MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ ÁP DỤNG

Tính cấp thiết của đề tài Trong toán học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không chỉ là những đốitượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng dụngvào nhiều lĩnh v

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Đà Nẵng – Năm 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Phan Thị Hạnh

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 2

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 3

CHƯƠNG 1 4

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 4

1 2 HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU 6

1 2 1 Hàm đơn điệu 6

1 2 2 Hàm tựa đơn điệu 15

1 3 HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM 18

1 3 1 Các tình chất cơ bản của hàm lồi 18

1 3 2 Hàm tựa lồi và tựa lõm 26

CHƯƠNG 2 29

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM 29

2 1 BẤT ĐẲNG THỨC HÀM JENSEN 29

2 1 1 Cơ sở lý thuyết 29

2 1 2 Một số bài toán liên quan 31

2 2 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA 38

2 2 2 Một số bài toán liên quan 42

2 3 BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC 45

2 3 1 Cơ sở lý thuyết 45

2 3 2 Một số bài toán liên quan 46

CHƯƠNG 3 61

MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN 61

3 1 BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG 61

3 1 1 Cơ sở lý thuyết 61

3 1 2 Một số bài toán liên quan 62

3 2 MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AG 63

3 2 1 Định lý về các giá trị trung bình cộng và nhân 63

3 2 2 Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức 65

KẾT LUẬN 78

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong toán học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không chỉ là những đốitượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng dụngvào nhiều lĩnh vực khác nhau

Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn tronggiáo trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông Nó làmột đề tài thường xuyên có mặt trong các đề thi toán, trong các kỳ thi tuyểnsinh quốc gia cũng như các kỳ thi tuyển sinh Olympic về toán ở mọi cấp

Đối với chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đềkhó, và khó hơn cả với học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Các bài toán vềbất đẳng thức khá đa dạng và có thể chứng minh bằng nhiều phương phápkhác nhau Vì vậy việc giải các bài toán bất đẳng thức đòi hỏi phải vận dụngkiến thức một cách linh hoạt, có tính sáng tạo, người học cần khéo léo sửdụng các kỹ thuật đề đưa bài toán đến kết quả nhanh nhất Học sinh thườnggặp khó khăn trong việc định hướng cách giải trong các bài toán bất đẳngthức Do đó, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng

là vấn đề chúng ta cần quan tâm Với ý tưởng này, tôi chọn cho mình đề tài “Một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng”

Đề tài sẽ đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải các bàitoán bất đẳng thức hàm một cách rõ ràng, cụ thể

2 Mục tiêu nghiên cứu

Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa và phân loại một số lớp bất đẳng thứchàm để áp dụng giải các bài toán sơ cấp khó, hay gặp trong các kỳ thi vào lớpchuyên, đại học và thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế như: chứngminh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình

Hệ thống các bài toán về một số lớp bất đẳng thức hàm, phân dạng vànêu áp dụng của chúng.

Nắm được một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo ra các bất đẳngthức mới từ bất đẳng thức đã biết

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các bất đẳng thức liên quan đến cáclớp hàm như: bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu và hàm tựa đơn điệu,hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm, bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàmKaramata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác và các áp dụng liên quan

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình củaGS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tạp chí toán học, và một số chuyên đề vềbất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp tự nghiên cứu các tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thôngtrung học, các tài liệu tham khảo về bất đẳng thức, tạp chí toán học tuổi trẻ,các đề tài nghiên cứu có liên quan …

Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư liệu vàtiếp cận hệ thống

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn này dành để trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm và ápdụng

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương và danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1, dành để trình bày cơ sở lý thuyết (đặc biệt bất đẳng thứchàm Cauchy, hàm đơn điệu và tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm) sẽdùng đến trong các chương sau

Chương 2, trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức

hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tamgiác.

Chương 3, trình bày một số áp dụng vào giải bài toán liên quan (đặcbiệt bất đẳng thức AG suy rộng và một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thứcAG)

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Đề tài đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải một sốlớp bất đẳng thức hàm Giải quyết hàng loạt các bài toán chứng minh bất đẳngthức khó ở trung học phổ thông

cả với học sinh chuẩn bị thi vào các trường đại học.

Định lý 1 1 (Xem [3]) Với mọi bộ số ( ),( )x i y i ta luôn có bất đẳng thức sau

Dấu đẳng thức trong (1 4) xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số ( )x i và ( )y i tỷ lệ

với nhau, tức tồn tại cặp số thực ,α β không đồng thời bằng 0, sao cho

0, 1,2, ,

i i

Bất đẳng thức (1 4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacovski, Cauchy- Schwarz hoặc Cauchy-Bunhiacovski).

Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể được suy trực tiếp từ đồng nhất thức Lagrange sau đây

Định lý 1 2 (Lagrange) (Xem [3]) Với mọi bộ số( , )x y , ta luôn có đồng i i

Nhận xét rằng, từ đồng nhất thức này ta thu được bất đẳng thức sau đây

Hệ quả 1 1 Với mọi bộ số dương ( , )x y , ta luôn có bất đẳng thức sau i i

2(a b+ ≥) ( a+ b) ,hay

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu tăng trên I(a,b)

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x x1, 2∈I a b( ), , ta đều có

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a,b).

Ngược lại, khi

thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a,b)

Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a,b) được gọi là hàm đồngbiến trên I(a,b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a,b) được gọi là hàmnghịch biến trên tập đó

Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn đểnhận biết khi nào thì một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a,b) là mộthàm đơn điệu trên khoảng đó

Định lý 1 3 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên khoảng (a,b)

(i) Nếu f x'( ) 0> với mọi x∈( , )a b thì hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng

Định lý 1 4 Hàm ( )f x xác định trên ¡ là một hàm số đợn điệu tăng khi và+chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a a1, , ,2 a n và x x1, , ,2 x n, ta đều có

Lấy tổng theo j (j=1,2,…,n) từ (1 6), ta thu được (1 5)

Ngược lại, với n=2, từ (1 5), ta có

( ) ( ) (1 ) ( ), , 0

f x +ε f h ≤ +ε f x h+ ∀ε h> (1 7)Khi ε →0 ta thu được (f x h+ ≥) f x( ), hay ( )f x là đồng biến W

biến Thật vậy chỉ cần chọn hàm ( )g x có tính chất

0<g x( )∈£ ¡( +),∀ ∈x ¡ và max ( ) 2min ( ),+ g x ≤ g x

ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1 9) được thỏa mãn Chẳng hạn, ta thấy hàm số

( ) 3 sin( ),

g x = + x x∈¡ ,+thỏa mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1 9) Tuy nhiên,hàm ( )g x không là hàm đơn điệu tăng trên ¡ +

Nếu bổ sung thêm điều kiện: g x( ): f x( )

= đơn điệu giảm trên ¡ +

Nhận xét rằng, trong số các hàm số sơ cấp một biến thì hàm tuyến tính

( )

f x =ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tínhđồng biến ( khi a>0) và nghịch biến ( khi a<0) trong mỗi khoảng tùy ý chotrước Đặc trưng sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức

( ): f x

g x

x

= là một hàm hằng trên ¡ + WTiếp theo, ta nêu một số tính chất của hàm đơn điệu để ước lượng một

số tổng và tích phân

Định lý 1 9 (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng ( )f x là một hàm đơn điệu

giảm trên (0,+∞) Khi đó, ta luôn có

Khi ( )f x là hàm ngịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, ( ) f x là một hàm đơn điệu giảm, nên ta

Định lý 1 10 Giả thiết rằng ( )f x là một hàm đồng biến trên [0,+∞) và

Chứng minh Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diện tích tạo

bởi đường cong y f x= ( ) và x g y= ( )với diện tích hình chữ nhật tạo bởi

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f a( ) =b

Chứng minh Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x=0,x a y= ; =0,y b= thì

S ab= Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi'

0, , 0, ( )

x= x=α y= y f= α , thì S'=α αf( ) Trong cả hai trường hợp ( )f a ≤b

hoặc (a) bf > , ta đều có S S1+ ≥ −2 S S' Do đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f a( ) =b W

Định lý 1 12 Cho hàm số ( )f x liên tục và nghịch biến trên [0, ], b a∀ ∈[0, ]b Khi đó, ta luôn có

Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a b= hoặc a=0.

Thật vậy, nếu tồn tại c∈(0, )b sao cho

Mà δ ξ> , điều này trái với giả thiết rằng ( )f x là hàm số nghịch biến trong

(a,b) Vậy, không xảy ra dấu đẳng thức

Hệ quả 1 7 Nếu b=1 và ( )f x liên tục và nghịch biến trên [0,1]

Định lý 1 13 (Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev) Giả sử ( )f x và ( ) g x là hai

hàm đơn điệu tăng và ( )x k là một dãy đơn điệu tăng:

Chứng minh Theo giả thiết thì

1 2 2 Hàm tựa đơn điệu

Ta nhắc lại tính chất quen biết sau đây

Giả sử hàm số f x xác định và đơn điệu tăng trên ( , )( ) I a b Khi đó với

khi f x là một hàm đơn điệu giảm trên ( , )( ) I a b

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn, chẳng hạn như:

≤ ⇔ ≤ ∀ >

f x f x x x x x mà x1+x2≤1,

thì không nhất thiết f x phải là một hàm đơn điệu tăng trên (0,1).( )

Ví dụ, với hàm số ( ) sinf x = πx, ta luôn có khẳng định sau đây

Bài toán 1 1 Nếu A B C, , là các góc của ABC∆ thì

sinA≤sinB⇔ ≤A B (1 20)Như vậy, mặc dù hàm ( ) sinf x = πx không đồng biến trong (0,1), ta vẫn có bất đẳng thức (suy từ ( 1 20 ) ), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong (0,1):

sinπx ≤sinπx ⇔ ≤x x, ∀x x, >0 mà x1+x2≤1

Ta đi đến định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1 1 Hàm số f x xác định trong (0, ) (0,( ) b ⊂ +∞) được gọi là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

< ⇔ < ∀ >

f x f x x x x x mà x1+x2<b (1 21)Tương tự ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước

Định nghĩa 1 2 Hàm số f x xác định trong (0, ) (0,( ) b ⊂ +∞) được gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

< ⇔ > ∀ >

f x f x x x x x mà x1+x2<b.(1 22)

Bài toán 1 2 Mọi hàm f x tựa đồng biến trong (0, ) (0,( ) b ⊂ +∞) đều đồng

biến trong khoảng (0, )

Hệ thức (1 23) cho ta điều chứng minh W

Bài toán 1 3 Giả thiết rằng hàm ( )h x đồng biến trong khoảng (0, ]

là hàm số tựa đồng biến trong khoảng (0, ).b

Định lý 1 14 (Xem [3]) Mọi hàm f x xác định trong (0, ) (0,( ) b ⊂ +∞) và thỏa mãn các điều kiện:

( )i ( ) f x đồng biến trong khoảng (0, ),

đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho

Chứng minh Khi hàm ( ) f x tựa đồng biến trong (0, ) b thì theo bài toán, hàm

1 3 HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM

1 3 1 Các tình chất cơ bản của hàm lồi

Định nghĩa 1 3 (Xem [3]) Hàm số ( )f x được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên

tập [ , )a b ⊂¡ nếu với mọi ∀x x1, 2∈[a, )b và với mọi cặp số dương ,α β cótổng α β+ =1, ta đều có

f αx +βx ≤α f x +βf x (1 24)Nếu dấu đẳng thức trong (1 24) xảy ra khi và chỉ khi x1= x2 thì ta nóihàm số ( )f x là hàm lồi thực sự (chặt) trên [a,b)

Hàm số ( )f x được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập [ , ) a b ⊂¡ nếu

Tương tự, ta cũng có định nghĩa về hàm lồi (lõm) trên các tập( , ),( , ]a b a b và [a,b] Về sau, ta sử dụng kí hiệu I (a,b) là nhằm ngầm định

một trong bốn tập hợp ( , ),( , ],[a,b)a b a b và [a,b]

Chú ý rằng, đôi khi ta chỉ nói về tính lồi của một hàm số mà không nóitới hàm đó lồi trên tập I(a,b) một cách cụ thể như đã nêu ở trên

Nhận xét rằng, khi x1<x2 thì x=αx1+βx2 vói mọi cặp số dương ,α β có

Về sau, ta thường quan tâm và nói nhiều đến các tính chất của hàm lồitrên I(a,b) Bạn đọc tự ngầm hiểu và phát biểu cũng như thực hiện các phéptính tương ứng cho trường hợp hàm lõm trên I(a,b).

Tính chất 1 1 Nếu ( )f x lồi (lõm) trên I(a,b) thì ( ): g x =cf x( ) là hàm lõm(lồi) trên I(a,b) khi c<0 (c>0)

Tính chất 1 2 Tổng hữu hạn các hàm lồi trên ( , )I a b là một hàm lồi trên

( , )

I a b

Tính chất 1 3 Nếu ( )f x là hàm số liên tục và lồi trên ( , ) I a b và nếu ( ) g x

lồi và đồng biến trên tập giá trị của ( )f x thì ( ( )) g f x là hàm lồi trên ( , ) I a b Chứng minh

Thật vậy, theo giả thiết, ( )f x là hàm số liên tục trên ( , ) I a b nên tập giá

trị của nó cũng là một tập dạng ( , )I c d ⊂¡ Theo giả thiết ( )f x là hàm lồi

trên ( , )I a b nên với mọi x x1, 2∈(a, )b và cặp số ,α β có tổng α β+ =1, ta đềucó

( )i Nếu ( ) f x là hàm số liên tục và lõm trên ( , ) I a b và nếu ( ) g x lồi và

nghịch biến trên tập giá trị của ( )f x thì ( ( )) g f x là hàm lồi trên ( , ) I a b

( )ii Nếu ( ) f x là hàm số liên tục và lõm trên ( , ) I a b và nếu ( ) g x lõm

và đồng biến trên tập giá trị của ( )f x thì ( ( )) g f x là hàm lõm trên ( , ) I a b

( )iii Nếu ( ) f x là hàm số liên tục và lồi trên ( , ) I a b và nếu ( ) g x lõm và

nghịch biến trên tập giá trị của ( )f x thì ( ( )) g f x là hàm lõm trên ( , ) I a b

Tính chất 1 5 Nếu ( )f x là hàm số liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc

nghịch biến) trên ( , )I a b và nếu ( ) g x là hàm ngược của ( ) f x thì ta có các kết

luận sau:

( )i ( ) f x lõm, đồng biến ⇔g x( ) lồi, đồng biến,

( )ii ( ) f x lõm, nghịch biến ⇔ g x( ) lõm, nghịch biến,

( )iii f x lồi, nghịch biến ( ) ⇔ g x( ) lồi, nghịch biến

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ tính chất của hàm ngược: hàm ngược luôn

luôn cùng đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) với hàm xuất phát

Tính chất 1 6 Nếu ( )f x là hàm số khả vi trên ( , ) I a b thì ( ) f x là hàm lồi

trên ( , )I a b khi và chỉ khi f x là hàm đơn điệu tăng trên ( , )'( ) I a b

' 2 11

( ) ( )( ) f x f x

là hàm đơn điệu tăng

Ngược lại, giả sử f x là hàm đơn điệu tăng và'( )

Về sau, ta thường dùng các tính chất sau đây

Định lý 1 15 Nếu ( )f x khả vi bậc hai trên ( , ) I a b thì ( ) f x lồi (lõm) trên

( , )

I a b khi và chỉ khi f x''( ) 0 ( ( ) 0)≥ f x'' ≤ trên ( , )I a b

Định lý 1 16 Nếu ( )f x lồi trên ( , ) a b thì tồn tại đạo hàm một phía f x'−( ) và

' ( )

f x+ với mọi x a b∈( , ) và

' ( ) ' ( )

f x− ≤ f x+Chứng minh Với x0∈( , )a b cố định, chọn các số dương tùy ý ,u v sao cho

0 ( , ), 0 ( , )

x − ∈u a b x + ∈v a b Khi đó, theo (1 28), thì

là một hàm đơn điệu tăng và khi v giảm dần tới 0 thì ( )g v đơn điệu giảm và

bị chặn (theo (1 28) ) nên tồn tại giới hạn một phía

Lấy giới hạn khi t1→x1 và t2→x2 trong (1.34), ta thu được

Định lý 1 17 Nếu ( )f x lồi trên ( , ) I a b thì ( ) f x liên tục trên ( , ) a b

Chứng minh Theo định lý 1 16 thì tồn tại các đạo hàm một phía f x'−( ) và

' ( )

f x+ với mọi x a b∈( , ) và do vậy hàm số ( )f x vừa liên tục trái vừa liên tục

phải Suy ra ( )f x liên tục tại mọi thời điểm trong ( , ) a b

Nhận xét 1 2 Hàm lồi trên [ , ]a b có thể không liên tục tại đầu mút của đoạn

là hàm lồi trên [0,1] nhưng không liên tục tại x=1

Như vậy, hàm lồi luôn là hàm liên tục trên trong khoảng đang xét Vềsau, ta luôn luôn quan tâm đến các hàm số lồi và liên tục trên ( , )I a b Tính

chất sau đây cho phép ta dễ dàng kiểm chứng tính lồi (lõm) đối với một hàm

số cho trước và nhiều tác giả chọn tính chất này để đặc trưng cho hàm lồi

Định lý 1 18 (Jensen) Giả sử ( )f x liên tục trên [ , ] a b Khi đó điều kiện cần

Chứng minh Nếu ( ) f x là hàm lồi trên ( , ) I a b thì ta có ngay (1 35) bằng

Tiếp theo, ta đặc biệt quan tâm đến lớp con của lớp các hàm lồi Đó là lớp các hàm lồi hai lần khả vi Đây là lớp hàm thông dụng nhất của giải tích gắn với nhiều bất đẳng thức cổ điển.

Định lý 1 19 Giả sử ( )f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( , ) a b khi đó

điều kiện cần và đủ để hàm số ( , )a b lồi trên ( , ) a b là

f x + −u f x u− < −δu với 0≤ ≤u h.Lấy tích phân hai vế theo cận từ u=0 dến u h= , ta được

2,

1( ) ( ) 2 ( )

2

f x + −h f x h− − f x < − δh

mâu thuẩn với (1 37)

Điều kiện đủ Ta sử dụng giả thiết f x''( ) 0≥ trong ( , )a b để chứng minh

( ) ( )'( ) f x f x ,

( ) ( )( ) f x f x , ,

1 3 2 Hàm tựa lồi và tựa lõm

Nhận xét rằng, việc mở rộng khái niệm của hàm lồi và hàm lõm như làmột nhu cầu tự nhiên Trong thực tế, có rất nhiều bài toán ứng dụng gắn vớihàm số khả vi bậc hai nhưng không áp dụng phương pháp hàm lồi được vìđạo hàm bậc hai đổi dấu trong khoảng đang xét Chẳng hạn nếu bất đẳng thức

xảy ra với mọi cặp ,x y trong (a,b) I thì người ta gọi (x)f là J- lồi (theo

nghĩa Jensen) Tuy nhiên nếu bất đẳng thức

chỉ xảy ra với mọi cặp ,x y trong (a,b) I với x y≤ và z≥0

mà ,x y z I+ ∈ (a,b)thì ta nói (x)f là hàm Wright- lồi

Tiếp theo, nếu để ý đến phép tính số học, thì vế trái và vế phải của bấtđẳng thức

lần lượt là giá trị hàm số tại điểm là trung bình cộng của đối số và trung bìnhcộng các giá trị hàm số tương ứng Do vậy nếu ta thay vế phải bởi giá trị trungbình nhân ta thu được

( ) (x) (y),2

Giả sử (x)f có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a,b) Khi đó

(i) Điều kiện cần và đủ để hàm số (x)f lồi trên (a,b) là

thì không nhất thiết (x)f phải là một hàm lồi trên (0,1)

Cũng như vậy đối với hàm số (x)f mà

Ví dụ, với hàm số (x)f =cos xπ , ta luôn có khẳng định sau đây.

Bài toán 1 5 Nếu , ,A B C là các góc của ABCV thì

cos cos cos

Như vậy, mặc dù (x)f =cos xπ không là hàm lõm trong (0,1) , ta vẫn

có bất đẳng thức, tương tự như đối với hàm lõm trong (0,1) :

Ta đi đến định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1 4 (Xem [3]) Hàm số (x)f xác định trong (0,b) (0,∈ +∞)được

gọi là hàm tựa lồi trong khoảng đó, nếu

Định nghĩa 2 2 (Xem[2]) Cho D là tập lồi trong R Hàm số ( )f x gọi là lồi

(tương ứng lõm) trên D, nếu với mọi x x1, 2∈D, mọi λ∈[0;1] thì

Tính chất 2 1 (Xem[2]) Cho ( )f x là hàm khả vi bậc hai trên D thì ( )f x

lồi (tương ứng lõm) trên D khi và chỉ khi "( ) 0f x ≥ ,(tương ứng "( ) 0f x ≤ )trên D

Định lý 2 1 (Xem[2]) Cho D là tập lồi (tương ứng lõm) trên D khi và chỉ

khi với mọi số nguyên dương n, với x x1, , ,2 x n∈D, mọi λi ≥0 và

1,

n i i

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp hàm số

lồi, trường hợp hàm số lõm tương tự

Với n=1, bất đẳng thức xảy ra đẳng thức nên đúng

Với n=2, bất đẳng thức xảy ra đúng theo định nghĩa (2 2)

Đặc biệt khi 1 2 1 1

n

λ λ= = = =λ , ta có bất đẳng thức

1 2 ( )1 ( ) 2 ( )(x x x n) f x f x f x n

f

+ + + ≥ + + +

2 1 2 Một số bài toán liên quan

Bài toán 2 1 Cho a a1, , ,2 a n≥1 Chứng minh rằng

Ta được điều phải chứng minh.

Bài toán 2 2 Cho a b c, , >0 thỏa mãn a b c+ + =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức sau theo n

+ +

⇔ + + ≥ + +

Ta được điều phải chứng minh

Bài toán 2 4 (Xem[2]) Cho a i ≥0,i=1,2, , ;n n∈¥* Chứng minh rằng

1

1 1

i i

n a

a

n e

e =

=

≥+ ∑

= =

+

∑+

n

i i

i

n a

i i

n a

a

n e

e

Ta được điều phải chứng minh

Bài toán 2 5 Cho ba số thực dương a b c, , và số thực λ ≥8 Chứng minh

rằng

3.1

Xét hàm số f x( ) 1

x

= trên khoảng (0;+∞) Ta có "( ) 0f x > nên hàm

số lồi trên (0;+∞) Theo bất đẳng thức Jensen, ta có

≤( ) (13 ).

9

a b c

Ta được điều phải chứng minh

Nhận xét 2 1 Đây là bài toán đóng vai trò quan trọng trong các bài toán bất

đẳng thức về góc của tam giác Rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức

về góc trong tam giác có sử dụng đến tính chất của hàm lồi (lõm) Chẳng hạn,xét các bài toán sau

Bài toán 2 6 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

3 Ta thấy bất đẳng thức này có dáng dấp của hai bất đẳng thức đầu, tuy nhiên

nó lại ngược dấu nên ta không thể cộng vế theo vế Ta xét hàm số