Bài 1: Cho hai đường tròn O;R và O’;R’ tiếp xúc ngoài tại A.BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này B, C là các tiếp điểm; B∈O; C∈O’ a CM: Đường thẳng OO’ là tiếp tuyến của đ
Trang 1Bài 1: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A.
BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này( B, C là các
tiếp điểm; B∈(O); C∈(O’))
a) CM: Đường thẳng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính BC.
b) CM: Đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường
thẳng BC
c) Tính BC theo R, R’
d) Giả sử góc BOO’ = 60 0 Hãy tìm hệ thức giữa R, R’
e) Đường tròn(K; m) tiếp xúc với cả hai đường tròn (O);
(O’) và tiếp xúc với BC tại M Tính bán kính m theo R, R’
HD: a) Gọi I là trung điểm của BC Cm: IA = IB = IC
b) Gọi E là trung điểm của OO’ Cm: EI = EO = EO’ Ta cần cm: EI
= ½.OO’ Chú ý tới t/c đường trung bình của hình thang OBCO’
c) Hãy cm: ∆OIO’ vuông tại I => IA2 = OA.O’A Mà BC = 2.IA
=> BC = 2 R R '
d) Vì góc BOO’ = 600 => OB > O’C
Kẻ O’H ⊥ OB tại H Tính được: OH = R – R’
Mặt khác ∆HOO’ vuông, góc HOO’ = 600 => OO’ = 2.OH
Khi đó: R + R’ = 2(R – R’) R = 3R’
e) Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng BC với (K; m)
Theo câu c, ta có: MB = 2 R m ; MC = 2 R m'
Mà: BC = MB + MC 2 R R = 2 ' R m + 2 R m'
=> m = '
' 2 '
R R
R R+ + R R
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
AD BE CF+ + = r
b) Biết CH = AB Hãy tính số đo góc ACB
c) CMR: DE EF FD r
+ +
d) CMR: Nếu AH BH CH
AD = BE = CF thì tam giác ABC đều.
HD:
a) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: SABC = SIBC + SIAB + SIAC
SABC =
2 BC r+2 AB r+2 AC r
=> 1
2 ABC 2 ABC 2 ABC
Mà: SABC = 1 1 1
2 BC AD= 2AB CF =2AC BE
=> đpcm b) Kẻ đường kính AK
Tứ giác BHKC là hình bình hành nên CH = BK Mà: CH = AB(gt)
=> AB = BK => ∆ABK vuông cân tại B
=> góc ACB = góc AKB = 450
c) Hãy cm: OA ⊥ EF; OB ⊥ FD; OC ⊥ DE
Ta có: SABC = SAEOF + SBDOF + SODCE
Mà: SABC=1.( )
2 AB BC AC r+ + (cma); SAEOF = 1 1
2 EF OA=2 EF R
m K H
E A
I
C B
R O
K
I H
F
O E
D
C B
A
Trang 2SBDOF = 1 1 .
2 DF OB= 2 DF R; SODCE = 1 1
2 DE OC =2 DE R
Do đó:
+ +
+ +
d) Gọi S; S1; S2; S3 thứ tự là diện tích các tam giác: ABC; HBC;
HAC; HAB Ta có:
1
1
2
HD BC
−
−
C/m tương tự, ta cũng có: BH 1 S2;CH 1 S3
AD = BE = CF => = = => H là trọng tâm của tam giác
ABC Mà H cũng là trực tâm của tam giác ABC
Vậy: Tam giác ABC đều
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích S và nội tiếp
trong đường tròn (O;R) Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC CMR: r= S R+ 2 −R
HD:
Gọi M, N, P thứ tự là tiếp điểm trên
AB, AC, BC của (I;r)
Tứ giác AMIN là hình vuông nên:
AM = MI = IN = AN = r
Hãy c/m:
AB + AC – BC = 2.AM = 2r
Và: S = ½.(AB + BC + AC).r
Để c/m: r= S R+ 2 −R
Hãy đi c/m: R + r = S R+ 2 (R + r)2 = S + R2
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O;R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi r là bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác
a) CM: Tứ giác BFEC nội tiếp Từ đó, c/m: OA ⊥ EF b) CM: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF c) CMR: Nếu AD + BE + CF = 9r thì tam giác ABC đều.
d) Cho AB = R 2;AC R= 3; tam giác DEF có dạng đặc biệt nào ?
HD:
a) + Tứ giác BFEC nội tiếp + Qua A kẻ tiếp tuyến xy với (O) Hãy c/m: xy // EF để có OA ⊥ EF b) Để c/m: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Hãy đi c/m: EH;
FH thứ tự là các đường phân giác trong của tam giác DEF
c) Gọi a, b, c thứ tự là độ dài 3 cạnh: BC;
AC; AB AD = ha; BE = hb; CF = hc
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: SABC = 1 1( ) 1( )
a
= + + => = + + (Xem c/m bài 2)
Tương tự: h b 1(a b c r h) ; c 1(a b c r)
=> h a h b h c 1 1 1 (a b c r)
a b c
+ + = + + ÷ + +
Hãy c/m bất đẳng thức: 1 1 1 (a b c) 9
a b c
+ + + + ≥
Áp dụng BĐT vào (*), ta có: ha + hb + hc ≥ 9r Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
d) Hãy c/m, với điều kiện: AB = R 2;AC R= 3 => góc ABC =
600; ACB = 450 Từ đó, c/m: tam giác DEF là nửa tam giác đều
Bài 5: Từ điểm I ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến IA,
IB đến (O) Gọi M là trung điểm của IB AM cắt (O) tại A và K CMR:
a) AB 2 = 2.AK.AM b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác IKB tiếp xúc với đường thẳng AB.
R
r P
N M
I
B
A
y x
H
D O
C B
A
O'
x
N
K M B
A
M
F
E
N
B A
Trang 3HD:
a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N
sao cho MN = MA
=> ABNI là hình bình hành
Để c/m: AB2 = 2.AK.AM
⇑
AB 2.AM
⇑
c/m: 2 tam giác ABN và AKB đồng dạng
b) Kẻ Bx là tia tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BIK Hãy c/m: Bx ≡ BA <= góc ABK = góc
xBK
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và điểm N trên cạnh
AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE
cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của EF.
1) CMR:
a) CE = CF
b)Góc ACE = góc BCM và tam giác EAC đồng dạng với tam
giác MBC.
c) Khi điểm N chạy trên cạnh AB nhưng không trùng với A và
B thì trung điểm M của đoạn thẳng EF luôn chạy trên một
đường thẳng cố định.
2)
a) Đặt BN = x Hãy tính SACFE theo a và x
b)Xác định vị trị của N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có
diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD
HD:
1) a) b) Tự chứng minh
c) Hãy c/m: M thuộc đường trung trực của BD
2)
2 CD AE+2 CE CF =2 CD AE+2CE
*Tính AE:
Ta có:
−
+
* Tính CE:
Ta có: CE2 = DE2 + CD2 = ( AD + AE)2 + CD2 = a2 +
4 2
a x
=> SACFE =
3 2
2
a a x x
+
b) Để SACFE = 3SABCD thì N là trung điểm của AB
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 2R Trên cùng một nửa mặt phẳng
bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn (C) tâm O đường kính
AB và hai tiếp tuyến Ax, By với (C) Một đường thẳng d thay đổi cắt Ax, By thứ tự tại M, N( M, N khác A, B) Gọi I là giao điểm của AN và BM.
a) CMR: d là tiếp tuyến của (C) khi góc MON = 90 0 b) Cho d tiếp xúc với (C) tại H Tìm vị trí của d để tứ giác HIBN nội tiếp được trong đường tròn.
c) Trường hợp d tiếp xúc (C) gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MON CMR: 1/3 < 1/R < ½
HD:
Bài 8: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ các tiếp tuyến
Ax và By với đường tròn C là điểm cố định trên đoạn OA M là
Trang 4điểm di động trên đường tròn( M không trùng với A, B) Qua M
kẻ đường vuông góc với CM, cắt Ax tại D và By tại E CMR:
a) Tam giác DCE vuông.
b) Tích AD.BE không đổi.
c) Khi M chạy trên đường tròn thì trung điểm I của DE chạy
trên đường thẳng cố định.
HD:
a) Hãy cm: ADMC; BEMC nội tiếp
=> góc MDC = góc MAC; góc MEC
= góc MBC => góc D + góc E = 900
b) Hãy cm: tam giác ADC đồng dạng tam
giác BCE => AD.BE = AC.BC
c) Hãy cm: OI là đường trung trực của
AB( OI là đường trung bình của hình
thang vuông ABED)
Bài 9: Cho (O;R), đường kính AB, I là trung điểm đoạn OA Tia
It vuông góc với AB, cắt (O) tại C M là điểm di động trên cung
nhỏ BC( M không trùng với B, C) Các đường thẳng AM, BM
lần lượt cắt tia It tại D và E.
a) Chứng minh: ∆ AID ∆AMB
b) Đặt AM = x tính BM, AD theo R, x
c) CMR: Đường tròn ngoại tiếp ∆BDE luôn đi qua một điểm cố
định khi M di động trên (O;R).
Hd:
c) Cm: Tứ giác BODE nội tiếp được
đường tròn
Bài 10: Cho tam giác đều ABC, cạnh bằng a Trên các cạnh AB,
BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF = x
( 0 < x < a).
a) Cm: ∆DEF đều.
b) Với giá trị nào của x thì BDFC là tứ giác nội tiếp ? c) Với giá trị nào của x thì diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác DEF ?
Hd:
a) cm: ∆ADF = ∆BED = ∆CFE b) BDFC là tứ giác nội tiếp
góc B + góc DFC = 1800
góc CFE = 600
∆CFE đều CF = FE = CE = x
x = a/2 c) SDEF = SABC – 3.SADF
ADF ABC
−
=> S ADF x a x( 2 ).S ABC
a
−
= => S DEF S ABC x a x( 2 ).S ABC
a
−
Để SABC = 3.SDEF S ABC 3(S ABC x a x( 2 ).S ABC)
a
−
x = 2a/3
Bài 11: Cho ∆ ABC có góc C < góc B < 90 0 Gọi M là trung điểm của BC; AH, AD lần lượt là đường cao, phân giác kẻ từ đỉnh A của ∆ABC CM: D ở giữa H và M.
Hd: Để cm: D ở giữa H và M, ta cần
Cm: H ở giữa B và M; D ở giữa H
và C; D ở giữa B và M
Bài 12: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M
di động trên đường tròn này Gọi H là hình chiếu của M trên AB Tìm vị trí của M để diện tích ∆ MOH lớn nhất.
Hd:
dùng bất đẳng thức Cosi cho: MH; OH
I
C
E
D M
y x
A
M D
E t
C
x x
x
C B
A F
E D
H D
A
B
H
M
B O
A
Trang 5Bài 13: Cho (O) và điểm I cố định nằm bên trong đường tròn ( I
khác O) Dựng qua I hai dây cung bất kì AB và CD.
a) CM: IA 2 + IB 2 ≥ 2.IC.ID
b) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC, ID.
CM: tứ giác A’C’B’D’ là tứ giác nội tiếp.
c) Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn
vuông góc với nhau tại I Xác định vị trí các dây cung AB và CD
sao cho tứ giác A’C’B’D’ có diện tích lớn nhất.
Hd:
a, b tự làm
c) Kẻ OK ⊥ AB; OH ⊥CD
=> AK = BK; CH = HD
=> AB = 2.AK; CD = 2.CH
Vì AB ⊥ CD tại I
=> SA’C’B’D’ = ½.A’B’.C’D’
Mà: A’B’ = ½.AB
C’D’ = ½.CD
Vậy: SA’C’B’D’ = 1/8.AB.CD (*)
Ta có: AB.CD ≤ (AB2 + CD2)/2
AB2 = 4.AK2 = 4(OA2 – OK2)
= 4(R2 – OK2)
Tương tự: CD2 = 4(R2 – OH2)
=> AB2 + CD2 = 8R2 – 4(OH2 + OK2) = 8R2 – 4.OI2
=> SA’C’B’D’ ≤ 1/16.(8R2 – 4OI2)
Dấu “=” xảy ra khi AB = CD OH = OK OHIK là hình vuông
Khi đó: IO là tia phân giác của góc BID
Vậy: SA’C’B’D’ lớn nhất khi AB, CD tạo với IO hai góc bằng nhau và
bằng 450
Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AD và CB = CD.
a) CMR: ABCD là tứ giác ngoại tiếp.
b) CMR: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi AB và
BC vuông góc.
c) Khi ABCD là tứ giác nội tiếp, gọi d là khoảng cách giữa hai tâm và R, r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của
tứ giác CMR: d 2 = R 2 + r 2 - r 2 2
4R +r
Hd:
a) Hãy cm: các tia phân giác của góc
A, góc B, góc C cắt nhau tại 1 điểm
Xét 2 trường hợp:
Th1: Nếu AB = BC
Vì AB = AD; CB = CD => AC là phân giác của góc A, góc C Gọi I là giao điểm của tia phân giác
của góc B với AC => AI; CI là các tia phân giác Hình a
của góc A, C Th2: Nếu AB ≠ BC Không mất tính tổng quát, giả sử AB < BC
=> AD < DC Lấy M, N trên CB, CD sao cho BM = BA; DN = AD
=> BM = DN Khi đó các đường phân giác của B, C, D chính là các đường trung trực của tam giác AMN nên chúng cắt nhau tại O b) Cần c/m:
Th 1: ABCD có: AB = AD; CB = CD; ABCD nội tiếp => AB ⊥ BC
Th 2: Tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD; AB ⊥ BC => ABCD
là tứ giác nội tiếp
c) Tự giải
B'
D' A' C'
D
C
B
C I
D B
A
