chuyen de 1 rut gon phan thuc dai so 8781

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.. II – Các dạng bài toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức... a2 Chứng minh rằng A dương... Kết hợp với điều kiện.

4 2

4 2

2 2

3 1 : )

2 1

3 1 ( 2 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1 )( 1 )

Câu b

  



  



 

 



 

   



 



 

Chuyên đề 1:

RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I – Phương pháp giải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

II – Các dạng bài toán thường gặp:

1- Rút gọn phân thức.

2 2

2

2

( )

1: )

( 2 )

(2 )

(2 )

2

Câu a

x a x x a x

a x a

x a

a

x a

 

   















c)

2

2

2

2

(2 4 ) ( 2) (2 4 ) (5 10 ) (2 4)

2 ( 2) ( 2)

2 ( 2) 5 ( 2) 2( 2)

( 2)(2 1) ( 2)(2 5 2)

(2 1) (2 1)( 2)

1

2

y

y

 



  













Với: y-2 và y-1

2

2- Chứng minh.

1

3 2

2 2 2

7 14 8 ( ) (4 4) ( 8) (7 14 )

( 1) 4( 1) ( 2)( 2 4) 7 ( 2) ( 4)( 1)

( 2)( 5 4) ( 4)( 1)( 1) ( 2)( 4)( 1) 1

2

a a

  















2 2

1 1 1 1

1 1

x x a a a a x

x x a a a a x

a a

a a





    



    

  



  

 



 

Câu2 : a) Hãy chứng minh: 33 422 4 1

2

7 14 8

a





Giải:

Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x:

Giải:

Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.

Câu2: c) Chứng minh rằng nếu 1x 1y 1z x y z1

  thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau

Giải:

2

3 2 3 2 2 2

6 4

( 4)

2 3 6 ( 2)( 2) ( 2) 3( 2) ( 2)( 2) 3

2

x x x

x x

x x

 



 





  



  









3 3

3

  

Từ: 1x 1y 1z x y z1

 

Ta có: yz xz xyxyz x y z1

 

Từ đó ta có: (x y z yz xz xy  )(   )xyz

Hay (x y z yz xz xy  )(   ) xyz0

Biến đổi vế trái:

2

x y z yz xz xy xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz xyz xz y z yz x y x z xy xyz

z xy xz y yz x xy xz y yz

xy xz y yz x z

x y y z x z

Vậy: (x y y z x z )(  )(  ) 0

Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.

3- Tính giá trị.

Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = 3 3 2 6

4

 

 với x = 2008 Giải: C =

Với x = 2008 thì C = 2011

2010

Câu 3: b) Cho a+b+c = 5 Tính giá trị của phân thức

3

  

Ta có:

3

2 2 2

4

2

1

1 ( 1)( 2) 1

2

n

m











Vậy:

5

a b c

Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn x y z 1

a b c  và a b c 0

x y z 

Tính: x22 y22 z22

a  b c

Giải:

2

1

1 2

2

abc z y x

abc x y z

  

x y z 

Vậy: x22 y22 z22 1

a  b c 

4- Tổng hợp

Câu4 : a) Cho biểu thức A = 2 42 2(42 2) 1

a1) Rút gọn A.

a2) Chứng minh rằng A dương.

a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất?

Giải:

a1) A =

4

2

3 :

( 2)( 1) 2.3 3.3 ( 1) 1 3 1

( 8 2)( 1) 3 1

3 ( 1)(2 4 ) 3 2(1 2 )(1 2 )

2.3

 



2

2

.(1 2 ) 3

3 ( 1) 3 1 3

x x

x

x x x x

 





   











a2) Ta có: m2  0, m.

Nên: m2 + 2 > 0, m.

Do đó: 21

2

m  > 0, m.

Vậy: A > 0, m.

a3) Ta có: m2

 0, m.

Nên: m2 + 2  2, m

Do đó: 2

2 2

m   , m

Hay: A  1

2, m

Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 1

2

Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0

Câu4: b) Cho M = 2 2 3 :2 4 3 2 1

b1) Rút gọn biểu thức M.

b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.

b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?

b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?

Giải:

b1) Điều kiện: x0, x-1, x1

2

M =

5

2 2

2 2

2 2

4

2 2

:

a



        









b2) Với x = 2008.

M = 2008 1 669

3





b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1 Kết hợp với điều kiện

Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, 1

2.

b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1)  3 hay x -1 = 3k (k Z)

Vậy: x = 3k +1 (kZ)

Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:

M = a ab ab a :a22 b22



Giải:

M =

Câu5: b) Chứng tỏ:

2 2

1 3 2 1

a

 



 ,  a R

Giải:

Ta có: a12  0 a2  1 2a (1)

Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:

2

1

a a





1

a a



2 2

a

 



2 1

a

 



 ,  a R

6

1 1 1

( )( )( )

( )( )( ) 0

a b b c c a

b c c a a b

a b b c c a

     



     





Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:

3

2 2

Q

  

2

a b

x 

Giải:

Với

2

a b

x  , ta có:

x a    a 

x b    b 

2

2

x a b a

Ta lại có:

x a b    a b    

x a  b   a b   

Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0

Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:

A = (a b a c)(1 )(b c b a)(1 )(c a c b)(1 )

Với a, b, c đôi một khác nhau.

Giải:

A =

(a, b, c đôi một khác nhau)

Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.

7

4

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

a b cb c ab ca

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

Với a, b, c đôi một khác nhau.

Giải:

2

4

( 4

B

a b c



( )( )( ) 4

( )( )( ) 4

( )( )( )

4

( )( )( ) ( )[ ( )

4

a b b c c a

a b a c b c ab ac bc

a b b c c a

a c b c ab a b ac bc

a b b c c a

a b b c c a

a b c a b ab



2] ( )( )( )

c

a b b c c a

( a, b, c đôi một khác nhau )

Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:

2 2

P

  với x 4ab

a b





Giải:

8

2 2

2 2 2

( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )

( 2 )( 2 )

2( ) 4 2( 4 )

2( ) 4

P









a b



 vào P ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

16

( ) 16

( )

16

( )

16

4 ( )

2

a b

ab

a b P

a b

ab ab

a b

a b

ab

a b

a b

ab

a b





















9

10