OLYMPIC TOÁN 8 KINH môn 2016 2017

Chứng minh rằng: abcd là số chính phương.. b Gọi giao điểm của EF với AM là N.. c Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng... UBND HUYỆN KINH MÔNPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM OLY

UBND HUYỆNKINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN - LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề này gồm 5 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8abc

b) Cho abc 2017= Tính giá trị biểu thức:

ab a 2017 +bc b 1 ac 2017c 2017+

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

x 3− ≥ −

−

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn:

2

a b b c c d d a+ + + =

Chứng minh rằng: abcd là số chính phương

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi M là điểm đối xứng của H qua D Gọi I và K là hình chiếu của M trên AB và AC a) Chứng minh rằng: ·AEF CED= ·

b) Gọi giao điểm của EF với AM là N Chứng minh rằng: HN.AD=AN.HD

c) Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho a,b,c là 3 số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

= + + + + + + + +

P

Họ tên thí sinh: SBD:

Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC

NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN LỚP 8

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

1

(2,0đ)

a Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+8abc 1,00

= ab2 + ac2 - 2abc + bc2 + ba2 - 2abc + ca2 + cb2 - 2abc + 8abc 0,25

= (ab2 + ac2 + 2abc) + (bc2 + b2c) + (ca2 + ba2) 0,25

=(b + c)(ab + ac + bc + a2) = (b + c)(a + b)(c + a) 0,25 b

Cho abc 2017= Tính giá trị biểu thức :

ab a 2017 +bc b 1 ac 2017c 2017+

1,00

P

ab a 2017 bc b 1 ac 2017c 2017

ab a abc bc b 1 ac abcc abc

0,50

1

b 1 bc bc b 1 1 bc b

2

1,00

⇔ − +÷  − ÷ + − +÷  + ÷=

3x 90 3x 90 x 30 x 30

0

50 40 20 10

x 30

⇔ =

b

x 1

1

x 3− ≥ −

2x 4 0

x 3 0 2x 4 0

x 3 0

 − ≥



 − >



⇔  − ≤

 − <





0,25

x 3

x 2

>



Vậy bất phương trình có nghiệm là: x > 3 hoặc x ≤ 2 0,25

3

a

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn :

2

a b b c c d d a+ + + =

Chứng minh rằng: abcd là số chính phương

1,00

2

a b b c c d d a+ + + =

a b b c c d d a

0

a b b c c d d a

0,25

0 (a b)(b c) (c d)(d a) b.(c d)(d a) d.(a b)(b c) 0(do a c)

0,25

2 2 abc-acd+bd b d 0 (b d)(ac bd) 0

ac bd 0(do b d) ac=bd

⇔

Nên abcd=(ac)(bd)=(ac)2 là số chính phương (với a, c nguyên dương)

Vậy abcd là số chính phương

0,25

b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0 1,00

Ta có: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0

Từ đó suy ra: x - y - 1 = 0 và y + 2 = 0

Xét VAEB và VAFC có : ·EAB FAC= · ( góc chung),

AEB AFC( 90 )= =

Do đó VAEB VAFC( g.g) AE AB

0,50

Xét VAEF và VABC có : ·EAF BAC= · ( góc chung),

AE AF

AB =AC( vì AE AB

AF = AC)

Do đó VAEF VABC (c.g.c) ⇒ ·AEF ABC= ·

0,25

b Vì ·BEF AEF BED CED( 90 ,BE AC+ · = · + · = 0 ⊥ tại E) nên BEF BED· = ·

Tam giác NED có EB là tia phân giác của góc DEF hay EH là tia phân

giác trong của ·DEN nên theo tính chất đường phân giác ta có :

HD = ED (1)

0,50

Vì EA⊥ EB, EB là tia phân giác trong của ·DEN nên EA là tia phân

giác ngoài tại đỉnh E của VDEN

⇒ = (2) ( Tính chất đường phân giác ngoài)

0,25

Từ ( 1) và (2) suy ra : HN AN

Nên HN.AD AN.HD=

0,25

Do HN.AD AN.HD=

Mà HD = DM nên HN.AD = AN.DM

+

+

AMI

AD = AM nên AF AN

AI = AD ⇒FN / /ID(định lí Talet đảo) Hay ID//FE ( N thuộc FE)

0,25

AMK

AIK

AI = AM = AK ⇒ ( Định lí Talet đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, K, D thẳng hàng

0,25

5 Cho a,b,c là 3 số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

= + + + + + + + +

P

1,00

.

3 4

+

=  + ÷ + + ÷ + + ÷+

P

P

P

1 4

+

a b

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

0,25

+

+

a b c

1 4

+ + +

4 = ; Dấu bằng xảy ra khi a+c=2b

1 4

+ + +

4 = ;Dấu bằng xảy ra khi a+b=2c

0,25

P 3.6 3 15

≥ + ≥ Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 15

2 khi a=b=c

0,25

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN- LỚP 8

Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1

2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0 Tính giá trị biểu thức: 4 2 2

ab C

a b

=

−

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

1) x2 − + + − = 3x 2 x 1 0;

9

8

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0

2) Cho đa thức f(x) = x - 3x + 3x - 4 3 2 Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa

thức f(x) chia hết cho giá trị của đa thức x + 2 2

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O

kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D

1) Chứng minh AB2 = 4 AC.BD;

2) Kẻ OM vuông góc CD tại M Chứng minh AC = CM;

3) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm MH

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z+ + = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 161x+41y+1z

Hết

-UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN- LỚP 8

( Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 3 trang)

1

(2

điểm)

1 (1điểm)

x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + 1

2 (1điểm)

4a2 + b2 = 5ab

⇔(a – b)(4a – b) = 0

0

a b a b

a b a b

0,5

ab a C

a b a a

2

(2

điểm)

1 (1điểm)

* Víi x≥ 1 (*) ta cã ph¬ng tr×nh:

* Víi x < 1 (**) ta cã ph¬ng tr×nh:

x2 -3x + 2 + 1 - x = 0

2 4 3 0 1 3 0

x x x x

+ x - 1 = 0 ⇔ =x 1( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)

+ x - 3 = 0 ⇔ =x 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x = 1

0,25

2 (1điểm)

- Xét x = 0 không phải là nghiệm

- Xét x khác 0

9

8

8

x x x x

0,25

Đặt :

3

x

+ = , ta có phương trình:

8

t −t =

ĐKXĐ x khác 1;-1

2

0,25

2

2

2

2

x x

x x x

=> PT vô nghiệm

0,25

3

(2

điểm)

1 (1điểm)

Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0

 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0

Ta thấy (2x + 2y + 7)2 ≥ 0 nên 4y2 ≤ 9⇔ 2 9

4

y ≤ do y nguyên nên

2

0;1 0;1; 1

Với y = 0 thay vào (*) ta được: ( )2

2x+ 7 = 9 tìm được x∈ − −{ 2; 5}

Với y= 1 thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = 5 - không tìm được x nguyên

Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = 5 - không tìm được x nguyên 0,25

2 (1điểm)

Chia f x( ) cho 2

2

để f x( ) chia hết cho x2 + 2 thì x + 2 chia hết cho x2 + 2

=> (x + 2)(x - 2) chia hết cho x2 + 2

=> x2 - 4 chia hết cho x2 + 2

=> x2 + 2 - 6 chia hết cho x2 + 2

=> 6 chia hết cho x2 + 2

mà x2 + ≥ 2 2

=> x2 + ∈ 2 { }3;6

Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn

Vậy với x = 1 ; x = -2 thì f x( ) chia hết cho 2

2

4

(3

điểm)

Vẽ hình và ghi GT, KL

0,25

1 (1điểm)

OA AC

OA.OB AC.BD

DB OB

2

AB AB

AC.BD AB 4AC.BD

2 2

2 (1điểm)

Theo câu a ta có: ΔOAC ΔDBO (g - g) OC AC

OD OB

:

Mà OA OB OC AC OC OD

OD OA AC OA

+) Chứng minh: ΔOCD ΔACO (c - g - c) : ⇒ OCD ACO· = · 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC MC = (đpcm) 0,5

3 (1điểm)

Ta có ΔOAC = ΔOMC OA OM; CA CM ⇒ = = ⇒ OC là trung trực của AM

⇒OC ⊥ AM

Mặt khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông tại M

⇒OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI

0,25

Do MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: MK BK KH

IC BC AC

Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25

5

(1điểm

)

P=

y x z x z y

x y z

x y z x y z x y x z y z

Theo BĐT Cô Si ta có:16y x+4x y ≥14 dấu “=” khi y = 2x;

z x

x+ ≥z dấu “=” khi z = 4x; 1

4

z y

y+ ≥z dấu “=” khi z = 2y;

⇒ P ≥ 49

16 Dấu “=” xảy ra khi x = 1

7; y = 2

7; z = 4

7 Vậy Min P = 49

16 khi với x = 1

7 ; y = 2

7 ; z = 4

7

0,25 0,25 0,25 0,25

*Chú ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.