Một số lớp bất đẳng thức hàm và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HIỀN MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 L

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HIỀN

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2014

Mục lục

1 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học 5 1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số 5 1.2 Hàm số chuyển đổi từ phép nhân của đối số 21 1.3 Hàm số chuyển đổi các phép biến đổi hình học của đối số 25

2 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các trung bình cơ bản của đối số 40 2.1 Hàm số chuyển đổi từ trung bình cộng của đối số 40 2.2 Hàm số chuyển đổi từ trung bình nhân của đối số 42 2.3 Hàm số chuyển đổi từ trung bình điều hòa của đối số 43

3 Bất đẳng thức trong lớp hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm 48 3.1 Hàm lồi, lõm 48 3.2 Hàm tựa lồi và tựa lõm 55 3.3 Hàm tựa lồi, lõm dạng hàm sin và cosin 63

4 Một số dạng toán liên quan 71

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình

Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy hai khóa Cao học 2010 - 2012 và 2011 - 2013, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm Phương pháp Toán sơ cấp 2010 - 2012 lời cảm

ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học

Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao học Toán 2010-2012, đặc biệt là các anh chị em nhóm Phương pháp Toán sơ cấp

đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa học này

Mở đầu

Chuyên đề bất đẳng thức hàm là một trong các lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Giải tích toán học Ngay từ Trung học phổ thông chúng ta cũng đã được biết đến một số lớp bất đẳng thức hàm quen biết như hàm đồng biến, nghịch biến và hàm lồi, lõm, Tức là lớp các hàm số được mô tả tính chất qua bất đẳng thức Jensen như

f



x + y 2



≤ f (x) + f (y)

Trong những năm gần đây, các nhà toán học cũng rất quan tâm đến bất đẳng thức hàm, mở rộng các bất đẳng thức tổng quát cho lớp hàm đang xét (ví dụ như các bất đẳng thức dạng Karamata cho hàm lồi) Trong các đề thi Olympic Toán quốc tế, các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây cũng có xuất hiện nhiều các dạng bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, như các bài toán giải bất phương trình hàm, chứng minh các tính chất của lớp các bất đẳng thức hàm Nói chung các dạng toán này khá mới mẻ, rời rạc và khá khó

Luận văn này trình bày về một số lớp bất đẳng thức hàm và một số bài toán liên quan, với hi vọng có thể bước đầu trình bày một cách có hệ thống một số đặc điểm, một số dạng toán có thể thiết lập ở một số lớp bất đẳng thức hàm Luận văn chủ yếu tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn như các sách, bài báo, báo cáo khoa học viết về chuyên đề bất đẳng thức hàm, bất phương trình hàm, các đề thi học sinh giỏi các cấp, các đề thi Olympic Toán quốc tế, các tài liệu trên Internet Qua đó trình bày lần lượt, hệ thống lại và đưa ra một số kĩ thuật

ra đề, giải các các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, cũng như giúp bạn đọc tiếp cận gần gũi hơn với khái niệm bất đẳng thức hàm

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 4 chương:

Trong hai chương đầu luận văn trình bày các về lớp bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính và đại lượng trung bình cơ bản

Chương 3 trình bày riêng về lớp các hàm khá quen thuộc là hàm lồi, lõm Ngoài

ra, còn xây dựng phương pháp mô tả các hàm tựa lồi, tựa lõm từ lớp các hàm lồi lõm trên một khoảng, từ đó áp dụng vào một số bài toán giải bất phương trình hàm lượng giác

Một số bài toán liên quan cũng như các bài tập đề nghị được trình bày ở chương 4

Do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, rất mong nhận được những đóng góp của thầy cô

và bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Học viên Nguyễn Thị Hiền

Chương 1

Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các

phép tính số học

Nói đến bất đẳng thức hàm, người ta nhớ đến bất đẳng thức hàm Cauchy cổ điển

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

Vì vậy một cách tự nhiên chúng ta xét đến các lớp bất đẳng thức hàm đầu tiên là: Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học Trong đó có hai phép tính thường thấy nhất trong lý thuyết về phương trình - bất phương trình hàm

là phép cộng và phép nhân

1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số

1.1.1 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép cộng thành phép cộng

Dưới đây ta xét một số bài toán nghiên cứu các hàm số thỏa mãn các bất đẳng thức hàm

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) và

f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1a) Hàm số thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) được gọi là hàm trên cộng tính (Subad-ditive), ngược lại nếu hàm số thỏa mãn (1.1a) thì được gọi là hàm dưới cộng tính (Superadditive)

Bài toán 1.1 Cho hàm số f :R →R thỏa mãn (1.1):

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,

trong đó f không âm với mọi x ∈ R mà |x| ≥ k,k là hằng số dương Chứng minh rằng f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Lời giải Do f thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R nên ta dễ dàng chứng minh được

f (nx) ≤ nf (x), ∀n ∈ Z∗+, ∀x ∈ R

Giả sử f (x) ≥ 0 với mọi x mà |x| ≥ k Khi đó với mỗi x mà |x| < k thì luôn

có số nguyên dương n sao cho n|x| > k hay |nx| > k Do đó 0 ≤ f (nx) Mà

f (nx) ≤ nf (x), suy ra 0 ≤ nf (x)

Vậy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Bài toán 1.2 Chứng minh rằng nếu hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1) với

∀x, y ∈ R , liên tục tại 0 với f (0) = 0 thì f liên tục với mọi x ∈ R

Lời giải Thật vậy, với x ∈ R, f (x) = f (x + h − h) ≤ f (x + h) + f (−h) Suy

ra f (x) − f (−h) ≤ f (x + h) ≤ f (x) + f (h) với mọi h Cho h → 0, thì do f liên tục tại 0 và f (0) = 0 suy ra f liên tục tại x

Bài toán 1.3 Cho hàm f khả vi trên I = (a, +∞), (a ≥ 0) Chứng minh rằng

f là hàm trên cộng tính nếu f0(x) < f (x)

x , ∀x ∈ I và f là hàm dưới cộng tính

nếu f0(x) > f (x)

x , ∀x ∈ I.

Lời giải Thật vậy, nếu f0(x) tồn tại trên I = (a, ∞), a ≥ 0, và f0(x) < f (x)

x

∀x ∈ I Ta có

f0(x) < f (x)

x , ∀x ∈ I

⇔ x.f0(x) − f (x) < 0, ∀x ∈ I

dx



f (x) x



= x.f

0(x) − f (x)

x2 < 0, ∀x ∈ I

Như vậy f (x)

x đơn điệu giảm trên I.

Với x, y ∈ I, ta có

f (x + y) = x.f (x + y)

x + y + y.

f (x + y)

x + y

≤ x.f (x)

x + y.

f (y) y

= f (x) + f (y)

Suy ra f (x) là hàm trên cộng tính trên I Điều ngược lại chứng minh tương tự Bài toán 1.4 Cho f là hàm trên cộng tính trên R và f khả vi trên (a, +∞), (a ≥ 0) Chứng minh rằng nếu f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) thì f0(x) là hàm đơn điệu không tăng trên (a, +∞)

Lời giải f là hàm trên cộng tính trên R, f0(x) tồn tại trên I = (a; ∞), a ≥ 0,

f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ I Khi đó lấy x1 ∈ I, t > 0 là số thực dương bất kì Do

f0(x1 + t) tồn tại nên

lim

h→0

f (x1 + t + h) − f (x1 + t)

0(x1 + t)

Suy ra, với ε > 0, tồn tại h > 0 đủ nhỏ sao cho

f0(x1 + t) − ε < f (x1 + t + h) − f (x1 + t)

Do đó

f0(x1 + t) − ε < 1

h.[f (x1 + t + x1 + h − x1) − f (x1 + t)]

≤ 1

h.[f (x1 + t) + f (x1 + h) + f (−x1) − f (x1 + t)]

= 1

h.[f (x1 + h) + f (−x1)]

≤ 1

h.[f (x1 + h) − f (x1)].

Suy ra f0(x1+ t) ≤ f0(x1), ∀t > 0 Do đó f0(x) là hàm đơn điệu không tăng trên

I

Bài toán 1.5 Cho hàm f (x) :R →R thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R Chứng

minh rằng f là hàm số chẵn thì f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Lời giải Thật vậy, cho x = 0, từ (1.1) ta có f (y) ≤ f (0) + f (y) suy ra f (0) ≥ 0.

Do f chẵn nên 2f (x) = f (x) + f (−x) ≥ f (x − x) = f (0) ≥ 0, ∀x ∈R

Như vậy qua các bài toán trên ta có một số nhận xét về các hàm số trên -dưới cộng tính:

Nhận xét 1.1

(i) Hàm f : R → R là hàm trên cộng tính không âm với mọi x ∈ R mà |x| ≥ k,

k > 0 thì f (x) không âm trên R

(ii) Hàm f :R → R là hàm trên cộng tính, liên tục tại 0 với f (0) = 0 thì f liên tục với mọi x ∈ R

(iii) Hàm f khả vi trên I = (a, +∞), (a ≥ 0) là hàm trên cộng tính nếu f0(x) <

f (x)

x , ∀x ∈ I và là hàm dưới cộng tính nếu f

0(x) > f (x)

x , ∀x ∈ I.

(iv) Hàm f là hàm trên cộng tính trên R và khả vi trên (a, +∞), (a ≥ 0), nếu

f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) thì f0(x) là hàm đơn điệu không tăng trên

(a, +∞)

(v) Hàm trên cộng tính f (x) : R →R là hàm số chẵn thì không âm.

Ta xét một số bài toán giải bất phương trình hàm liên quan

Bài toán 1.6 Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R;

(ii) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Lời giải Thay x = 0, y = 0 vào điều kiện đề bài ta được



f (0) ≥ 2f (0),

f (0) ≥ 0 ⇒ f (0) = 0

Vậy nên ∀x ∈ R, ta có 0 = f (0) = f (x + (−x)) ≥ f (x) + f (−x) Mà f (x) ≥

0, f (−x) ≥ 0 nên f (x) = 0, ∀x ∈ R Hay f (x) ≡ 0 Thử lại ta thấy hàm số

f (x) ≡ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài ra

Bài toán 1.7 Cho trước a ∈ R Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời các điều

kiện sau:

(i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,

(ii) f (x) ≥ ax, ∀x ∈ R

Lời giải Xét hàm số g(x) = f (x) − ax Thay vào các điều kiện đề bài ta được (i) g(x + y) ≥ g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R,

(ii) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Theo Bài toán 1.6, ta có g(x) ≡ 0, hay f (x) = ax Thử lại ta thấy hàm số

f (x) = ax thỏa mãn điều kiện đề bài ra

Bài toán 1.8 Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,

(ii) f (1) = 1,

(iii) f (g(|x|)) ≥ g(|f (x)|), ∀x ∈ R, trong đó g : R+ → R+ là hàm liên tục, tăng với g(0) = 0, g(1) = 1

Lời giải

• Đầu tiên ta chỉ ra rằng f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R+

Với x ∈ R+, khi đó x = ny với n ∈Z+ và 0 ≤ y ≤ 1 Hơn thế nữa, y = g(t)

với 0 ≤ t ≤ 1 nào đó (g là hàm liên tục, tăng với g(0) = 0, g(1) = 1) Từ (i)

và (iii) ta có

f (x) = f (ny) ≥ nf (y) = nf (g(t)) ≥ ng(|f (t)|) ≥ 0, ∀x ∈ R+

• Như vậy, với x, y ∈ R, x > y ta có x = y + x∗, x∗ ∈ R+, từ (i) ta có

f (x) = f (y + x∗) ≥ f (y) + f (x∗) ≥ f (y)

Nói cách khác, f là hàm đơn điệu không giảm trên R

Tài liệu tham khảo

[1] Pl Kannappan, Functional Equation and Inequalities with Applications, Springer Monographs in Mathematics, 2003

[2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý và Áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 phổ thông, Hà Nội - Nam Định, 2010

[3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận 2004, Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo Dục

[4] Th M Rassias, Functional equations, inequalities and applications, 73 -89, Kluwer Academic Publishers, 2003