Cho ∆ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC..
Trang 1Dạng 1 Biểu diễn véc-tơ 2
Dạng 2 Ba điểm thẳng hàng 8
Dạng 3 Quỹ tích 10
Dạng 4 Tỷ lệ 12
Dạng 5 Min - Max 14
Dạng 6 Tích vô hướng 19
1
Trang 2| Dạng 1 Biểu diễn véc-tơ
Câu 1 Cho tam giác ABC biết AB = 3, BC = 4, AC = 6, I là tâm đường tròn nội tiếptam giác ABC Gọi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x# »
#»
b (Nguyễn Thị Tiết Hạnh-tiethanh.78@gmail.com)Câu 3 Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I là tâm đường trònnội tiếp tam giác ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
DB theo hai véc-tơ # »
# »
DB = # »
DA + # »DC
N C = 2N B Gọi O là giao điểm của AN và BM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tíchtam giác OBN bằng 1
Trang 3AM =1
0 Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A 4ABC và 4A0B0C0 có cùng trọng tâm B 4ABC = 4A0B0C0
C 4ABC ∼ 4A0B0C0 D 4ABC và 4A0B0C0 có cùng trực tâm
(tranminhthao@2011gmail.com)Câu 13 Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi điểm M là trung điểm BC Tính độ dài củavéc-tơ 1
a√21
a√21
7 .Câu 14 Cho 4ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoạitiếp Tìm x để # »
Trang 4CA H, H0 lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, M N P Khẳng định nào đúng trong cáckhẳng định sau?
E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Với giá trị nào của k ta có hệ thức# »
Một giá đỡ hình tam giác được gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác
ABC vuông cân tại B Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10 N
Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối
lượng của giá đỡ)
C(Nguyễn Thanh Dũng-thanhdungtoan6@gmail.com)Câu 22 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn # »
OA +# »
OB +# »
OC = #»0 Tínhgóc [AOB?
A [AOB = 120◦ B [AOB = 90◦ C [AOB = 150◦ D [AOB = 30◦
(Trần Gia Chuân-giachuan85@gmail.com)Câu 23 Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn # »
BC, CA và AB Khi đó ta có đẳng thức vectơ k# »
A 2k2− l2 = 1 B 2k2− l2 = −1 C 2k2− l2 = 14 D 2k2− l2 = −5
(Cao Văn Tùng-FB: Cao Tung-cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn)
Trang 5CF = −1
2
# »CD; AE ∩ BF = I
AM = 3M C, N C = 2N B, gọi O là giao điểm của AN và BM Tính diện tích 4ABC biết diện
(Tác giả: Nguyễn Đặng)Câu 29 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC
(K ∈ DC) Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
thức nào sau đây sai?
3.(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: nvpmaster0808@gmail.com)Câu 32 Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng là A1, A2, , An
Bạn Bình kí hiệu chúng là B1, B2, , Bn (A1 6= Bn) Vectơ tổng # »
A1B1+# »
A2B2+ · · · +# »
AnBnbằng
Trang 6Câu 33 Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M Qua trung điểm
S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho AK
Câu 36 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm xác định bởi 5# »
IA − 7# »
IB −# »
IC = #»
0 Gọi E là giao điểm của AI và BG Tính tỷ số EA
C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCM N Trênđoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP Gọi S là giao điểm của AM và P N Giả sử
và M AC lần lượt có diện tích là S1 và S2 Khẳng định nào sau đây đúng?
AI =
−12
Trang 7(Nguyễn Thị Trà My)Câu 42 Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD saocho AO = 4OD Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF Khẳng định nàosau đây đúng?
(Nguyễn Đặng)Câu 43 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC(K ∈ DC) Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
DE = m# »
DA, # »
DF = n# »
DC với m, n > 0 Khẳngđịnh đúng là
(Lê Đức Lộc)Câu 45 Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AH = a, AB ∥ CD, AB = a√3, AD =
a√
2, AB < DC, AC cắt BH tại I Biết # »
AI = x + y
√zm
vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BCtheo thứ tự tại M và N Với AB = a, CD = b Tính # »
Trang 85AC Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong cácđiểm sau đây?
A Trọng tâm tam giác ABC B Trọng tâm tam giác ABI
C Trung điểm AI D Trung điểm BI
(Phùng Hằng)Câu 51 Cho ∆ABC có H là trung điểm của AB và G ∈ AC : GC = 2AG Gọi F là giaođiểm của CH và BG Tìm điểm I trên BC sao cho I, F , A thẳng hàng
3# »
M A + 4# »
M B = #»
0 Gọi P là giao điểm của AC và M N Tính tỉ số diện tích tam giác AN P
và tam giác CN P
(Phùng Hằng)Câu 54 Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: # »
BD = 2
3
# »BC; # »
AE =1
Trang 9(boyhanam@gmail.com)Câu 56 Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thỏa mãn: # »
3AD Gọi G là trọng tâm của tam giác BM N , đường thẳng AG cắt
M N ; Q là giao điểm của BD và M N Khi đó P M
AM = 3M C, N C = 2BN Gọi I là giao điểm của AN và BN Tính diện tích tam giác ABCbiết diện tích tam giác BN I bằng 4
A S4ABC = 110 B S4ABC = 115 C S4ABC = 125 D S4ABC = 120
(Vũ Thị Hằng)Câu 63 Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AC sao cho # »
M A = −2# »
M C, N thuộc BM saocho # »
N B = −3# »
N M , P thuộc BC sao cho # »
P B = k# »
P C Tìm giá trị k để ba điểm A, N , P thẳnghàng
Trang 10A đường thẳng đi qua A B đường thẳng qua B và C.
C đường tròn D một điểm duy nhất
(Viet Hung)Câu 67 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC = 2a Gọi H là trực tâm củatam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
A đường thẳng B đường tròn C đoạn thẳng D một điểm
(thachtv.tc3@nghean.edu.vn)Câu 70 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 5 cm Gọi (S) là tập hợp các điểm Mtrong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: # »
4 .
D (S) là đường tròn tâm I bán kính R = 5
√2
4 .
(Trịnh Văn Thạch)
Trang 11√
6.Câu 72 Cho 4ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho # »
D Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A
Câu 73 Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng a Khi đó tập hợp những điểm M sao cho
3 . D đường tròn có bán kính R =
a√3
9 .(Vũ Thị Nga)Câu 74 Cho 4ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho # »
A Đường tròn đường kính AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB
C Đường tròn đường kính AC D Đường trung trực đoạn thẳng AC
(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)Câu 77 Cho đoạn thẳng AB =√
5 Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức
3
√3
2 .(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)Câu 78 Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn # »
M A + # »
M B +# »
M C = 5?
(Võ Khánh Huyền VânFb: Vân Võ)
Trang 12và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Tính tỉ số AB
AM + 2
ACAN
tỉ số k Trên các tia AB và AC lấy các điểm M,N AI cắt M N tại P Đặt AB
AM = b,
AC
AN = c Tỷ sốAI
BD = 2
3
# »BC,
Trang 13AM =3
Vẽ hình bình hành EAF G Đường thẳng AG cắt BC tại K Tính tỉ số KB
Trang 14Câu 94 Cho ∆ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Đặt
P = M A2− M B2− M C2 Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P Khi đó,giá trị biểu thức T = 4a + b là
(Phùng Hằng-phunghang10ph5s@gmail.com)Câu 95 Cho ∆ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương x2+ y2+ z2 = k2,
k ∈ R Giá trị lớn nhất của P = xy cos C + yz cos A + zx cos B là:
Câu 98 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BD và
CK Giá trị nhỏ nhất của cos α bằng
3GG
0
(Nguyễn Đức Hoạch-nguyenhoach95@gmail.com)Câu 100 Cho hình thang A1B1C1D1 có A1B1//C1D1, A1B1 = 3a, C1D1 = 2a, D\1A1B1 =
3a
2 .(Nguyễn Văn Công-nguyencongkm2@gmail.com)
Trang 15điểm M di động trên d Tìm giá trị nhỏ nhất của # »
a√3
2 .(Phạm Khắc Thành-phamkhacthanhkt@gmail.com)Câu 103 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ Đặt a = BC, b =
CA, c = AB Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = M A
√3
2 .(thuytrangmn@gmail.com)Câu 104 Cho tam giác ABC có trung tuyến AA0và CC0vuông góc với nhau (A0 ∈ BC,C0 ∈ AB).Tìm giá trị nhỏ nhất của cos B
a# »
M A + b# »
M B + c# »
M C có độ dài nhỏ nhất
A M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC
B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC
C M trùng với trực tâm H của tam giác ABC
D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC
(Ngô Gia Khánh-ngkhanh4283@gmail.com)Câu 106 Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường
thẳng AC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 . C min T = a
√
3 D min T = 5a
√3
2 .(vntip3@gmail.com)Câu 107 Cho 4ABC và 4A0B0C0 có các trọng tâm G và G0 cố định và GG0 = a Khi đó giá
trị nhỏ nhất của T = AA0 + BB0+ CC0 là
(Phạm văn Tài-thongbui1987@gmail.com)Câu 108 Cho tam giác ABC với các cạnh AB = x,AC = y; (x > y > 0) Gọi AD là đường
phân giác trong của góc A Biết biểu thị vectơ # »
Trang 16BC = b Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD Biết [AEB = 90◦, giá trị lớn nhất của T = ablà
Câu 111 Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB, AB = h, AD = a,
BC = b Cho k là số thực dương thuộc (0; 1) và điểm E thỏa mãn k# »
EC + (1 − k)# »
ED = #»
0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h, k, để góc [AEB = 90◦ ?
3, d là đường thẳng qua B và tạo với AB mộtgóc 60◦ Biết C /∈ d Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
O Gọi s, i lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ... điểm M điểm trùng với A
Câu 73 Cho tam giác ABC đều, có cạnh a Khi tập hợp điểm M cho
3 . D đường trịn có bán kính R =
a√3
9 .(Vũ Thị... Nam-quangnam68@gmail.com)Câu 175 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c m trung điểm BC, D làchân đường phân giác góc A Tính“ # »
Trong thi giải trí tốn học tổ chức
hoạt động chào... với
một cứng AB = m cho vật có
thể chuyển động hai đường ray
B
AO
Nối hai vật sợi giây vịng qua cột có gốc O Người tham dự thi sẽđứng vị trí điểm B để kéo vật