CHUYÊN đề 1 rút gọn và LIÊN QUAN

Chuyên đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu ThứcRút gọn biểu thức đại số Để Rút Gọn Biểu Thức Ta Thường Thực Hiện Như Sau: B1.Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa.. Tính Giá Trị Của Biể

Chuyên đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức

Rút gọn biểu thức đại số

Để Rút Gọn Biểu Thức Ta Thường Thực Hiện Như Sau:

B1.Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa Lưu ý:

Phương Pháp Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, rồi rút gọn nhân tử chung (lưu ý phải

đặt điểu kiện cho mẫu thức khác 0).

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn về bài toán rút

gọn biểu thức hữu tỉ (không chứa căn) dễ biến đổi hơn

M M '2 2a2 a2 b c M M2 ,  '2 2a 2 a2 b c2

Vì vậy có thể dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt căn

 Thí dụ 7: rút gọn biểu thức:

G a b c   ac bc  a b c   ac bc trong đó a,b,c là các số không âm

Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :

2 2

Nên m+ m’ là một nghiệm của phương trình : x3 33 a2 b c x2  2a0

Tương tự M M  là một nghiệm của phương trình

Xuất phát từ đẳng thức

 2

vào rút gọn biểu thức chứa căn rất hiệu quả

Thí dụ 9: cho a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng

.Như vậy f x   1

là tam thức dạng Ax2Bx C nhận ba số khác nhau a b c, , làm nghiệm.

Vậy f x   1

đồng nhất bằng 0, hay f x   1

với mọi x Suy ra f d   1

Thí dụ 13 Đơn giản biểu thức

Lời giải Điều kiện xác định ab b, c c, a

Sau khi quy đồng mẫu số chung a b b c c a       

có dạng Ax2Bx C nhận b c, ,0 đôi một khác nhau làm

nghiệm nên f x 

đồng nhất bằng 0 và P 0.

-Nếu b 0 hoặc b c hoặc c 0 thì suy ra P 0.

Vậy biểu thức đã cho bằng 0.

Tính Giá Trị Của Biểu Thức Đại Số Một Biến

Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi với những bài tập hay và

khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phép biến đổi Ta thường sử dụng phương pháp

phân tích từ điều kiện đã cho của biến để biến đổi.

Bài toán 1: tính giá trị của biểu thức

2012 2

2012

5 4 3 2012

31

Bài toán 2: cho biểu thức B4x54x4 5x35x 222011

Tính giá trị của biểu thức b khi

Bài toán 3: gọi a là nghiệm dương của phương trình 2x2  x 1 0. không giải phương trình.

Hãy tính giá trị của biểu thức  4  2

a C

a B

1 4

x

x  x 

Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện

Để tính giá trị của biểu thức có nhiều hơn một biến số với điều kiện cho trước ta có thể sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện đã cho, phương pháp hệ số bất định hay phương pháp hình học.

Sau đây là một số ví dụ minh họa.

A 

Thí dụ 2: cho các số thực dương x, y thỏa mãn

170422

.6

x a B

x y

 

Lời Giải Từ điều kiện của bài toán suy ra t 2 và

5.2

t 

từ (2) suy ra

2, 

2 2

2

2942

2 2

2

251

2 2

5016921442

Ta viết lại hệ (8) dưới dạng

Xét tam giác vuông ABC vuông tại C với AB13,AC5,BC 12 gọi O là điểm nằm trong

tam giác ABC thỏa mãn AOC90 ;0 BOC 1350 Đặt

12

x

x y z x

x y t s

3 2

2 2

393

16

y

x xy y z

Chuyên Đề 1.2

Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Đại Số Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước.

Sau khi rút gọn biểu thức, đề thi có thể yêu cầu thêm:

 Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

 Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên.

 Tìm điều kiện để biểu thức không âm (hoặc không dương) hoặc thỏa mãn một bất đẳng thức, một đẳng thức nào đó.

 Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên

Phương Pháp: biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và

một phân thức dạng aa Z

A  với A là đa thức với hệ số nguyên.

để tìm giá trị là một số nguyên thì a nhận giá trị là ước số của a

Trong trường hợp cần tìm giá trị của biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên thì nên tìm trước các giá trị nguyên có thể có của biểu thức, từ đó suy ra giá trị của các biến số.

a a a a Tìm các giá trị nguyên của ađể a có giá

( với điều kiện a2 )

A nhận giá trị nguyên khi a 2 là ước số của 4, tức là a 2  4; 2; 1;1; 2; 4  

Với m nguyên, để b nguyên thì m 4 là các ước của 16, nhưng 4m8nên m5;6;8

-Nếu m8 thì

24





m B

a C

Dạng 2 Chứng Minh Giá Trị Của Biểu Thức Không Là Số Nguyên.

Phương pháp Ta thường sử dụng một trong các cách sau:

-Chỉ ra giá trị của biểu thức nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

-Hoặc biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và một phân thức, rồi chứng minh rằng tử thức không chia hết cho mẫu thức.

-Hoặc chỉ ra giá trị của một biểu thức là một số vô tỉ.

Do đó: 1C2 Vậy giá trị của c không phải là số nguyên.

Thí dụ 5 Chứng minh rằng giá trị của D x2 4x2 36x210x3 ( với x là số tự nhiên )

n E

Do đó e không phải là số nguyên với mọi số n nguyên và n1,n0

Thí dụ 7 Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên n 1

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 suy ra k1,k1 đều là số chẵn nên p4

( điều này vô lý vì p2 và p4 ).

Vì vậy p 1

phải là số hữu tỉ Suy ra điều phải chứng minh

Dạng 3 Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Thỏa Mãn Một Bất Đẳng Thức Hoặc Một Đẳng Thức.

Phương pháp Trước hết rút gọn biểu thức, rồi từ điều kiện đã cho dẫn đến phương trình hoặc bất phương trình ( ẩn là biến số đã cho )

Thí dụ 8 Cho biểu thức

x x x F

x

x x

Thí dụ 9 Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

a) Rút gọn m.

b) Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức m có giá trị nguyên

a) Rút gọn n.

b) Tìm x để

13

N  

c) Tìm các giá trị nguyên của x để n nhận giá trị nguyên

Tìm x nhỏ nhất để p nhận giá trị nguyên