Tài liệu Tuyển chọn các bài toán điển hình luyện thi đại học pdf

a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng AB0C0 c Tính thể tích khối chóp S.A0B0C0 2.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặ

Trang 1

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(Tài liệu tự ôn tập)

LÊ TRUNG TÍN

Thành viên nhóm Administrators diễn đàn toán học boxmath.vn

Email: letrungtin87@gmail.com

1 Khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan: (Bổ sung sau)

2 Phương trình lượng giác:

1 Giải các phương trình sau:

(a) sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1 = 0

(b) 6(sin x − cos x) − sin x cos x − 6 = 0

(c) sin3+ cos3x = 2(sin x + cos x) − 1

(d) sin3x + cos3x = 1

(e) 1 + sin3x + cos3x = 3 sin 2x2

(f) sin3x + cos3x = sin 2x + sin x + cos x

(a) sin x − sin 3x + 2 sin 5x = 0

(b) cos4x

3 = cos

2x

(c) 8 cos3x +π

3

= cos 3x (d) sin3x + cos3x = 1 −1

2sin 2x (e) 2 cos3x + sin x + 1 = 2 sin2x

(f) 8 sin x =

√ 3 cos x +

1 sin x (g) tan2x = 1 − cos

3x

1 − sin3x

(a) (2 cos 2x + 1)(sin 2x − cos 2x + 1) = 2(cos x + sin x)

(b) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3

2 (c) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1

(d) sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0

(a) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

(b)

(1 + sin x + cos 2x) sin

x +π 4

1

√

2cos x (c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0

(d) sin3x −√3 cos3x = sin x cos2x −√3 sin2x cos x

(e) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x

(f) (1 − 2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 − sin x) =

√ 3

(g) 1 + sin 2x + cos 2x

1 + cot2x =

√

2 sin x sin 2x (h) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

Trang 2

3 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số:

3.1 Phương trình vô tỷ:

3.1.1 Phương pháp nâng lũy thừa:

Giải các phương trình sau:

1

r

x2− 7

x2 +

r

x − 7

x2 = x

2 √3

2x − 1 +√3

x − 1 =√3

3x + 1

3 √1 + x2 = 1−x3x

4

r

x3+ 1

x + 3 −

√

x + 1 =√x2− x + 1 −√x + 3

3.1.2 Phương pháp đưa về tích:

1 2x + (4x2− 1)√1 − x2 = 4x3+√1 − x2

2 √4

x = 3

8 + 2x

x + 4√x + 4 = 12

3.1.3 Phương pháp trục căn thức:

1 √2x − 1 +√x + 2 =√x + 6 + 3

2 √2x2+ x + 9 +√2x2− x + 1 = x + 4

3 2√3x + 4 + 3√5x + 9 = x2+ 6x + 13

3.1.4 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số:

(a) √x + 1 +√8 − x +p(x + 1)(8 − x) = 3

(b) px −√x2− 1 +px +√x2− 1 = 2

(c) x2+ 2x

r

x − 1

x = 3x + 1 (d) 3√2 + x − 6√2 − x + 4√4 − x2= 10 − 3x

2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

(a) 2(x2− 2x) +√x2− 2x − 3 − m = 0

(b) m(√3x − 2 +√x − 1) = 4x − 9 + 2√3x2− 5x + 2

3 Cho phương trình√x + 3 +√6 − x +p(x + 3)(6 − x) = m

(a) Giải phương trình khi m = 3;

(b) Tìm m để phương trình có nghiệm;

(c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m(p1 + x2−p1 − x2+ 2) = 2p1 − x4+p1 + x2−p1 − x2

Trang 3

3.1.5 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp:

1 2(x2+ 1) = 5√x3+ 1

2 x2− 7x + 1 = 4√x4+ x2+ 1

3 2x2− 5x + 22 = 5√x3− 11x + 20

4 x3− 3x2+ 2p(x + 2)3= 6x

5 (x + 3√x + 2)(x + 9√x + 18) = 168x

3.1.6 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

(a) √x3+ x2+ 2 +√x3+ x2− 1 = 3

(b) 4

x +

r

x − 1

x = x +

r 2x − 5 x (c) 3x2− 4x − 15 = 2√2x2− 2x − 5

(d) √4x + 5 = 2x2− 6x − 1

(e) √3

3x − 5 = 8x3− 36x2+ 53x − 25

(f) x3+ 1 = 2√3

2x − 1

2 Tìm để các phương trình sau có nghiệm:

(a) √x +√4 − x = m

(b) √3

1 − x +√3

1 + x = m 3.1.7 Phương pháp hằng số biến thiên, tham số biến thiên:

1 x2+√x + 5 = 5

2 9x2+ 3(2x − 1)√9 − x − 10x + 11 = 0

3 (x + 1)√x2− 2x + 3 = x2+ 1

4 x3+ 6x2− 2x + 3 = (5x − 1)√x3+ 3

(a) √4x − 1 +√4x2− 1 = 1

(b) (4x − 1)(√x + 3 +√3

3x + 5) = 4x + 8 (c) √3

x3− 12x + 17 = −3x2+ 16x − 19

(d) (9x + 1)√9x − 1 = 8x3+ 20x2− 41x + 5

p

x2− x + 1 +px2+ x + 1 = m

x√x +√x + 12 = m(√5 − x +√4 − x)

Trang 4

3.2 Bất phương trình vô tỷ:

3.2.1 Phương pháp nâng lũy thừa

Giải các phương trình sau

1 √1 + x +√1 − x ≤ x

2 √x + 3 >√x − 9 +√5 − x

3 √3x2+ 6x > x

4 √3

2x + 1 +√3

6x + 1 >√3

2x − 1

1 Giải các phương trình sau

(a) √5x2+ 10x + 1 ≥ 7 − x2− 2x

x + 1−

r x + 1

x > 3 (c) (x + 1)(x + 3) ≤√x2+ 4x + 5

2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2; −2 +√3]:

(x + 1)(x + 3) ≤ m(px2+ 4x + 5)

3 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6]:

p (4 + x)(6 − x) ≤ x2− 2x + m

1 Giải bất phương trình

(a) √x + 1 +√2x + 3 > 5

(b) √4

15 + x −√4

2 − x > 1 (c) √x2− 2x + 3 −√x2− 6x + 11 >√3 − x −√x − 1

(d) x3− 5x2+ 6x + 2 ≤ √3

2x2− 2x − 4

2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

√ 4x − 2 +√16 − 4x ≤ m

Giải các bất phương trình sau

1 px −√x2− 1 +px +√x2− 1 ≤ 2

2− 13x + 38

√

2x2− 10x + 44 +√3x + 6 ≤ 4 − x

3 (x2+ 4)√2x + 4 ≤ 3x2+ 6x − 4

√ x

1 −p2(x2− x + 1) ≥ 1

√

x + 3

2√x + (2 +√x)√1 − x + 1 − x ≥ 1

Trang 5

3.3 Hệ phương trình đại số:

3.3.1 Sử dụng phép biến đổi đại số và thế:

Giải các hệ sau:

1

(

5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = 0

xy(x2+ y2) + 2 = (x + y)2

2

(

x4+ 2xy + 6y − (7 + 2y)x2 = −9

2x2y − x3 = 10

3

(

y3− 7x3− 6xy2+ 12x2y = 3x2− 3x + 1

y2− 4x − 5 = 0

4

(

x3+ y3 = 9

x2+ 2y2 = x + 4y

5





1

x +

1

2y = (x

2+ 3y2)(3x2+ y2) 1

x −

1

2y = 2(y

4− x4)

6

(

x3+ 3xy2 = −49

x2− 8xy + y2 = 8y − 17x

7

(

9y3(3x3− 1) = −125

45x2y + 75x = 6y2

8

(

−x2y + 2xy2+ 3y3− 4(x + y) = 0

xy(x2+ y2) − 1 = 3xy − (x + y)2

9

(

x2− 2xy + x + y = 0

x4− 4x2y + 3x2+ y2= 0

10

(

2x3− 9y3 = (x − y)(2xy + 3)

x2− xy + y2 = 3

11

(

x3+ y3 = 1

x5+ y5 = x2+ y2

12

(

x3+ y3 = 1

x3+ y4 = x4+ y3

13

(

x2+ y2 = 1

(2x2− 1)(2x3+ y3) = (2y2− 1)(2y3+ x3)

14

(

x4+ 2x3y + x2y2= 2x + 9

x2+ 2xy = 6x + 6

Trang 6

3.3.2 Sử dụng phép đặt ẫn phụ:

Giải các hệ sau:

1





x + 1

x + y +

1

y = 5

x2+ 1

x2 + y2+ 1

y2 = 9 2

(

x + y + x2+ y2 = 8

xy(x + 1)(y + 1) = 16

3

(

(x2+ x + 1)(y2+ y + 1) = 3

(1 − x)(1 − y) = 6

4

(

(x3+ x2+ x + 1)(y3+ y2+ y + 1) = 60

x + xy + y = 5

5





x + y + x

y +

y

x = 4

x + y + x

2

y2

x = 4

6





8(x2+ y2) + 4xy + 5

(x + y)2 = 13

x + y = 1

7





x2+ y + x3y + xy2+ xy = −5

4

x4+ y2+ xy (1 + 2x) = −5

4

8







x2+ y2+x

2

y2 = 9

xy3+ 4y2 = x2+ xy

9





3(x2+ y2) + 1

(x − y)2 = 2(10 − xy)

x − y = 5 10

8x3y3+ 27 = 18y3

4x2y + 6x = y2

11







x(x + 1) +1

y

1

y + 1

= 4

x3y3+ x2y2+ xy + 1 = 4y3

12





(x + y)(1 + 1

xy) = 5 (x2+ y2)(1 + 1

x2y2) = 49

Giải các hệ sau

1

(

(17 − 3x)√5 − x + (3y − 14)√4 − y = 0

2√2x + y + 5 + 3√3x + 2y + 11 = x2+ 6x + 13

Trang 7

(

3

√

x −√3

y = y − x

√

1 − x2+ y = 2y√2 − 2x2

3

(

x5+ xy4 = y10+ y6

√

4x + 5 +py2+ 8 = 6

4

(

x2 =√y − 1 + 2x − 1

y2 =√x − 1 + 2y − 1

4 Tích phân và ứng dụng: (Bổ sung sau)

5 Hình học không gian tổng hợp:

1 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B0 là trung điểm của SB, C0 là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SAC

(a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

(b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB0C0)

(c) Tính thể tích khối chóp S.A0B0C0

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 600 Tính tang của góc hợp bởi giữa hai mặt (SAB) và (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

3 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Tính thể tích hình lập phương có một mặt thuộc mặt đáy của hình chóp còn mặt đối diện có các đỉnh nằm trên cạnh của hình chóp

4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA ⊥ (ABCD), SB = a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α

(a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α

(b) Tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt đáy phẳng (ABCD) và SH = a√3 Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

6 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm của tam giác A0BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a, hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng (ABCD) thuộc cạnh AC, AC = 4AH Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a

8 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA0 = 2a, A0C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của AM và A0C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

9 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =

a, AC = a√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC

(a) Tính theo a thể tích của khối trụ, và thể tích khối chóp A0.ABC, A0.BCC0B0

(b) Tính khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng A0ACC0

(c) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA0, B0C0

Trang 8

(d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B0C0.

10 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h Xét hình trụ nội tiếp trong lăng trụ này, nghĩa là hình trụ có hai đường tròn đáy, mỗi đường tròn nằm trên mặt đáy của lăng và tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy

(a) Tính thể tích khối hình trụ nội tiếp đó

(b) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng A0I cắt hình trụ nói trên theo một đoạn thẳng Tính

độ dài đoạn thẳng này

6 Bất đẳng thức, cực trị của hàm nhiều biến:

6.1 Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

1 Cho x, y là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (x + y)

3

xy2

2 Cho x ∈ [0; 3], y ∈ [0; 4]là số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = (3 − x)(4 − y)(2x + 3y)

3 Cho x, y, z là số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = √3a + b +√3b + c +√3

c + a

4 Cho x, y, z là số thực không âm thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 6x2+ 6y2+ 2z2

5 Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2x + 3y + 6

x +

10 y

6 Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x2+ y2 + 1

xy + 4xy

7 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x2+ y2+ z2 + 1

xy +

1

yz +

1 zx

8 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x x

2 +

1 yz

+ y y

2+

1 zx

+ z z

2 +

1 xy

(Đại học khối B, năm 2007)

9 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

P = p3

2x + y +p3

2y + z +√32z + x

Trang 9

10 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = 10x2+ 10y2+ z2

11 Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 + b2 + b

1 + c2 + c

1 + a2

2

a + 2b2 + b

2

b + 2c2 + c

2

c + 2a2

2

a + 2b3 + b

2

b + 2c3 + c

2

c + 2a3

2

b2+ 1+

b2

c2+ 1+

c2

a2+ 1

2

b2+ a+

b2

c2+ b +

c2

a2+ c 6.2 Sử dụng bất đẳng thức bunhicốpski

1 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

r

a2+ 1

b2 +

r

b2+ 1

c2 +

r

c2+ 1

a2

2 Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x2+ 2y2+ z2

3 Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 36x2+ 16y2= 9 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = y − 2x + 5

4 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

r

a2+ 1

a2 +

r

b + 1

b2 +

r

c + 1

c2

5 Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 3x − 4y = 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3x2+ 4y2

6 Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x + 3y + 5z

Trang 10

7 Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤ 4

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x + y + z

8 Cho a, b, c là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x2+ y2+ z2

9 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

xy + 2 +

1

xy + 2+

1

yz + 2+

1

zx + 2

10 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

xy + y2 +p y

yz + z2 +√ z

zx + x2

11 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a2 + 1

b2 + 1

c2 + 1

ab+

1

bc+

1 ca

12 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn√ab +√bc +√ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

a + b+

b2

b + c +

c2

c + a

1 Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a4+ b4+ c4− 2(a3+ b3+ c3) − 6

1 + bc+

b

1 + ca +

c

1 + ab

P = 1

a+

1

b +

1

c −

1

a + b+

1

b + c +

1

c + a

4 Cho a, b, c ≥ −3

4 là các số thực thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a2+ 1+

b

b2+ 1+

c

c2+ 1

5 Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (b + c − a)

2

(b + c)2+ a2 + (c + a − b)

2

(c + a)2+ b2 + (a + b − c)

2

(a + b)2+ c2

(b + c)2 + b

(c + a)2 + c

(a + b)2

Trang 11

7 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 − ab+

1

1 − bc +

1

1 − ca

8 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2x + 3y +

y

y + z +

z

z + x

9 Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4 a3

b3 + b

3

a3

− 9 a2

b2 + b

2

a2

10 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3(a2b2+ b2c2+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2pa2+ b2+ c2

11 Cho các số thực a.b thay đổi và thỏa mãn (a + b)3+ 4ab ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3(a4+ b4+ a2b2) − 2(a2+ b2) + 1

12 Cho các số thực không âm a.b thay đổi và thỏa mãn a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (4a2+ 3b)(4b2+ 3a) + 25ab

13 Cho hai số thực a.b thay đổi và thỏa mãn a2+ b2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2+ 6ab)

1 + 2ab + 2b2

14 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a3+ b3+ c3− 3abc

15 Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn a + b + c ≤ 3

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

r

a2+ 1

b2 +

r

b2+ 1

c2 +

r

c2+ 1

a2

16 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ 3

2 Chứng minh rằng

x + y + z + 4 1

x +

1

y +

1 z

≥ 51 2

17 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ 3

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + y + z + 1

xyz

18 Cho x, y là các số thực khác 0 thay đổi và thỏa mãn (x + y)xy = x2+ y2− xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x3 + 1

y3

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	213,84 KB