - 3
0,25 0,25 0,5
2
f(0) = c M 7 c M7
f(1) = a + b + cM7 ; f(-1) = a – b +c M 7
2( a + c ) M7; cM7 aM7
a + b + cM7, c M7, aM7 b M7
0,25 0,25 0,25 0,25
1,0
3
1
Có | b – 45 | + ( b – 45 ) là số chẵn với mọi số tự nhiên b
2a + 37 là số chẵn
2a là số lẻ a = 0 Với a = 0 ta tìm được b = 64
0,25
0,25 0,5
1,0
2
Từ
2014 2015 2016
a b c =
a b b c c a
(a - b)(b – c) = 2
4
c a
4 (a – b) (b - c) = (c - a)2
0,5 0,25 0,25
1,0
Trang 94 Hình vẽ:
1
BEH cân tại B nên � �E H 1 (1)
Ta có �B2C�2E��� �E C (2)
Mà �H1H�2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra �H2 � HDC cân tại DC� �DH =
DC (4) Khẳng định �HAD DHA� vì cùng phụ �H2
� HDA cân tại D �DH = DA (5)
Từ (4) và (5) �DH = DA = DC
0,25
0,25 0,25 0,25
1
2 Lấy B’thuộc BC sao cho H là trung điểm của BB’
'
ABB
cân tại A � �ABB AB B'� ' 2C�
Mà � ' � �
1
AB B A C Vậy � �A C1 �AB C' cân tại B’
�AB’ = B’C
AB = AB’ = CB’
BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE
HC = CB’ + B’H �AE = HC
0,25 0,25 0,25 0,25
1
A
B
C H
E
D
B’
1
Trang 10Vẽ tam giác đều BEM +) Chứng minh: ∆MCB = ∆MCE (c-g-c)
Góc MCA = Góc MCE = 200
C,A,E thẳng hàng
Góc AEM = Góc AME = góc MBC = 100
Góc AMB = 700
0,25
0,25 0,25 0,25
1
5
2x 2y 2z 2336 � 2 1 2x y x 2z x 2 73
Vì 1 2 y x 2z x là số lẻ nên 2x 25 � x5
3
y x z y
Suy ra 2y x 23 � y x 3� y x 3 5 3 8
3
1 2 z y 9 � 2z y 2 �z y 3� z y 3 8 3 11
x = 5 ; y = 8 ; z = 11 (TMĐK)
0,25
0,25 0,25 0,25
1